Образцы решения задач по теме «Производные»

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые расчеты.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

ln (1+ xsin

; г) lim (tg x)

tgx −sin x

Пример 7. Найдите производную функции f (x) = y = 2tg2 x и ее значение в точке x0 = π4 .

Решение. Для нахождения производной применим правило дифференцирования сложной функции (см. приложение). Представим данную функцию в виде цепочки простых функций с помощью введения

промежуточных аргументов: y = 2u , u = v2 , v = tgx .	Тогда, согласно
упомянутому правилу, получим
f ′(x) =(2u )′u (v2 )′v (tgx)′x = 2u ln 2 2v	1	.

	cos2 x

Нижние индексы указывают, по каким переменным находились производные. Таким образом, операция дифференцирования выполнена. Осталось вернуться к исходной переменной:

′

tg2 x

tg2 x+1

tgx

tg2 x+1

tgx(tg

x +1)ln 2

f (x) = 2

ln 2

2tgx

= 2

ln 2

cos2 x

= π :

Найдем значение полученной производной в точке x

(π / 4)

+1tg(π / 4)

(tg2 (π / 4) +1)ln 2 =8ln 2 .

′

= 2tg

(tg2 x +1)ln 2 ; 8ln 2 .

Ответ: 2tg2 x+1 tgx

Пример 8. Найдите производную функции

f (x) = 2x x arcsin

x и ее

значение в точке x0 = 14 .

Решение. Применим формулу производной произведения. С учетом того, что x x = x3 / 2 , получим

f	′	3		′		(	′
f	(x) = 2		2	x arcsin x + x x (arcsin x )	x	(	x )	x .
			2

В данном выражении использовано правило дифференцирования сложной функции без введения промежуточного аргумента в явной форме. Дальнейшие преобразования дают

′

f (x) = 2

x arcsin x +

=3 x arcsin x +

(

)

1− x

1−

Найдем значение производной в точке x												= 1		:
										0			4
													4
	1		1		1		1/ 2		3	π			1			π		3
f ′		=3	2	arcsin	2	+		=	2	6	+				=	4	+		.
f ′		=3		arcsin		+	1−1/ 4	=			+		3		=		+	3	.
	4						1−1/ 4						3					3

Ответ: 3	x arcsin x +	x	; π +	3	.
		1− x		3
			4			f (x) =(x4 +3x)sinπx с
Пример	9. Найдите производную			функции
помощью предварительного логарифмирования.
Решение.	Для нахождения		производных			степенно-показательных

функций f (x) = p(x)q(x) , а также функций, представляющих собой

произведение нескольких множителей f (x) = f1(x) f2 (x)… fn (x) , применяют предварительное логарифмирование. Прологарифмируем

заданную функцию: ln f (x) =sinπx ln (x4 +3x). Найдем производные левой и правой частей полученного выражения:

(ln f (x))′ =(sinπx)′ ln (x4 +3x)+sinπx (ln (x4 +3x))′.

Сучетом правила дифференцирования сложной функции, получим

f ′(x)

=π cosπx ln (x4 +3x)+sinπx

4x3 +3

f (x)

x4 +3x

Из последнего выражения следует, что

4x3 +3

′

(

+3x

)

+sinπx

f (x) = f (x) π cosπx ln

+3x

(

sinπx

(

)

4x3 +3

x4 +3x

)

π cosπx ln

+3x

+sinπx

+3x

4x3 +3

(

sinπx

(

)

x4 +3x

)

x4 +3x

Ответ:

π cosπx ln

+sinπx

+3x

2 f

Пример 10. Найдите первую

и вторую

производные функции

dx2

−3t

y = f (x) , заданной параметрически

=t +t−1

Решение. Первая производная функции, заданной параметрически,

имеет вид

= df

: dx = dy

: dx =

yt′

. Найдем xt′ и yt′:

xt′

t2 −1

x′=3t2 −3 , yt′ =1−t−2 =

t2 −1

yt′

−2

Следовательно, dx

3 t

xt′

(3t2 −3)

2 f

d df

y′′xt

Вторая производная равна

dx2

xt′

dx dx

dt dx

Найдем

y′′xt ,

т.

