LEC02.Нетрадиционные системы счисления
.pdf
Информатика
Учебный год 2014/2015 Кафедра ВТ НИУ ИТМО. Соснин В.В., Балакшин П.В.
Группы 1100, 1101, 1103, 1105, 1106, 1652
Лекция 2
1.Нетрадиционные системы счисления
2.Ограниченная разрядная сетка
3
Факториальная система счисления. Определение
Любое целое число можно представить в виде
n
x=∑ d k k!, где 0 d k k .
k =1
Тогда запись числа х в факториальной системе счисления будет иметь вид (d n d n−1 ... d 1 )Ф
Примеры
●310Ф = 3*3! + 1*2! + 0*1! = 2010
●10610 = w*4! + x*3! + y*2! + z*1! = ...подбор w,x,y,z...= = 4*4! + 1*3! + 2*2! + 0*1! = 4120Ф
4
Факториальная система счисления. Применение
Применение — (де)кодирование перестановок.
Задача. Пусть имеется n=5 чисел (1,2,3,4,5) и нужно найти все их перестановки. Известно, что всего существует n! = 5! =120 таких перестановок. Как найти перестановку, если задан её номер (k) ?
012345
1?????
... |
... |
k |
????? |
... |
... |
119 |
54321 |
Решение. Найдем 21-ю перестановку (k = 21). Переведём k в факториальную систему: 21 = 3*3!+ 1*2! + 1*1! = 311Ф. Дополним
его до (n-1) разрядов: 311Ф → 0311Ф. Расставим символы по местам:
1) справа от «5» есть 0 |
меньших цифр (_ _ _ _ 5) |
|
|
2) справа от «4» есть 3 |
меньшие цифры (4 _ _ _ 5) |
ОТВЕТ: |
|
3) справа от «3» есть |
1 |
меньшая цифра (4 _ 3 _ 5) |
4 2 3 1 5 |
4) справа от «2» есть |
1 |
меньшая цифра (4 2 3 _ 5) |
|
5
Система счисления Цекендорфа
n Любое целое число можно представить в виде
x=∑ d k Fk , где d k {0,1}, а F k−числа Фибоначчи.
k =1
Каждое ЧФ есть сумма двух предыдущих ЧФ:
Fk = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} , где k = 0, 1,... . Запись числа х в системе Цекендорфа будет иметь вид (d n d n−1 ... d 1 )Ц
Пример неоднозначности:
1610 = 8+5+2+1 = 13+3, т.е. 1610 = 11011ц = 100100ц
Чтобы исключить неоднозначность, ввели запрет на использование двух соседних единиц
(т. е. 1610=100100ц, а 11011ц является ошибочной записью).
Применение: минимизация необходимого числа зёрен, кодирование данных с маркером завершения «11».
6
Система счисления Бергмана
Любое действительное число можно представить в виде
x= ∑ d k zk , |
где d k {0,1 }, а z= 1+√5 |
∞ |
|
k=−∞ |
2 |
Число z — число золотой пропорции. Запись числа х в системе Бергмана будет иметь вид (…d 2 d 1 d 0 , d −1 d −2 d −3 …)Б
Примеры
210 = 10,01Б = z1+z-2 310 = 100,01Б = z2+z-2
Применение: контроль арифметических операций, коррекция ошибок, самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче по каналу связи.
7
Другие системы счисления
1. Нега-позиционные (с отрицательным основанием). Примеры в нега-десятичной системе счисления:
●123-10 = 1·(-10)2 + 2·(-10)1 + 3·(-10)0 = 100 − 20 + 3 = 8310
●58-10 = 5·(-10)1 + 8·(-10)0 = − 50 + 8 = -4210
Числа с чётным количеством цифр — отрицательные.
2. Симметричные (с отрицательными цифрами).
Примеры в симметричной пятеричной системе счисления, где вместо привычных цифр {0, 1, 2, 3, 4} используются {-2, -1, 0, 1, 2}:
●202105С= (2)·54 + (0)·53 + (-2)·52 + 1·51 + 0·50 = 1250 - 50 + 5 = 120510
●202105С= (-2)·54 + (0)·53 + 2·52 + (-1)·51 + 0·50 = -1250 + 50 - 5 = -120510 Симметричные СС определены только для нечётных оснований
Главная особенность СС1 и СС2 – не требуется специального знака для обозначения отрицательных чисел!
Представление отрицательных чисел в |
8 |
|
|
ограниченной двоичной разрядной сетке |
|
Проблема:
в ЭВМ нет способа обозначить знак «МИНУС» перед числом. Способы решения проблемы:
1. Специальный знаковый бит
+5 = 01012, -5 = 11012 (первый бит означает знак числа)
2. Фиксированное смещение
-5 = 00002, -4 = 00012, …, +10 = 11112 (все числа уменьшены на 5)
3. Нега-двоичная система счисления
-4 = 1100-2, +5 = 0101-2 (основание СС равно «-2»).
4. Обратный (инверсный) код
+5 = 01012, -5 = 10102 (инвертируются все биты )
5. Дополнительный код
+5 = 01012, -5 = 10112 (инвертировать все биты, прибавить 1)
Представление отрицательных чисел |
9 |
|
|
в дополнительном коде |
|
Условия
Компьютер имеет разрядную сетку 10 бит.
Как будет выглядеть число «-2» на этом компьютере?
Решение
1 шаг: записать число «+2», используя все доступные разряды
210 = 00000000102
2 шаг: инвертировать каждый бит полученного числа:
00000000102 → 111111111012
3 шаг: в столбик прибавить 1
111111111012 + 00000000012 111111111102
4 шаг: радоваться результату -210 = 111111111102
Проверка решения 2 + (-2) = 0 → 00000000102 +111111111102
100000000002 – это ноль, т. к. 17-го разряда нет
Флаги состояния
После любой арифметической операции процессор автоматически заполняет регистр флагов.
10