1 семестр 1 модуль
.pdf
1. a) z 
4 x2 y2, z 
x2 y2 2
b) y x2 z2, y 4
c) z 1 
2 
4 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 1 
x2 y2
2. a) z x2 y2, z 4
b) y 
4 x2 z2,y 0
с) z 1 
3 
x2 y2 1, z 1 x2 y2, z 1 x2 y2,
z 1 
2 x2 y2 ;
3. a) z 
x2 y2 , z 4
b) x2 z2 4(0 y 4), y 
4 x2 z2, y 4
с)z 
2 
x2 y2 1,z 1 x2 y2 , z 1 
2 x2 y2 ;
4. a) x2 y2 4, z 2 y, z 0
b) y2 x2 z2, y 2, y 4
с)z 1 (x2 y2) 2 |
2, x2 y2 2, z 1 2 x2 y2 ; |
5. a) x2 y2 z2 4, z y (z y)
b) y 2
x2 z2, y 4
с) z 1 x2 y2 , z 1 x2 y2 ;z 1 
2 x2 y2 ;
6. a) z2 x2 y2, z 2, z 4
b) x2 z2 4, y 
4 x2 z2, y 4
43
с) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z 1 2 x2 y2 , |
x2 y2 |
2,z |
|
1 |
|
(x2 |
y2) |
; |
|||||
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
7. a) z 4 x2 y2, |
z 2 |
x2 y2 4 |
|
|||||||
b) y x2 z2 4, y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
с) z 1 2 x2 y2 , x2 y2 |
|
|
|
|||||||
2, z |
|
1 |
|
(x2 |
y2) |
; |
||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
8. a) z x2 y2 4, z 
4 x2 y2
b) x2 z2 4, z 6 y, y 0
с) z 1 
2 x2 y2 , z 
x2 y2 1,z 
x2 y2 1,
z 1 
2 
x2 y2
9. a) x2 y2 4, z y 4, z 0 b) z 
4 x2 y2 , z 4 x2 y2
с) z 1 
2 x2 y2 , z 
x2 y2 1, z 1 
x2 y2 ;
10. a) z 4 
x2 y2, z 0
b) x2 z2 1, z 1 y, y 0
с) z 1 
2 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 1 
2 
x2 y2 ;
11. a) x2 y2 4, z y 2, z 0
b) y 2
x2 z2 , y 4 
4 x2 z2
c) z 1 
2 x2 y2 , z 
x2 y2 1, z 1 
2 
x2 y2 ;
44
12. a) z x2 y2, z 8 2
x2 y2
b) y 2 
x2 z2, y 
4 x2 z2
с) z 1 x2 y2 , z 
x2 y2 1, z 1 
2 
4 x2 y2 ;
13. a) x2 y2 z 0, z 2 y b) x2 z2 4, z y 4, y 0
с) z 1 
3 
x2 y2 1, z 1 x2 y2 , z 1 
2 x2 y2 ;
14. a) z 
x2 y2, z 2 
x2 y2
b) x2 z2 4, y x2 z2 4, y 3
с) z 1 
2 x2 y2 , z 
x2 y2 1, z 1 
3 
x2 y2 1;
15. a) z 
4 x2 y2 , z 
x2 y2 2
b) x2 y2 z2 0, z 4
с) z 1 
2 
4 x2 y2 , z 
x2 y2 1, z 1 x2 y2 ;
16. a) z 
x2 y2, z 6 x2 y2
b) x2 z2 4, z 2 y, y 2 z
с) z 1 
3 
x2 y2 1,z 
x2 y2 1, z 1 
2 x2 y2 ;
17. a) z 
4 x2 y2, z x2 y2 4, y 0(y 0)
b) x2 z2 4, y 2 
x2 z2, y 4
с) z 1 
2 x2 y2 , x2 y2 2, z 1 
3 
x2 y2 1;
45
18. a) x2 y2 4, z 8 x2 y2, z 0
b) x2 z2 4, z 4 y, y 0
с) z 1 
2 
x2 y2 , x2 y2 2,z 1 
3 
x2 y2 1;
19. a) z x2 y2 8, z 2
x2 y2
b) x2 z2 4, y 
x2 z2 2, y 2
с) z 1 
x2 y2 , z (1 
2)(
x2 y2 1), z 1 
2 
4 x2 y2 ;
20. a) z x2 y2, z 2 x2 y2
b) y 2
x2 z2 4, y 
4 x2 z2
с) z 1 
