pdm_08

Кольцо

Определение. Кольцо (R,{+,∙}) есть множество R, на котором определены две операции (функции): сумма x+y: RxR→R и произведение x∙y: RxR→R, дляx,y,z R удовлетворяющие следующим аксиомам:

1.(x+y)+z = x+(y+z)

2.x+y = y+z

3.0 R x+0 = x

4.x R (-x) R x+(-x) = 0

5.(x∙y)∙z = x∙(y∙z)

6.(x+y)∙z = x∙z + y∙z, x∙(y+z) = x∙y+x∙z.

Кольцо коммутативно, если произведение коммутативно:

7. x∙y = y∙x.

Замечание. Кольцо R конечно, если множество R содержит конечное число элементов. Кольцо есть коммутативная группа по сложению.

Определение. Элемент a кольца R есть обратимый элемент, если существует (обратный) элемент a-1 R, для которого a-1∙a=a∙a-1=e.

Утверждение. Множество обратимых элементов кольца R образует мультипликативную группу.

Замечание. Группа обратимых элементов кольца Zn есть Z*n.

Пример 1. Множество целых чисел Z со сложением и умножением есть коммутативное кольцо.

Многочлены или полиномы

Определение. Многочленом (полиномом) степени n от переменной x называют выражение вида: p(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

где an, an-1,…, a1, a0 – рациональные, действительные или комплексные числа называемые коэффициентами многочлена, an - старший коэффициент (an ≠

0), каждое слагаемое aixi – (i=0…n) называют членом многочлена, a0 – свободный член. Степень многочлена есть n – целое, не отрицательное число, обозначают deg(p(x)). Многочлен нулевой степени есть p(x) = a0. Многочлен p(x) нормирован если его старший коэффициент равен 1.

Замечание. Два многочлена p(x) и q(x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.

Определение. Пусть даны два многочлена p(x) и q(x):

p(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, an ≠ 0, q(x) = bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0, bm ≠ 0,

тогда суммой многочленов p(x) и q(x) называют многочлен вида:

p(x) +q(x) = сsxs+cs-1xs-1+…+c1x+c0,

где коэффициенты ci получены в результате суммы соответствующих коэффициентов многочленов p(x) и q(x) при равных степенях x, т.е. ci=ai+bi;

произведением многочленов p(x) и q(x) называют многочлен вида:

p(x) ∙q(x) = dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d1x+d0,

коэффициенты которого получаются в результате суммы коэффициентов при равных степенях xi в выражении полученном в результате попарного произведения членов многочленов p(x) и q(x). Степень многочлена p(x) ∙q(x)13 равна сумме степеней многочленов p(x) и q(x), т.е. deg(p(x)) + deg(q(x)) .

Полиномиальные кольца или кольца многочленов

Определение. Если R есть коммутативное кольцо, то многочлен (полином) переменной x над кольцом R есть выражение вида:

p(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

где каждое ai R и n > 0.

Определение. Если R есть коммутативное кольцо, то полиномиальное кольцо (кольцо многочленов) R[x] есть кольцо всех полиномов переменной x с коэффициентами из R. Сложение и умножение полиномов определяется обычным образом. Сложение и умножение коэффициентов выполняется в кольце R.

Замечание. Многочлен p(x) называется неприводимым над R, если он не является произведением двух многочленов над R ненулевой степени. Определение. Пусть R[x] – кольцо многочленов над кольцом R и p(x) R[x]. отображение φ кольца R[x], при котором каждому многочлену h(x) из R[x] соответствует остаток от деления его на p(x), называют факторизацией по модулю p(x).

Определение. Множество образов функции φ, обозначаемое R[x]/p(x) есть кольцо относительно операций сложения и умножения (с последующей

Матрицы. Некоторые свойства

Определение. Кронекерово или тензорное произведение квадратных матриц

над полем P (обозначается ) есть операция A B MP(rn), над квадратными

матрицами A=(aij), B=(bij), A MP(r) , B MP(n), получаемая в результате замены каждого элемента aij матрицы A на матрицу aij∙ B, т.е.: A B = (aij∙ B). Замечание. Для тензорного умножения справедливы следующие свойства:

1.ассоциативность A (B C)=(A B) C ;

2.дистрибутивность (A+B) C=A C+B C, C (A+B) C=C A+C B;

3.для A,C MP(n) и B,D MP(r) : (A B)∙(C D)=A∙C B∙D;

из последнего свойства следует, что матрица A B обратима, если обратимы матрицы A и B, при этом выполнено:

4. (A B)-1= A-1 B-1.

Тензорная степень матрицы определяется индуктивно: A-1=A, An=A An-1, n=2,3,…

Замечание. Тензорное умножение матриц не коммутативно.

Замечание. Множество всех квадратных матриц образует моноид относительно операции , в котором единица это матрица размеров 1x1, содержащая единицу поля P. Максимальная подгруппа IG моноида G тривиальна.