е.

числитель

дроби:

y′′xt

=(y′x )′t

= 1

(−2) t−3

Знаменатель дроби xt′ найден ранее. Окончательно получим

d 2 f

y′′xt

: (3t

−3)= −

dx2

= −

xt′

3t2

9(t4 −t2 )

Ответ:

−

3t2

9(t4 −t2 )

= − 2 .

3t3

Образцы решения задач по теме «Исследование функций и построение их графиков»

План исследования функции

1.Найти область определения функции и область ее непрерывности, исследовать точки разрыва.

2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной, или ни той, ни другой.

3.Произвести исследование с помощью первой производной (найти промежутки монотонности и экстремумы).

4.Произвести исследование с помощью второй производной (найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба).

5.Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот графика функции.

6.Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат или иных контрольных точек.

7.Построить график функции.

Пример 11. Исследуйте функцию f (x) = 3x −2	и постройте ее график.
x3

Решение. 1. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 0. Значит, ее область определения и совпадающая с ней область непрерывности имеет вид (−∞;0) (0;+∞) .

Найдем односторонние пределы функции в точке x = 0:

f (0 −0) =

lim

3x −2

= +∞,

f (0 +0) = lim 3x −2

= −∞.

x→0−0 x3

x→0+0 x3

Таким образом, функция имеет в точке x = 0 бесконечный разрыв.

2. Найдем f (−x) :

f (−x) =

−3x −2 = 3x +2 . Поскольку

f (−x) ≠ f (x) и

f (−x) ≠ − f (x)

−x3

3x −2

3x +2

≠

3x −2

3x +2

≠ −

3x −2

не является ни

, функция f (x) =

четной, ни нечетной. В этом случае функцию часто называют функцией

общего вида.

′

3. Найдем f

(x) :

′

−2

′

3x3

−3x2 (3x −2)

3x2 (x −3x +2)

6(1

− x)

f (x) =

Производная не определена в точке x = 0 и обращается в ноль в точке x = 1. Дальнейшее исследование оформим в виде таблицы.

				1	Табл. 1
	(−∞;0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
′	+	не определ.	+	0	–
f (x)	+	не определ.	+	0	–
f (x)	возрастает	не определ.	возрастает	максимум	убывает

В первой строке табл. 1 указаны промежутки, на которые точки x = 0 и x = 1 разбивают числовую ось и граничные точки этих промежутков. Во второй строке указаны знаки производной на каждом промежутке и ее значения в граничных точках. В третьей строке указано, как ведет себя функция на соответствующем промежутке.

Из таблицы следует, что функция возрастает на промежутках (−∞;0) и (0; 1), а убывает на промежутке (1; +∞) . В точке x = 1 функция имеет

максимум, который равен ymax = f (1) =

3 −2

=1.

4. Найдем f

′′

(x) :

′′

6(1− x) ′

= 6

(−1)x4 −4x3 (1− x)

(−x −4 +4x)

6(3x −4)

f (x) =

Вторая производная не определена в точке x = 0 и обращается в ноль в точке x = 4/3. Дальнейшее исследование оформим в виде таблицы, аналогичной табл. 1.

					Табл. 2
	(−∞;0)	0	(0; 4/3)	4/3	(4 / 3; +∞)
′′	+	не определ.	–	0	+
f (x)	+	не определ.	–	0	+
f (x)		не определ.	∩	т. перегиба

В табл. 2 символ « » означает, что график функции представляет собой вогнутую (выпуклую вниз) кривую, а символ « ∩» – выпуклую (выпуклую вверх) кривую.

