1 семестр 1 модуль

x 1 1

y 2 1

z 3 1.

Выполним проверку:

1 2 1 1 4

3 1 5 1 3 1 1

2 1 7 1 1 8.

1

Таким образом, решением является столбец 1 .

1

Б)Проверить систему на совместность. В случае, если система совместна, построить ее решение.

x1 2x2 x3 3x4 0

2x1 x2 2x3 x4 2

x1 x2 x3 x4 142x1 3x2 2x3 4x4 14.

Обозначим через A и Ar основную и расширенную матрицы сис-

темы соответственно:

Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько.

Для этого возьмем расширенную матрицу Ar и элементарными преобразованиями строк (только!) приведем ее к трапециевидной форме.

23

Умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй и четвертой строке, умножим на (-1) и прибавим к третьей. Получим:

Умножим третью строку на (-1) и прибавим к четвертой, таким образом, мы получили нулевую строку:

Выбираем третью строку, умножаем на 2 и прибавляем к первой,

умножаем на (-5) и прибавляем ко второй:

Умножим вторую строку на (-1) и прибавим к первой:

Поменяем местами строки 2 и 3. Получим:

24

Отсюда rangA rangAr 3 .Обозначим rangA через r .Так как

ранги A и Ar совпадают, то система совместна, а так как ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из m r векторов, что в нашем примере равно одному.

Чтобы найти решения, запишем сначала полученную систему:

x1 1/4x4 11

x2 2x4 14x3 3/4x4 17.

За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы A , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестныхx1,x2,x3 .Тогда, придавая оставшейся переменной x4 любые значения, неизвестные x1,x2,x3 можно получить единственным образом.

Выразим все переменные черезx4.

Таким образом, общее решение системы будет иметь вид:

25

Варианты задания5

а) Решить систему уравнений методом Крамера:

26

б) Проверить систему на совместность. В случае, если система совместна, построить решение:

27

28

29

Задание6. Теорияквадратичных форм

Пример выполнениязадания 6

В данном задании предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных

форм и сделать рисунок этой поверхности.

Приведём сведения из теории квадратичных форм, которыми мы

произвольный базис e10 ,e20 ,e30 . Мы будем рассматривать частный случай

такого линейного пространства – привычное для нас геометрическое

пространство R3 , а в качестве базиса возьмем координатные орты i, j,k , с

помощью которых зафиксирована пространственная декартова система координат 0xyz.

x можно также поставить в соответствие одностолбцовую матрицу

x X y ,

z

которую также называют вектором.

Рассмотрим теперь выражение вида:

30

квадратичной формой координат x, y , z ; а числа aij (i 1,2,3; j 1,2,3) -

коэффициентами квадратичной формы. Положим aij aji . Тогда ясно, что

2aij aij aji , и квадратичную форму (1) можно записать так:

Ф x, y,z a11x2 a12 xy a13xz a21yx a22 y2 a23yz a31zx a32zy a33z2.(2)

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов этой квадратичной формы:

Матрица A называется матрицей квадратичной формы; т.к. aij aji ,

то ясно, что эта матрица симметрична относительно своей главной диагонали, т.е. AT A, где AT - матрица, которая получается из матрицы A,

если в ней поменять местами строчки со столбцами (т.е. транспонировать её). Очевидно, что квадратичную форму в матричном виде можно записать

так:

Заметим, что здесь XT x, y,z - транспонированная матрица X .

Найдем теперь единичные собственные векторы матрицы A.

Напомним, что ненулевой вектор

1

Г23

называется собственным вектором матрицы А , если выполняется условие

31

Откуда следует, что

Это соотношение можно записать в координатной форме так:

Нетрудно заметить, что соотношение (3) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений, записанную в матричном виде, которая имеет ненулевые решения (которые являются собственными векторами матрицы А ), если ее определитель равен нулю,

т.е. должно быть:

что более компактно можно записать так:

Уравнение (7) (или (7')) называется характеристическим уравнением,

его корни 1, 2, 3 - характеристические числа или собственные числа матрицы А .

32