решения_ ЛТ2014

Олимпиада Университета ИТМО

по лазерной технике и лазерным технологиям

20 ноября 2014

Задача 1 (3 балла)

Определите, какая доля мощности лазерного излучения находится внутри круговой области r=2r₀, где r₀ - характерный размер гауссова распределения плотности мощности излучения в пучке:

Решение:

Обозначим за P(r) мощность излучения, находящуюся в круговой области радиусом r. Проинтегрируем выражение плотности мощности в полярных координатах (r,φ):

Доля мощности излучения k в круговой области радиусом r равна:

При r=2r­₀

Ответ: 0.982 или 98,2%.

Критерии оценки:

• правильно составлен интеграл плотности мощности: +1 балл;

• правильно найдено выражение P(r): +1 балл;

• получен правильный ответ: +1 балл.

Задача 2 (3 балла)

Резонатор образован выпуклым сферическим зеркалом с радиусом кривизны R₁=-1 м и вогнутым сферическим зеркалом радиусом R₂=1.5 м. Каким должно быть максимальное расстояние между зеркалами, чтобы резонатор оставался устойчивым?

Решение:

Обозначим расстояние между зеркалами резонатора как L. Далее запишем g-параметры двухзеркального резонатора:

Критерий устойчивости: 0<g₁g₂<1

Решаем два квадратных неравенства:

Для выполнения критерия устойчивости необходимо соблюдение обоих неравенств, откуда максимальная длина резонатора равна 1.5 м.

Ответ: 1.5 м.

Критерии оценки:

• записана формула g-параметра: +0.5 балла;

• записан критерий устойчивости: +0.5 балла;

• составлены и решены квадратные неравенства: +2 балла.

Задание 3 (4 балла)

Найдите параметры механического прерывателя, представляющего собой вращающийся диск с прорезью (размер угловой прорези φ и угловую скорость вращения диска ω), если из импульсов длительностью τ₀=100 мкс необходимо получить импульсы излучения длительностью τ₁=40 мкс при частоте следования импульсов f=250 Гц.

Решение:

Для синхронизации вращения диска и следования импульсов лазера необходимо:

Угол φ должен соответствовать времени τ₁ при вращении диска со скоростью ω:

Ответ: ω=1570 рад/с; φ=62.8 мрад.

Критерии оценки:

• верно записано выражение для ω: +1.5 балла;

• верно записано выражение для φ: +1.5 балла;

• рассчитано верное значение ω: +0.5 балла;

• рассчитано верное значение φ: +0.5 балла.

Задание 4 (4 балла)

Найдите давление паров отдачи при лазерном испарении железа, если глубина отверстия растет со скоростью V_отв=15 см/с, а скорость пара у поверхности равна V_п=1 км/с (плотность железа – 7874 кг/м³).

Решение:

Обозначим следующие величины: p – импульс отдачи, F – сила отдачи, P – давление отдачи, m – масса испаренного железа, ρ – плотность железа, h – глубина отверстия, S – площадь отверстия, V – объем испаренного железа, t – время. Напишем выражение для импульса отдачи:

Выведем выражение для давления отдачи через силу отдачи:

Ответ: 1.18 МПа.

Критерии оценки:

• правильно записано выражение для импульса отдачи: +1 балл;

• правильно применено выражение для силы отдачи: +1 балл;

• правильно получено выражение для давления отдачи через известные величины: +1.5 балла;

• получен верный ответ: +0.5 балла.

Задание 5 (5 баллов)

Пучок, излучаемый Nd:YAG-лазером, имеет диаметр d=6 мм, равномерное распределение интенсивности в поперечном сечении и угол расходимости θ=3 мрад. Является ли этот пучок дифракционно-ограниченным? Оцените размер пятна ω₀ для моды ТЕМ₀₀ резонатора.

Решение:

Обозначим следующие величины: θ_d – расходимость дифракционно-ограниченного пучка, r – радиус апертуры резонатора, λ – длина волны. Формула дифракционной расходимости:

θ<θ_d, следовательно, пучок не является дифракционно ограниченным.

Оценим поперечный размер основной моды:

Ответ: пучок не является дифракционно ограниченным, ω₀≈0.45 мм.

Критерии оценки:

• правильно написано выражение для дифракционной расходимости: +2 балла;

• правильно написано выражение расходимости через размер пятна основной моды: +2 балла;

• сделан и обоснован верный вывод относительно дифракционной ограниченности пучка: +0.5 балла;

• получено правильное значение размера пятна основной моды: +0.5 балла.

Задание 6 (7 баллов)

Гауссов пучок, излучаемый гелий-неоновым лазером видимого диапазона, имеющий размер пятна в перетяжке ω₀₁=0,5 мм, нужно сфокусировать таким образом, чтобы перетяжка пучка с размером пятна ω₀₂=50 мкм образовалась на расстоянии 1 м от перетяжки исходного пучка. Какое фокусное расстояние должна иметь линза и где она должна быть расположена?

Решение:

Обозначим следующие величины: L=1 м – расстояние между перетяжками, L₁ – расстояние от перетяжки исходного пучка до линзы, L₂=L-L₁ – расстояние от линзы до перетяжки полученного пучка, f – фокусное расстояние линзы, λ – длина волны. Для расчета применим метод ABCD-матриц.

Матрица воздушного промежутка длиной L₁:

Матрица тонкой линзы с фокусным расстоянием f:

Разобьем нашу систему последовательно на воздушный промежуток длиной L₁, тонкую линзу с фокусным расстоянием f и воздушный промежуток длиной L₂. По правилам матричной оптики, для того, чтобы получить матрицу системы элементов, необходимо перемножить матрицы элементов в обратном порядке. Отсюда найдем матрицу искомой системы:

(1)

Комплексные параметры пучков q₁ и q₂ в плоскостях перетяжек связаны соотношением:

(2)

Общая формула комплексного параметра гауссова пучка:

где R – радиус кривизны волнового фронта. Волновой фронт в перетяжке является плоским, значит, R=∞, 1/R=0. Отсюда выразим комплексные параметры:

Подставим (1) и (3) в (2), получим:

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

Заменим L₂=L-L₁=1-L₁ и решим полученную систему уравнений для двух неизвестных – L₁ и f.

Ответ: f≈14.3 см; L₁=85 см.

Критерии оценки:

• записаны матрицы элементов: +1 балл;

• получена матрица системы: +1 балл;

• записана формула комплексного параметра: +1 балл;

• записано выражение связи комплексных параметров: +1 балл

• получена система уравнений: +1.5 балла;

• получен верный ответ: +1.5 балла.