Таким образом, график является выпуклым вниз на промежутках (−∞;0) и (4 / 3; +∞) , и выпуклым вверх – на промежутке (0; 4/3). Точка x = 4/3 представляет собой точку перегиба. Значение функции в точке перегиба

равно yпер. = f (4 / 3) =	(4 −2)27	=	27 .
	64		32

5. Поскольку в точке x = 0 функция имеет бесконечный разрыв, вертикальная прямая x = 0, проходящая через эту точку, т. е. ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонную асимптоту, заданную уравнением y = k x + b, в котором параметры k и b определяются по формулам

k = lim

f (x)

b = lim ( f (x) −kx).

x→±∞

При

этом

если

x → +∞ получим

параметры k и b правой наклонной

асимптоты, а если x → −∞ – левой. В нашем случае

k =

lim

f (x)

lim

3x −2 = 0 ,

b = lim ( f (x) −kx)=

lim

3x −2

= 0 .

x→±∞

Следовательно, горизонтальная прямая y = 0, т. е. ось Ox является горизонтальной асимптотой графика данной функции (частный случай наклонной асимптоты).

6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ox найдем,

f (x) = 0			3x −2	=0	x = 2 / 3
			x3					.
решив систему	y = 0	. В нашем случае получим				y =	0
			y = 0

График функции пересекает ось Ox в единственной точке (2/3; 0). Координаты точки пересечения графика функции с осью Oy находятся

	x = 0		. Поскольку точка x = 0 не входит в область
из системы		f (0)
y =

определения исследуемой функции, ее график не пересекает ось Oy.

7. График функции, построенный с помощью проведенного исследования, представлен на рис. 3.

Рис. 3

Пример 12. Исследуйте функцию f (x) = 3 x3 −1,5x2 и постройте ее

график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, т.е.

ееобласть определения и непрерывности имеет вид (−∞; +∞) .

2.Найдем f ( – x):

f (−x) = 3 −x3 −1,5x2 = −3 x3 +1,5x2 .

Поскольку	f (−x) ≠ f (x) и		f (−x) ≠ − f (x) , то функция не является ни
четной, ни нечетной, т. е. f (x) = 3 x3 −1,5x2 – функция общего вида.
3. Найдем f	′
3. Найдем f	(x) :
	′		1	(x3 −1,5x2 )−2 / 3	(x3 −1,5x2 )′ =
f ′(x) = (x3 −1,5x2 )1/ 3		=	1	(x3 −1,5x2 )−2 / 3	(x3 −1,5x2 )′ =
			3
		=		3x2 −3x	=	x2 − x
							.
				3(x3 −1,5x2 )2 / 3		(x3 −1,5x2 )2 / 3	.

Первая производная равна нулю при x = 1 и не определена при x = 0 и при x = 1,5. Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Дальнейшее исследование оформим в виде табл. 3, аналогичной табл. 1.

							Табл. 3
	(−∞;0)	0	(0; 1)	1	(1; 1,5)	1,5	(1,5; +∞)

′	+	не опр.	–	0	+	не опр.	+
f (x)	+	не опр.	–	0	+	не опр.	+
f (x)	возрас-	максим.	убывает	минимум	возрас-	нет	возрас-
	тает				тает	экстрем.	тает

Согласно табл. 3, в точке x = 0 производная не определена и меняет знак

с« + » на « – », причем сама функция определена в этой точке. Значит, точка

x= 0 является точкой острого максимума. При переходе через точку x = 1,5

производная не меняет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет. Таким образом, функция возрастает на промежутках (−∞;0) и (1; +∞) , а

убывает на промежутке (0: 1). В точке x = 0 функция имеет острый

максимум,

равный

ymax = f (0) =0 , а в точке x =

1 –

гладкий минимум,

равный

= f (1) = 3 1−1,5 = −3 0,5 ≈ −0,8.

min

′′

4. Найдем f (x) :

2 − x

′

′′

(x)

(x3 −1,5x2 )2 / 3

(2x −1)(x3 −1,5x2 )2 / 3 − 2 (x3 −1,5x2 )−1/ 3

(3x2 −3x)(x2 − x)

(x3 −1,5x2 )4 / 3

(

2x −1)(x3 −1,5x2 )−2(x2 − x)2

(x3 −1,5x2 )5 / 3

2x4

− x3

−3x3 +1,5x2 −2x4 +4x3 −2x2

= −

0,5x2

(x3 −1,5x2 )5 / 3

Вторая производная не определена в двух точках x = 0 и x = 1,5, которые разбивают числовую ось на три промежутка. Дальнейшее исследование оформим в виде табл. 4, аналогичной табл. 2.

