pdm_05

Планарный граф

Определение Планарный (плоский) граф – это граф, который возможно начертить на плоскости без пересечения рѐбер.

Замечание Всякий подграф планарного графа планарен.

Определение Грань графа есть часть плоскости, ограниченная простым циклом графа. Каждая внутренняя грань есть конечная грань. Внешняя грань безконечна.

Теорема В любом связном плоском графе числа p, q, r его вершин, рѐбер, граней соответственно связаны равенством Эйлера: p – q + r = 2.

Доказательство Методом математической индукции для графа G. Базис: из q = 0 p – q + r = 1 – 0 + 1 = 2. Предположение индукции положим, что p – q + r = 2.

Шаг индукции:

1.в G есть простой цикл, удаляя из G любое ребро e получим: p – (q – 1) + (r – 1) = 2 p – q + r = 2;

2.в G нет простых циклов в G, тогда G дерево с единственной внешней гранью, удалением любого ребра e получим G1 и G2 (т.ч.: G = G1+G2+e) (p1 + p2) – (q1 + q2)

Теорема Эйлера

Теорема. Пусть p – число вершин, q – число рѐбер, r – число граней выпуклого многогранника. Тогда верно равенство: p – q + r = 2. Число χ = p – q + r

называется Эйлеровой характеристикой многогранника.

Замечание. Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом, то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.

χ1 = p1 – q1 + r1 и χ2 = p2 – q2 + r2

χ = χ1 + χ2 – 2

Определение. Пусть X и Y есть топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение F: [0,1] x X → Y.

24

Планарный граф

Определение Граф G есть максимально планарный граф, если граф G планарный, но при добавлении к G любого ребра он перестаѐт быть планарным. Замечание Любая грань максимально планарного графа G содержащего p – вершин, q – рѐбер есть 3-цикл (треугольник). Подставляя в формулу следствия q ≤ (n(p – 2))/(n – 2), n = 3, получим q ≤ (3(p – 2))/(3 – 2) = 3p – 6, т.е. для максимально планарного графа G число рѐбер q связано с числом вершин p выражением q ≤ 3p – 6.

Утверждение Каждый планарный граф G содержащий p – вершин, q – рѐбер имеет вершину степени s ≤ 5.

Изучение свойств планарных графов особенно интересно с точки зрения проектирования электронных и микроэлектронных устройств и компонентов. На изображении печатная плата, с не связным планарным графом образованным токоведущими дорожками. Высокая насыщенность графа и/или не планарность графа токоведущих элементов вынуждает разработчиков использовать многослойные печатные платы. Многослойные печатные платы существенно дороже, требуют большей трудоѐмкости для изготовления, в некоторых случаях менее надѐжны.

25

Критерий планарности Понтрягина-Куратовского

Теорема Граф G планарен тогда и только тогда, когда G не содержит подграфов изоморфных графам K5 и K3,3.

Подграф K5 и K3,3 запрещѐнные в планарных графах. Сами графы K5 и K3,3 не являются планарными.

Следует отметить, что граф K3,3 относится к классу двудольных графов. Определение Двудольный (биграф) граф это такой граф множество вершин V которого допускает разбиение на два непересекающихся множества V1, V2 (две доли (V1 V2) = V), причѐм каждое ребро графа соединяет вершины из различных долей.

26

Верхняя и нижняя оценки хроматического числа

Теорема (верхняя оценка) Если граф G имеет максимальную степень вершин, равную s, то хроматическое число x(G) ≤ s + 1.

Определение Подмножество S вершин графа G = (V, E) внутренне устойчиво, если ни какие две вершины из S не смежны в G. Число внутренней устойчивости графа G есть α(G) = max{|S|: S V и S внутренне устойчиво в G}. Теорема (нижняя оценка) Пусть G = (V, E) есть связный граф содержащий p – вершин, q – рѐбер. Пусть α(G) есть число внутренней устойчивости графа G, тогда хроматическое число x(G) ≥ p/α(G).

Замечание Из теорем о верхней и нижней оценках хроматического числа x(G) для графа G имеем: p/α(G) ≤ x(G) ≤ s + 1.

Потоки и сети

Определение Двухполюсная сеть S = (V, E, s, t) есть орграф G = (V, E) с двумя выделенными вершинами (полюсами): s – входная вершина сети (исток), t – выходная вершина сети (сток).

Определение Внутренние вершины сети есть вершины отличные от полюсов. Полюсная дуга сети инцидентна одному из полюсов. Для сети S = (V, E, s, t) для vV вводят следующие обозначения:

D+(v) – множество дуг сети, исходящих из v; D-(v) - множество дуг сети, входящих в v;

D(v) D+(v) D-(v) – множество дуг сети, инцидентных v.

Определение Пусть для сети S = (V, E, s, t) задана функция f: E → R+, где R+ есть множество неотрицательных вещественных чисел. Пусть V` = V – {s, t} есть множество внутренних вершин сети S. Тогда дивергенцией функции f в

внутренней вершине v V есть величина (число) divf(v) = Σ e D+(v) f(e) – Σe D-(v) f(e). Дивергенция функции f на множестве внутренних вершин A V` есть численная

величина divf(A) = Σv Adivf(v). В истоке и стоке divf(s) = Σ e D+(s) f(e); divf(t) = Σ e D-(v) f(e).

Утверждение Для A V` divf(A) = Σ e D+(A) f(e) – Σe D-(A) f(e).

Физический смысл дивергенции во внутренней вершине сети возможно интерпретировать как порождение потока данной внутренней вершиной.

30