3 
x2 y2 1, x2 y2 2, z 1 
2 x2 y2 ;
21. a) z 4 x2 y2, z 
4 x2 y2
b) x2 z2 4, z y, z y 4
с) z 1 
x2 y2 , x2 y2 2, z 3 x2 y2 ;
22. a) z 
4 x2 y2 , z 
x2 y2 2
b) x2 z2 4, y 4 x2 z2, y 4
с) z 1 
3 
x2 y2 1, x2 y2 2, z 1 
x2 y2 ;
23. a) 2y x2 z2 y2, y z 1(z 1 y) b) y x2 z2 4, y 
4 x2 z2
с) z 1 
2 
4 x2 y2 , x2 y2 2, z 1 
2 
4 x2 y2 ;
46
24. a) x2 y2 4, z 
4 x2 y2 4, z 0
b) y 
4 x2 z2, y 
x2 z2 2
с) z 
2 
x2 y2 1,z 1 x2 y2 ;z 1 
2 x2 y2 ;
25. a) z 2 
x2 y2, z 
4 x2 y2
b) x2 z2 4, z y 6, y 6
с) z 1 
3 
x2 y2 1,z 1 x2 y2 , z 1 
2 x2 y2
26. a) z2 x2 y2, z 2, z 4
b) x2 z2 4, y 
4 x2 z2, y 4
с) z 
2 
x2 y2 1,z 
x2 y2 1,z 1 
2 x2 y2 ;
27. a) z 4 x2 y2, z 
4 x2 y2
b) x2 y2 1, z 
1 x2 y2 2, z 0
с) z 1 
2 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 
2 
x2 y2 1 ;
28. a) z x2 y2, z 2 
x2 y2
b) y2 x2 z2, y 4, y 2
с) z 1 
2 
4 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 1 
x2 y2 ;
29. a) x2 y2 4, z 
4 x2 y2, z 4
b) y 2 
x2 z2, y 
4 x2 z2
47
с) z 1 
2 x2 y2 , z 1 x2 y2 , z 1 x2 y2 ;
30. a) z 4 x2 y2, z 
x2 y2 2
b) y 
9 x2 z2 3, x2 z2 9, y 0
с) z 
2 
x2 y2 1, z 
x2 y2 1, z 1 
2 x2 y2 .
48
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Кафедра высшей математики – крупнейшая в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики. С момента основания на ней работали такие выдающиеся ученые, как И.П. Натансон, В.А.Тартаковский, В.Н.Попов, И.А.Молотков, А.Г. Аленицын, В.В.Жук и другие. Научные интересы сотрудников покрывают практически все разделы математики. На кафедре сложилась мощная научная школа по математическому моделированию сложных физических систем. В последнее время активно развивается направление, связанное с нанофизикой и нанотехнологиями, квантовым компьютером и квантовыми коммуникациями. Сотрудники кафедры активно участвуют в международных научных конференциях, работают в рамках Российских и международных научных проектов. Сложилось тесное научное сотрудничество с Санкт-Петербургским государственным университетом, Петербургским отделением Математического института имени В.А.Стеклова РАН, лабораторией физикохимии наносистем Института химии силикатов РАН и другими научными центрами как в России, так и за рубежом: университетами Марселя и Тулона (Франция), Ювяскиля (Финляндия), Гумбольдтовским университетом Берлина (Германия).
49