					Табл. 4
	(−∞;0)	0	(0; 1,5)	1,5	(1,5; +∞)
′′	+	не определ.	+	не определ.	–
f (x)	+	не определ.	+	не определ.	–
f (x)		максимум		т. перегиба	∩

Согласно табл. 4, график является выпуклым вниз на промежутках (−∞;0) и (0; 1,5), и выпуклым вверх на промежутке (1,5; +∞) . Точка x = 1,5

является точкой перегиба, причем, согласно табл. 3, в этой точке не определена и не меняет знак первая производная, значит, касательная к графику параллельна оси Oy. Значение функции в точке перегиба равно

yпер. = f (1,5) = 0 .

5. Найдем точки пересечения графика с осью Ox:

−1,5x

= 0

(x −1,5)

x = 0

x =1,5

y = 0

График пересекает ось Oy в двух точках (0; 0) и (0; 1,5). Точка пересечения графика с оcью Oy – уже найденная точка (0; 0).

6. График не имеет вертикальных асимптот, поскольку функция непрерывна на всей числовой оси.

Найдем параметры k и b наклонной асимптоты y = k x + b:

k =

lim

f (x)

lim

3 x3 −1,5x2

x→±∞

= lim

x3 −1,5x2

lim 3

−1,5x−1 =1.

x→±∞

+∞ или к −∞

В данном случае значение предела не зависит от того к

стремится x.

b =

lim

( f (x) −kx)=

−1,5x

− x

lim

x→±∞

lim x

1,5x

−1

1−1,5x−1 −1

−

−1

= lim

x−1

x→±∞

Для нахождения последнего предела воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых:

3 1−1,5x−1 −1 =(1−1,5x−1 )1/ 3 −1x→±∞~ −1,53x−1 = −0,5x−1.

С учетом этого получим

3	1−1,5x−1 −1		−0,5x−1
b = lim		= lim		= −0,5. Таким образом,
	x−1		x−1
x→±∞		x→±∞

уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = x – 0,5.

7. График функции f (x) = 3 x3 −1,5x2 , построенный на основании проведенного исследования, представлен на рис. 4.

Рис. 4

Расчетные задания

I.Вычислите пределы: а), б), в) – без применения правила Лопиталя; г) – с помощью правила Лопиталя

а)

lim

6x2 + x −2 ; б)

lim

(

x +2 −

x −2 );

x→−2 / 3 3x2 − x −2

x→+∞

sin x

в)

lim

ln(2 −cosπx)

; г)

lim

2 x

x→0

6x2

+ x −2

а)

lim

; б)

lim

+ x −

x −1 ;

x→1/ 2 2x2 −3x +

x→+∞

3arcsin

(x / 2) −1

в) lim

; г) lim

(x)

x+ln x

x→0

sin2

πx

x→0+0

3x2

а)

lim

+ x −2

; б)

lim

+ x −

− x

− x −2

;

x→2 / 3 6x2

x→−∞

1−cos 2x

в) lim

; г)

lim

2arccos x x

x→0 πarctg2 2x −1

x→0

а)

lim

2x2

+3x +1

; б)

lim

+2x

− 2x +

;

x→−1/ 2 6x2 − x −

x→+∞

в)

lim

4 1−sin2 2x −1

; г) lim (3 −2esin x )ctgx .

x→0

2 x

x→0

3x2

а)

lim

+5x −2

; б)

lim

+1 −

−1

6x2 + x −

;

x→1/ 3

x→+∞

в)

6.а)

в)

lim

x→0

lim

x→6

lim

x→0

sin 2x −tg2x

lim (cos(x −π / 4))

; г)

(4x−π )2

log2 (1− xtg2x)

x→π

/ 4

2x −8 −2

; б)

lim

x 4x2 +1

;

x −

3x2 −2

x→−∞

ln 1+0,5arcsin

)

