5.2. Случайные величины и их свойства

Случайная величина появляется как результат множественной реализации случайных событий , каждая из которых имеет вероятность появления. Очевидно, эти события могут группироваться вокруг определенных значений. При этом можно говорить о плотности распределения этих значений, плотности вероятностей. Плотностьможет быть выражена через интегральную функциюили через дифференциальный оператор:

,

где - вероятность того, что случайная величинаменьше или равна определенного значения.

Плотность распределения случайной величины или интегральная функция распределения вероятностей, связанные между собой приведенными выше соотношениями несут исчерпывающую информацию о случайных величинах. Вместе с тем, на практике часто используют моменты этих распределений, характеризующих то или иное свойство.

Моменты -го порядка случайной величинывыражаются значением

.

Моментом 1-го порядка является математическое ожидание случайной величины

.

Кроме моментов используют также и центральные моменты:

.

Центральный момент 2-го порядка – это дисперсия

.

Начальным моментом 2-го порядка называется ковариационная функция для двух случайных величин и

.

Центральным моментом 2-го порядка называется корреляционная функция для двух случайных величин и

.

Используется также безразмерный относительный коэффициент корреляции

Очевидно, когда =получаем,.

5.3. Законы распределения случайных величин

Распределения случайных величин различаются по различным законам и по параметрам этих законов.

Равномерное распределение. При равномерном распределении случайная величина может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку, причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой шириныравны. Тогда плотность вероятности

Функцию распределения находят путем интегрирования:

Математическое ожидание

,

естественно, совпадает с центром отрезка .

Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности,

.

Плотность вероятности и функция распределения равномерно распределенной случайной величины представлены на рис.5.2.

По равномерному закону распределена фаза случайного процесса.

Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

,

содержащая два числовых параметра и. График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке(рис. 5.3).

Рис. 5.3. График плотности вероятности гауссовой случайной величины при различных значениях СКО (=0,5 и=1)

Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ;.

Функция распределения гауссовой случайной величины

.

Замена переменной дает

.

где - функция, так называемый интеграл вероятностей:

.

График функции (рис. 5.4) имеет вид монотонной кривой изменяющейся от нуля до единицы.

Рис. 5.4. График функции распределения вероятностей гауссовой случайной величины

Данный закон является широко распространенным, часто и обоснованно используется в теории связи. В соответствии с теоремой Шермана нормальный закон является наилучшей аппроксимацией неизвестного распределения. Важность закона подтверждается центральной предельной теоремой теории вероятностей, в соответствии с которой случайная величина , образованная как сумма-большого числа других случайных величин, соизмеримых друг с другом, каждая из которых имеет произвольное распределение, имеет распределение, приближающееся к нормальному закону.

В каналах связи часто возникает многолучевый характер распространения радиоволн, поэтому мгновенные значения сигнала являются случайно замирающимися и в силу выполнения условий центральной предельной теоремы подчиняется нормальному закону. Амплитуда жераспределена по закону Рэлея.

Рэлеевское распределение. Плотность распределения такой случайной величины записывается выражением

,

где - параметр распределения.

Плотность распределения вероятности рэлеевской случайной величины представлена на рис.5.5.

Функция распределения рэлеевской случайной величины запишется как

.

Рэлеевский закон хорошо аппроксимирует значения амплитуды случайного замирающего сигнала в радиоканалах связи.

Райсовское распределение. В некоторых литературных источниках распределение для таких случайных величин называется обобщенным законом Рэлея, законом Рэлея-Райса, распределением Райса. Плотность распределения такой случайной величины имеет вид

,

где - параметр распределения (СКО), характеризующий разброс переменной компоненты райсовской случайной величины;- математическое ожидание;- модифицированная функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.

Плотность вероятности райсовской случайной величины представлена на рис.5.6.

Райсовским законом описываются огибающая смеси сигнала и помехи.