5.6.2. Собственные структуры

Оптимальность разложения по базисным функциям можно определить по тому или иному критерию в зависимости от решаемой задачи. Эффективность аппроксимации случайного процесса оценивается по критерию минимума среднеквадратической погрешности. Минимизация данной погрешности достигается, если базисными являются собственные векторы ковариационной матрицы распределения процесса, который получил название - разложение Карунена-Лоева.

Разложения в ряд Карунена-Лоева сигнала , заданного на промежутке времени отдос конечной энергией, представляется следующим образом:

,

причем

,

а система значений представляет собой базис Карунена-Лоева - собственные векторы ковариационной матрицы сигнала. Отсчетыявляются коэффициентами ряда и имеют дисперсии, составляющие энергетический ряд

.

На основе этого построено и дискретное преобразование Карунена-Лоева. В результате обработки сигналов одной из основных операций является уменьшение избытка информации.

5.7. Марковские процессы

В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество есть область значений процесса и область определения параметра времени, различают четыре основных вида марковских процессов:

- марковские цепи (марковский процесс, у которого область значений (значения процесса) и область определения (время) – дискретные множества);

- марковская последовательность (марковский процесс, у которого область значений (значения процесса) – непрерывное множество, а область определения (время) – дискретное множество);

- дискретный марковский процесс (марковский процесс, у которого область определения (время) – непрерывное множество, а область значений (значения процесса) – дискретное множество);

- непрерывнозначный марковский процесс (марковский процесс, у которого область значений и область определения – непрерывные множества).

Характер временных реализаций перечисленных процессов показан на рис.5.17.

Случайный процесс является марковским, если для любыхмоментов времениусловная функция распределения «последнего» значенияпри фиксированных значениях,, …,зависит только от.

Важным, определяющим специфику марковости, является свойство условной плотности вероятностей

,

где - переходная плотность вероятности из состояния в состояние.

Для марковских процессов справедлива теорема о факторизации, в соответствии с которой вероятность состояния в моментсвязана с вероятностью первоначального состояниясоотношением

.

Так в соседних сечениях ипроцессавероятности состояния связаны следующим образом

.

То есть значения марковского процесса образуют своеобразную цепь, в которой очередное звено определяет состояние последующего или же соответственно: его состояние зависит только от состояния предыдущего.

Для стационарных процессов

.

Рис. 5.18. Реализация марковского процесса и его гистограмма плотности распределения

Приведенные свойства отображают важнейшую специфику и отличие случайных процессов, а именно: свойство динамики, поскольку позволяет описывать (моделировать) изменение свойств системы во времени, что невозможно описать с помощью эргодических процессов или случайных величин. Вместе с тем, марковские процессы не обладают достаточной гладкостью (рис.5.18), и в общем случае имеет произвольный закон распределения.

Часто используется центрированный марковский процесс, для которого плотность распределения вероятности носит гауссовский характер

,

- дисперсия процесса.

Такой сигнал называют гауссовским марковским процессом (рис.5.19).

Рис. 5.19. Реализация марковского гауссовского процесса и его гистограмма плотности распределения

Уравнение корреляционной функции для центрированного гауссовско-марковского процесса имеет вид (рис.5.20 а)

.

где ,- интервал корреляции.

Корреляционной функции соответствует спектральная плотность мощности (рис.5.20 б)

.