(

; г) x→+∞lim (x2 +1)x .

tg2

πx

7.а)

в)

8.а)

в)

lim	3 − 2x +5	; б) lim	x2	+ x −1		;
	x −2			9x2
x→2		x→−∞ x			−1

lim

(

ctg2 x 2x

)

ln2

(

1+2x

)

; г) lim (1−cos x)x .

x→0+0

x→0

lim

2x +6 −4

; б)

lim

2x3 −4

;

x −5

x→5

x→+∞

πx

cos2 2x −1

x ctg

lim

; г)

lim

2 −

x→0 e2x sin(x / 3) −1

x→2−0

9. а) lim	x −7	; б) lim	x	4x2 − x		;
	3x +4 −5			5x −	2
x→7		x→−∞

в)

lim

arc tg2 2

; г) lim (sin x +1)ctgx .

x→0+0

x→0

ln 1−

9sin

9x −8

10.

а)

lim

x −3

; б)

lim

;

x→3

4 −

5x +1

x→+∞ x 4x2 +3

(x2 +3x)ctg2,5x ; г) lim

в)

lim

(ln 2x)

ln x

x→0

4x2 −9

x→+∞

lim

11.

а)

; б) lim

+5x −

+2x ;

x→3 / 2 2x2 − x −

x→−∞

3 1+3x4 / 2 −1

3 / x

в)

lim

; г)

lim (x +1)

x→0 arctg2 (x2 / 2)

x→0+0

12.

а)

lim

3x2 −4x −4

; б)

lim

16x2

;

9x2 −4

4x4 + x

x→−2 / 3

x→+∞

ln (2 −3x )

πx

lim

x−1

в)

; г) lim

1+cos

x→0+0 sin2 2

x→1

13. а)

в)

lim

5x2 +9x −2

x→1/ 5 25x2 −1

lim arcsin21,5x ; г) x→0 1−cos 2,5x

; б) lim	x	2	+2x −	x	2
; б) lim	x		+2x −	x		−3x ;
x→−∞

lim (sin x +1)ln x .

x→0+0

14.

а)

lim

16x2 −9

; б)

lim

x 9x2 +4

;

9 −4x2

x→−3 / 4 4x2 − x −

x→−∞

1−cos2 2x

1/ ln x

в)

lim

; г)

lim

(2x +

x→0 1− 5 1+10x2

x→+∞

15.

а)

lim

4 − x

; б)

lim

2,1x2 +0, 2x −0,7

;

7x −3 −

0,55x −0,75x2

x→4

x→+∞

6 1+12tg2 x −1

в)

lim

; г)

lim (1+ tgx)3x .

5x sin 2x −1

x→0

0,75 +3, 25x −8,75x2

16.

а)

lim

x +5 −

13 − x

lim

; б)

;

x −4

x→4

x→+∞

2,5x2 −7,5x +0,5

lim cos2 x −1; г)

в)

lim

(e2x + x)x .

x→0 x3 +4x2

x→+∞

17.

а)

lim

16x4 −1

; б)

lim

5x2 −4x +1

;

9x2

x→−1/ 2 8x3 +1

x→−∞ x

arcsin2 2

sin2x

в)

lim

; г)

lim

(tgx)

1− 3 1+6sin x

x→0

x→π

/ 2+0

lim

x3 −8

lim

+ x +

1 − x

18.

а)

; б)

;

−16

x→2 x4

x→+∞

5 1+10sin x −1

в)

lim

; г) lim(x)1−x .

arctg5x

x→0

x→1

6x2 +5x −4 ; б)

−

4 x

3 x −

;

19.

а)

lim

x→1/ 2

8x3 −1

x→+∞

5 x

−

в)

lim

3 1−tg2 x −1

; г)

lim

(2 −ex )ctg3x .

x→0

x ln(1+2x)

x→0+0

20.

