pdm_05

Цепь, цикл

Определение Цепь в графе есть маршрут, в котором все рѐбра попарно различны (нет повторов рѐбер, повторы вершин возможны). Простая цепь – цепь без повторов вершин, а следовательно и рѐбер.

Определение Цикл в графе есть замкнутая цепь т.е. в которой начало и конец одинаковы. Простой цикл не имеет повторов вершин (кроме начальной и конечной), а следовательно и повторов рѐбер.

4 0 7

В графе G = (V, E):

- маршрут (1, 2, 3, 0, 5, 8, 6, 7) – есть простая цепь; - маршрут (0, 2, 5, 7, 0) – есть простой цикл.

Гамильтоновы графы

Определение Цикл C в графе G называется гамильтоновым циклом, если C проходит без повторов вершин через все вершины графа G. Граф имеющий гамильтонов цикл называют гамильтоновым графом.

Теорема (Поша) Если связный граф G:

1)имеет p ≥ 3 вершин;

2)для любого n из того, что 1 ≤ n < (p-1)/2 следует, что число вершин со степенями, не превосходящими n, меньше n;

3)из нечѐтности p следует, что число вершин степени (p-1)/2 меньше (p-1)/2, то G есть гамильтонов граф.

Следствие Если число вершин графа G p ≥ 3 и сумма степеней вершин deg(v) + deg(u) ≥ p для всякой пары несмежных вершин v, u G, то граф G гамильтонов. Следствие Если число вершин графа G p ≥ 3 и deg(v) ≥ p/2 для всякой вершины v G, то граф G гамильтонов.

Следствие Если число вершин графа G p ≥ 3 и deg(v) ≥ p/2 для всякой вершины v графа G, то граф G гамильтонов.

Дерево

Определение Дерево есть связный граф не имеющий циклов. Совокупность деревьев (несвязных графов каждый из которых не имеет цикла) есть лес. Замечание При удалении из дерева G любого ребра граф G становится несвязным.

Теорема Для всякого графа G содержащего p – вершин, q – рѐбер следующие утверждения эквивалентны:

1.Граф G есть дерево.

2.Любая пара вершин в G соединима единственной простой цепью.

3.Граф G связен и q – (p – 1) = 0.

4.Граф G ацикличен и q – (p – 1) = 0.

5.i) Граф G ацикличен.

ii)Если любую пару несмежных вершин в G соединить ребром e, то получившийся граф будет иметь в точности один простой цикл.

Доказательство …………………………………………………………………

Следствие Связный граф G содержащий p – вершин, q – рѐбер, есть дерево тогда и только тогда, когда q – (p – 1) = 0.

Следствие Пусть граф G содержащий p – вершин, q – рѐбер связен. Тогда G имеет единственный простой цикл тогда и только тогда, когда q – (p – 1) = 1.

Принципы и особенности графов относящихся к классу дерево имеют применение в формализации, решении и визуализации самых

Каркас (дерево графа) и хорды (дополнения) графа

Определение Каркас (дерево графа, остов) в связном графе G есть наименьшее по числу рѐбер дерево в G, сохраняющее связность между всеми вершинами.

Определение Если D=(VD, ED) есть дерево графа G=(V,E), то хорда (дополнение) есть любое ребро из множества E – ED.

Теорема Число рѐбер в каркасе графа G содержащим p – вершин, q – рѐбер равно (p – 1).

Доказательство Методом математической индукции. Базис число рѐбер в каркасе графа содержащем одну вершину (p = 1) равно нулю (p - 1) . Предположение пусть для связного графа содержащего p вершин число рѐбер каркаса будет (p – 1). Шаг индукции добавление одной вершины в граф требует, для сохранения связности каркаса для графа с одной добавленной вершиной, добавить одно ребро в каркас, следовательно для графа содержащего (p + 1) вершин, число рѐбер каркаса будет ((p + 1) – 1), ч.т.д.

Следствие Число хорд в связном графе G содержащим p – вершин, q – рѐбер,

есть q – (p – 1).

Множество хорд графа G, дополненных до простых циклов в G, составляют фундаментальную систему циклов в G. Фундаментальную

Матричная теорема о деревьях

Теорема (Кирхгоф*) Пусть граф G = (V,E) имеет множество вершин V = {v1, v2,…,vp} и рѐбер E. Пусть A матрица смежности вершин графа G, M – матрица, полученная из матрицы (–A) путѐм замены i главной диагонали на степень вершины vi, т.е. на число рѐбер принадлежащих вершине vi.

Стягивающее дерево графа G есть наименьшее по числу рѐбер подграф-дерево графа G, соединяющее все вершины в G.

Все алгебраические дополнения матрицы M равны между собой и их общее

Напомним, что алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A, называется число Aij=(- 1)i+jMij, где Mij – дополнительный минор, определитель матрицы получаемый из исходной матрицы A путѐм вычѐркивания i-ой строки и j-го столбца.