10.1.2 Прием узкополосного сигнала

Подавляющее большинство радиотехнических систем функционируют, используя узкополосные сигналы. Существуют три эквивалентных способа представления действительного узкополосного сигнала. Первый из них выглядит следующим образом

, (10.10)

где - амплитуда сигнала,- фаза сигнала.

Предполагается, что амплитуда и фаза сигнала являются медленно меняющимися функциями времени. Изменения амплитуды и фазы обусловлены модуляцией высокочастотного колебания частоты . Спектр такого сигнала занимает частотную полосувблизи частоты. Узкополосные сигналы удовлетворяют условию.

Используя тригонометрическую формулу преобразования косинуса суммы двух углов в выражении (10.10), получим второй способ представления узкополосного сигнала в виде

. (10.11)

Такое представление узкополосного сигнала принято называть разложением сигнала по квадратурам. Именно это разложение сигнала используется в передающем устройстве для формирования передаваемого сигнала. Передатчик генерирует два взаимно ортогональных колебания и, модулирует их медленно меняющимися функциямии, соответственно, смешивает, усиливает и отправляет к передающей антенне для излучения в пространство. Приемник, получив сигнал, разделяет две квадратурные компоненты, используя их ортогональность. Для этого он умножает принятый сигналкак на, так и на. После интегрирования (усреднения по времени) выделяются модулирующие медленно меняющиеся функциии.

Третий способ представления узкополосного сигнала выглядит следующим образом

. (10.12)

Здесь функция называется комплексной амплитудой или комплексной огибающей.

Она несет информацию об изменениях амплитуды и фазы сигнала .

Хотя в природе не существует комплексных сигналов, использование понятия комплексной амплитуды существенно упрощает решение многих задач. Если, например, реальные сигналы подвергаются линейной обработке, то теоретический анализ этого преобразования более просто сделать с эквивалентным комплексным сигналом. После этого достаточно взять реальную часть полученного результата, чтобы получить правильный результат для преобразования реального сигнала. Более того, во многих случаях высокочастотный множитель можно опустить и рассматривать только преобразование комплексной амплитуды . Это дополнительно упрощает теоретический анализ систем обработки узкополосных сигналов.

Гармонический сигнал, который мы уже рассмотрели, следует также отнести к классу узкополосных сигналов как предельный случай, если .

Возникает вопрос: “Как АР будет реагировать на прием узкополосного сигнала, в отличие от гармонического сигнала?”.

Поскольку элементы АР находятся в различных точках пространства, как мы видели раньше, необходимо учитывать задержки сигналов. Допустим, что максимальный размер АР равен L. Ему соответствует максимальная задержка сигнала . В случае гармонического сигнала это ведет к появлению разности фаз. В случае узкополосного сигнала кроме этого эффекта наблюдается задержка комплексной огибающей. Поэтому, строго говоря, в каждый момент времени значения комплексных амплитуд в различных элементах АР отличаются друг от друга. Однако следует учесть, что огибающаяменяется очень медленно. Характерное время изменения обратно пропорционально ширине спектра сигнала и приблизительно равно. Если, то можно считать, что огибающаяимеет одинаковое значение для всех элементов АР. Фактически мы накладываем ограничение на размер АР.

Чтобы огибающая узкополосного сигнала сохраняла свое значение во всех элементах АР, максимальный размер АР должен удовлетворять условию . Допустим, что сигнал имеет ширину спектра 10 МГц (Гц). Принимая скорость света равнойм/с, получим, чтоL<<30 м.

В дальнейшем везде предполагается, что условие выполняется и комплексная огибающая сигнала в каждом элементе АР одинакова.

В системах цифровой связи сигнал имеет конечную длительность и во многих случаях длительность сигнала и ширина его спектра связаны соотношением . Такие радиотехнические системы обычно называют узкополосными. Существуют также системы, которые являются широкополосными.

Система называется широкополосной, если она использует сигналы с большой базой .

Это сигналы с частотной манипуляцией, фазовой манипуляцией, а также сигналы, использующие мультиплексирование ортогональных частот (OFDM). Нужно иметь в виду, что такие сигналы остаются узкополосными, поскольку выполняется условие . Таким образом, широкополосная система (например, система связи с кодовым разделением пользователей) использует узкополосные сигналы.

Сигнал на входе приемника почти всегда имеет случайное значение комплексной амплитуды. Для этого существует много причин. Во-первых, комплексная амплитуда может меняться случайным образом в результате модуляции в передатчике. Например, в случае QPSK модуляции комплексная амплитуда принимает четыре значения с равной вероятностью. Во-вторых, при многолучевом распространении сигнала на входе приемника суммируется множество копий одного и того же сигнала со случайными фазами и амплитудами. В результате комплексная амплитуда суммарного сигнала становится случайной величиной с нормальным распределением, а ее модульное значение (амплитуда реального сигнала) флуктуирует по релеевскому закону. В-третьих, в радиодиапазоне существуют шумы аппаратуры и окружающей среды, а также помехи различного происхождения. Шумы и помехи, принятые в частотной полосе приемника представляют собой узкополосные сигналы со случайными комплексными амплитудами.

Рассмотрим антенную решетку, на выходах которых задан многомерный случайный процесс , являющийся суммой многомерного сигнала, помехии шума.

. (10.13)

Полагаем, что введенные многомерные процессы стационарны и имеют нулевые математические ожидания.

Для решения задач пространственно-временной обработки сигналов важное значение имеют матрицы пространственной корреляции:

1) для сигнала

, (10.14)

2) для помехи

, (10.15)

3) для шума

, (10.16)

где - эрмитово сопряжение (знак транспонирования и комплексного сопряжения),- оператор математического ожидания.

Диагональные элементы этих матриц дают среднюю мощность случайных сигналов, помех или шумов в соответствующей приемной антенне. Недиагональные элементы дают функции корреляции этих сигналов в различных элементах. Симметричные относительно диагонали элементы матриц являются комплексно сопряженными. Такие матрицы называются эрмитовыми.

При этом корреляционная матрица для входного воздействия будет равна:

. (10.17)

При анализе свойств системы с АР наиболее важное значение имеют те корреляционные матрицы, для которых . В этом случае вместо,,часто используются упрощенные записи:,,.

Тогда корреляционная матрица для входного воздействия представится в виде:

. (10.18)

Обычно полагают, что шумы обусловлены собственным шумом усилителя, включенного в каждый элемент АР. Очевидно, что шумы в различных усилителях статистически независимы между собой. Поэтому каждый недиагональный элемент КМ собственного шума равен нулю. Будем предполагать, что средняя мощность собственного шума в каждом элементе АР одинакова и равна . В этом случае КМ собственного шума равна

,

где - единичная матрица.