а)

lim

9x2

−16

; б)

lim

x3 5 −8x3

;

−

x→−4 / 3 6x2 +5x

x→+∞ 6x2 + x −

1−cos2 2x

; г) lim (2 − x2 )

в)

lim

sinπx

x→0

4 1+2sin2 x −1

x→1

6x2 −5x −4

21.

а)

lim

; б);

lim

9 x

−

3 x +

9x2 −16

x→4 / 3

x→−∞

x −

arctg x

(3 −2x2 )

в)

lim

; г)

lim

ln x

πx

x→0+0

xtg

x→1

22.

а)

lim

8x3 +1

; б)

lim

9x2 −1

;

3 8x3 +2

x→−1/ 2 6x2 −5x −

x→−∞

; г) lim (3x +1)

в)

lim

arcsin2 x

x→0

−

x→0

3,7 −2, 4x +1,8x2

23.

а)

lim

5 −2x −

4x −7

lim

; б)

;

x2 −4

5, 2 +4x −

4,5x2

x→2

x→+∞

в)

lim

e3x sin(x / 2) −1

; г) lim (arcsin x)x .

(1−4tg2 (x / 7))

x→0 ln

x→0

24.

а)

lim

4 − x2

; б)

lim

2,8 −3, 2x +2,5x2 +4, 2x3

;

4x −7 −

5 −2x

1,8 +2,1x −3,6x2

x→2

x→−∞

в)

lim

arcsin2 (x

3x)

; г)

lim

1/ cos x

tg3 (2x)

(sin x)

x→0+0

x→π / 2

lim

−27

lim

+2x

−1 −

2x +

25.

а)

; б)

;

−81

x→3 x4

x→+∞

в)

26.а)

в)

3x3

−2x2

(sin x) x−ln x .

lim

; г) lim

x→0 1

−cos2 3x

x→0+0

lim

−81

; б)

lim

+2x −1 + x ;

+27

x→−3 x3

x→−∞

II.Найдите производную функции f (x) и ее значение в заданной точке x0

f (x) = 4x sin π(2x +1) ;

= 1

2. f (x) = 3 x2 e3 x ; x =8

f (x) = x2 cos

;

f (x) = x log4 (4x +4−x )

;

x0 = 0

5. f (x) = tg2

πx

; x

= 1

f (x) = arcsin

2x;

= 1

f (x) = arctg

x2 −1;

f (x) = log2 (sin 2x );

= log2

1 ;

f (x) = x2 sin

10.

f (x) = arctg (2x

x )

;

x0 =

11.

f (x) = arcsin

1−e2x ;

x =ln

f (x) = ecos(ln x) ;

x0 = eπ / 3

12.

13.

f (x) = arctg ex −1;

= 1

ex +1

14.

f (x) = ln

5 − x

;

= 2

15.

f (x) = arcsin

;

= 4

x +1

16.

f (x) = arctg

ex −1;

= ln 5

= ln π

17.

f (x) = cos ex +ex sin ex ;

18.

f (x) = ln

x −1

;

x = 4

x +1

= π

19.

f (x) = x ln(sin x +cos x);

20.

;

f (x) = ln

−16 + x

21.

f (x) = arctg

x +

;

= 3

22.

f (x) =(x2 +2x)sin (ln x);

x0 = eπ / 2

23.

f (x) =sin(ln x) −(ln x) cos(ln x);

x0 = eπ / 2

24.

f (x) =

ex − x

;

= 0

25.

f (x) = arctg (tg2 x);

x0 =

f (x) = ex −e−x ;

26.

= ln 2

ex +e−x

III.Найдите производную функции f (x) с помощью предварительного логарифмирования

1.f (x) = (6x −5)arctg x

3.f (x) = (tgx) x

5.	f (x) =(1+ x2 )1/ x
7.	f (x) = (sin x)4 x
9.	f (x) = (sin x)ex
11.	f (x) = (cos x)x2

