pdm_04

Равенство, обратимость

Определение Функции f : A → B и g : C → D равны, если A = C и B = D и f(a) = g(a), где a A.

Определение Функции IA : A → A, для которой I(a) = a a A, называется

тождественной.

Определение Если f : A → B и С A, то функция f : С → B, называется сужением функции f на множество C и обозначается f|C. Функция f : A → B, называется расширением f : С → B, где С A.

Определение Композиция g f функций f : A → B и g : B → C, есть функция f g : A → C, для которой (g f)(a) = g(f(a)), где a A.

Пример Пусть f(x) = y = x2, g(y) = z = sin(y), тогда композиция g f , будет z = g(f(x)) = sin(x2).

Замечание Для тождественной функции f IA = IB f = f.

Определение Функция f-1: B → A называется обратной к f : A → B, если f f-1 =

Утверждение Если обратная функция для функции f существует, то она единственная.

Теорема Функция f : A → B имеет обратную функцию тогда и только тогда когда отображение взаимно однозначно.

12

Упорядоченные множества

Определение Множества в которых порядок следования элементов имеет значение называют упорядоченным множеством или кортежем, перечисление элементов такого множества заключают в круглые () или угловые скобки, например: (a, b, c, d) или a, b, c, d . Кортежи содержащие два элемента называют упорядоченной двойкой, три – упорядоченной тройкой и т. д.

Определение Декартово произведение двух множеств – это множество, элементами которого являются всевозможные кортежи (упорядоченные двойки) элементов исходных множеств.

Например декартово произведение A x B множеств

A = {a, b, c} и B = {0, 1}:

A x B = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1), (c, 0), (c, 1)}.

13

Эквивалентность множеств

Определение Множества A и B эквивалентны (A B), если между их элементами возможно установить взаимно однозначное соответствие.

Свойства отношения эквивалентности

1.Рефлексивность A A

2.Коммутативность A B → B A

3.Транзитивность (A B) (B C) → (A C)

Пример

Множества A = {a, b, c, d} и B = {00, 01, 10, 11}

эквивалентны A B.

14

Мощность множества, счѐтные множества

Определение Мощность множества A (обозначается |A| или card(A)) есть класс эквивалентных ему множеств. Мощность конечного множества есть число его элементов.

Замечание Символ приписываемый классу эквивалентных множеств называют кардинальным числом или кардиналом.

Замечание Эквивалентные множества A и B равномощны, A B ↔ |B| = |A|.

Определение Множество A счѐтно, если A эквивалентно множеству N натуральных чисел. В противном случае множество A несчѐтно.

Утверждение Из всякого безконечного множества можно выделить счѐтное множество.

Утверждение Объединение конечного или счѐтного множества счѐтных множеств счѐтно.

Замечание Мощности конечных множеств называют финитными кардиналами, мощности безконечных множеств называют трансфинитными кардиналами.

Множество A={a, b, c, d}, мощность множества |A| = 4.

15

Непрерывное множество или континуум

Утверждение Множество C всех последовательностей из 0 и 1 несчѐтно.

Определение Множество A имеет мощность континуума c, если A эквивалентно множеству всех безконечных последовательностей из 0 и 1.

Следствие Множество C всех безконечных последовательностей из 0 и 1 имеет мощность континуума: |C| = c.

Утверждение Если к безконечному множеству добавить конечное или счѐтное множество элементов, то его мощность не изменится.

Доказательство Пусть A – безконечное множество, а B – конечное или счѐтное множество, причѐм A ∩ B = Ø. Покажем, что A A B. Выделим из A счѐтное подмножество A1, так, что C = A - A1 тогда A = С A1, и A B = (C

A1) U B = C (A1 B). Так как A1 B A1 → A B = C (A1 B) C A1 = A → A B A.

Утверждение Если A – несчѐтное множество, а B – конечное или счѐтное его подмножество, то (A – B) A.

Доказательство Пусть C = A – B. Тогда A = C B. Пусть B конечное или счѐтное, тогда для того, что бы A было несчѐтным, множество C должно быть несчѐтным. Следовательно (A – B) C.

16

Сравнение мощностей

Определение Пусть A, B произвольные множества, а |A| и |B| их мощности, тогда возможны следующие сравнения мощностей:

|A| = |B| ↔ A B

|A| ≤ |B| ↔ |B| ≥ |A| ↔ A C, где C некоторое подмножество

B, C B

|A| < |B| ↔ |B| > |A| ↔ A C, где C некоторое подмножество

B, C B

Замечание Случай, когда множество A не эквивалентно никакому подмножеству множества B, а множество B не эквивалентно никакому подмножеству A, невозможен.

Теорема Если множество A B1 (B1 B), а множество B A1 (A1 A), то множества A и B эквивалентны (A B) или кратко: |A| ≤ |B| |B| ≤ |A| ↔ |A| = |B|.

18

Шкала мощностей

Теорема Пусть A некоторое множество и P(A) есть множество всех подмножеств множества A, тогда |A| ≤ |P(A)|.

Отношение |A| ≤ |P(A)| следует из того, что если каждому элементу a A сопоставить одноэлементные подмножества {a} P(A) то уже будет достигнут порог равномощности, добавление последующих подмножеств из P(A) приведѐт превышению мощность P(A) по отношению к A. Для непустых множеств A ≠ Ø (напомним, что пустое множество является подмножеством всех множеств), возможно записать:

Теорема (Кантора) |A| < |P(A)|.

Доказательство теоремы следует из вышеприведѐнных рассуждений о следует из достижения порога равномощности, если каждому элементу a A сопоставить одноэлементные подмножества {a} P(A).

Множество P(A) всех подмножеств A можно обозначить через 2A, тогда мощность |P(A)| = 2|A|, в соответствии с теоремой |A| < 2|A|.

Таким образом, беря за основу произвольное множество A возможно сформировать последовательность кардинальных чисел: |A| < 2|A| < 22^|A| < . . .

Выбирая в качестве основы множество N натуральных чисел, можно построить последовательность континуумных кардиналов, для счѐтных множеств:

|N| = с < 2с < 22^с < . . ., называемых соответственно континуум, гиперконтинуум, гипер-гиперконтинуум и т.д.

19