13.f (x) = (10x +7)tgx

15.f (x) = (cos x)3 x

17.f (x) = x(1−x) / x

19.f (x) =(2x3 −3x)1−x

21.f (x) = (ctg x)7x−5

23.f (x) =(1+ x3 )sin x

25. f (x) =(x2 +2x)ln x

2. f (x) = (sin x)2x−3

4. f (x) = (cos x)ex

6.f (x) = (0,5x +1)sin2 x

8.f (x) = (arcsin x) x

10.f (x) = (3x +2)arcsin x

12. f (x) =(1+5x)5 x

14.f (x) = (tgx)3x−5

16.f (x) = (ctgx) x

18.	f (x) = (4x +9)arcsin x
20.	f (x) =(3x2 +2x)cos x
22.	f (x) = (arcsin x)5x+7
24.	f (x) = (arctg x) x
26.	f (x) = (tg x)x3

IV. Функция y = f (x) задана параметрически. Найдите

1) первую производную dfdx данной функции;

d 2 f

2) вторую производную dx2 данной функции

						4
1.	x = 1−t
1.							2
							2
	y = arcsin t
								t
3.	x = arcsin e
3.						2t
		1−e				2t
	y =	1−e
				2		t
5.	x =3cos					t
5.		2sin3 t
	y =	2sin3 t

	x = arcsin							t
7.
7.

	y = 1−t
		3sin		2		t
9.	x =	3sin				t
9.		2cos3 t
	y =	2cos3 t


11.	x =t −sin t
11.

	y = cos t
			2		t
13.	x = ctg				t
13.
	y = ln sin t

	x =t +ln cos t
15.
	y =t −ln sin t
	x =	1 (3t +2t3 )
17.		3
		y =te				t2
		y =te

x = 1−e2t

y = arccos et

x =

2.y = ln (1+t4 )

x = e−cos2 t

4.− 2

y = e sin tarctg t4

x = tg2t

y = ln cost

8.	x = t (				t +1)
8.		y = ln	(		)
			(		)
				t +1
		x = arctg et
10.
10.
	y = ln (1+e2t )

	x = et (et +1)
12.
	y = ln (et +1)
	x = 2t −sin 2t
14.
14.		y =sin2 t
		y =sin2 t

		x = cos		2	t
16.		x = cos			t
16.
	y = 2 −sin 2t

x =te−t2

y = 1 (3t −2t3 )

x =1 t2 +1

y = t2 +1t

x = ln (1+t2 )

y =t −arctg t

	x = 2t	t

23.		t
y =t +2

x =t cost −sin t

y =t sin t +cost

x = 1−2t

22.

y = arccos 2t

x =t2 +t−2

y =t5 −5t

x = cos+t sin t

y =sin t −t cost

V. Исследуйте функцию f (x) и постройте ее график

1.f (x) = xe1/ x

3.f (x) = xe0,5(1−x2 )

5. f (x) = 3 x3 −3x

	7. f (x) =	x3
	7. f (x) =	(x −1)2
		(x −1)2

9.f (x) =1,53 x2 − x

11.f (x) = 3x −1

13.f (x) = e1(2−x)

15. f (x) = e2x−x2

17.	f (x) =	x2
		2x −3

19.	f (x) = x 8 − x2

21.f (x) = x3

x2 −1

23. f (x) = x2e1−x

25. f (x) = 4x

(x −1)2

2.f (x) = ln (x2 −2x +2)

4.f (x) = elnx x

6. f (x) = x −1,53 x2

8.f (x) = (1− x)3

10. f (x) = 3 3x2 +2x3

12.f (x) = 4x

x2 +4

14.f (x) =(x2 +2)e−x2


16.	f (x) = x			2 1−x2
				e
18.	f (x) =			4x
			(x +1)2

20.	f (x) =			x2 −4x +5
22.	f (x) =		x3 −4
				x2

24.	f (x) = xarctg x
26.	f (x) =			x3
		1		− x2

Приложение

Эквивалентные бесконечно малые

1. sinα(x)

α(x)

6. eα(x) −1 ~

α(x)

α(x)→0

2. tgα(x)

α(x)

7. aα(x) −1 ~

α(x) ln a

(x)→0

α(x)→0

3. 1−cosα(x)

α2 (x)

8. ln (1+α(x))

α(x)

(x)→0

4. arcsinα(x)

α(x)

9. loga (1+α(x))

α(x) ln a

α(x)→0

5. arctgα(x)

α(x)

10. (1+α(x))μ −1

μα(x)

α(x)→0

Таблица производных

′

= 0 (C

= const)

(sin x)′ = cos x

(xa )′ = axa−1

10.

(cos x)′ = −sin x

(

x )′ =1 (2

x )

11.

(tgx)′ =1 cos2 x

(1 x)′ = −1 x2

12.

(ctgx)′ = −1 sin2 x

(ax )′ = ax ln a

13.

(arcsin x)′ =1

1− x2

(ex )′ = ex

14.

(arccos x)′ = −1

1− x2

(loga x)′ =1 (x ln a)

15.

(arctgx)′ =1 (1+ x2 )

(ln x)′ =1 x

16.

(arcctgx)′ = −1 (1+ x2 )

Основные формулы дифференцирования

1. (Cf (x))′ =C ( f (x))′

3. (u(x)v(x))′ =u′(x)v(x) +

	2. (u(x) ±v(x))′ = u′(x) ±v′(x)
′			u(x)	′		′	′
	4.				=	u (x)v(x) −u(x)v (x)
u(x)v (x)						v2 (x)
		v(x)

5. (f (ϕ(x)))′x = fϕ′ ϕ′x

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

Кафедра высшей математики Кафедра высшей математики (ВМ) была организована в 1930 году.

Первым заведующим кафедрой был профессор Г.Д. Гродский. С конца 1936 года кафедрой ВМ заведовал профессор И.П. Натансон. С 1944 по 1973 г. кафедрой заведовал В.А. Тартаковский – выдающийся математик и замечательный педагог.

Вразное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И. Смирнов, член-корреспондент АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. И.С. Соминский, проф. Ф.И. Харшиладзе, проф. А.Ф. Андреев, проф. Ю.В. Аленицин, проф.

И.А. Молотков.

В1979 году кафедру ВМ возглавил доктор технических наук, профессор В.Г. Дегтярев, специалист по теории движения космических аппаратов. С 1997 года кафедрой руководит И.Ю. Попов, в область научных интересов которого входят теория рассеяния, теория операторов, моделирование сложных физических систем.

Кафедра ВМ осуществляет обучение студентов всех специальностей университете по дисциплине «Высшая математика» и читает ряд специальных дисциплин математического цикла. Кафедра ВМ является самой многочисленной кафедрой в университете по числу преподавателей. В настоящее время на кафедре ВМ работают такие выдающиеся ученые как профессора В.В. Жук, А.П. Качалов, Г.П. Мирошниченко, А.Г. Петрашень, В.П. Смирнов, В.М. Уздин, В.Ю. Тертычный – член Нью-Йоркской академии.

На кафедре ВМ сложилась научная школа по математическому моделированию сложных физических систем, активно развиваются направления, связанные с нанотехнологиями, квантовыми компьютерами и квантовыми технологиями. Сложилось тесное сотрудничество с крупными научными центрами, как в России, так и за рубежом.

Типовые расчеты по высшей математике

Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения

I семестр

Составители:	О. И. Судавная, С. В. Фролов
В авторской редакции
Компьютерный набор и верстка	О. И. Судавная
Рисунки	Л. И. Судавная, С. В. Фролов
Дизайн обложки	О. И. Судавная

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Зав. РИО	Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД №00408 от 05.11.99
Подписано к печати
Тираж 100 экз.

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20151.22 Mб184Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616.17 Mб23Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
01.05.2025546.82 Кб0типовик.doc
#
21.03.201648.03 Mб134Типовик_мат_6модуль.pdf
#
14.04.2015988.75 Кб25ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151.14 Mб29Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016843.71 Кб7типовые расчеты.pdf
#
20.03.201634.92 Кб62ТЛТ.docx
#
01.03.20251.41 Mб2ТММ 1 лист.doc
#
14.04.201565.07 Кб12ТО_Л-1.docx
#
01.08.201947.62 Кб4товарные потери 37 вопрос.doc