3 Исследование свойств рекурсивных методов оптимальной оценки случайных сигналов

Цель работы: исследование рекутривных методов оценки случайных величин и случайных процессов.

3.1. Подготовка к выполнению работы

Во время домашней подготовки необходимо изучить теоретический материал по конспекту лекций, рекомендованной литературе и приведенными ниже краткими теоретическими сведениями.

3.2. Рекурсивные методы оптимальной оценки случайных величин

Для рекурсивной оценки параметров таких случайных объектов, как случайные величины, разработаны процедуры стохастической аппроксимации: Роббинса-Монро, Кифера-Вольфовица, Ньютона-Рафсона, Качмажа и др. Данные процедуры разработаны для нахождения корней уравнения регрессии и носят обобщенное название градиентных процедур, поскольку в процессе итерационных вычислений находится минимум функционала качества

:.

Для рекурсивной оценки случайных величин используют условное среднее , где учтено, что среднее находится с учетом наблюдений :

,

В этом случае используется критерий минимума среднеквадратического отклонения

,

где - оценка случайных величин .

Рекурсивная процедура Роббинса-Монро на шаге представляется в виде

, (3.1)

где - уравнение наблюдения, формирующее наблюдаемую статистику, - коэффициент, обеспечивающий сходимость процедуры (3.1).

На рис.3.1 представлена структурная схема процедуры (3.1).

К коэффициенту сходимости процедуры (3.1) предъявляются особые требования, обеспечивающие выполнение условий устойчивости. Этот коэффициент должен отвечать условиям Дворецкого:

. (3.2)

Можно показать, что при условии (3.2) оценка (3.1) сходится асимптотически, и выражение асимптотически стремится к нулю. Иными словами, при апостериорная дисперсия , показывающая степень разброса ошибки , стремится к нулю. При этом крутизна данной характеристики зависит от выбора . Очевидно, коэффициент, обеспечивающий сходимость (3.1) должен быть меньше единицы, например, он может быть вида

.

Следует заметить, что все процедуры градиентного типа отличаются выбором характера зависимостей . Так, в известной процедуре Уидроу-Хоффа .

3.3. Рекурсивные методы оптимальной оценки случайных процессов

Для оценки случайных процессов Калманом и Бьюси разработана достаточно эффективная оптимальная в гауссовом и линейном приближениях процедура, получившая название «фильтра Калмана-Бьюси». В основе этой процедуры лежит математическая модель в виде уравнения состояния, и уравнения наблюдения. Сама же процедура оценки имеет следующий вид:

, (3.3)

где - коэффициент, обеспечивающий устойчивость и оптимальную скорость сходимости алгоритма к установившемуся состоянию. Как и коэффициент , входящий в процедуру (3.1) он определяет основную специфику сходимости того или иного алгоритма. Данный коэффициент в фильтре Калмана-Бьюси подлежит рекурсивному вычислению на каждом шаге согласно алгоритма

,

Вычисление апостериорной дисперсии:

,

Уравнение для априорной дисперсии:

,

где - соответственно значения спектральных плотностей мощности порождающего шума и шума наблюдения . Значение соответствует апостериорной дисперсии ошибки оценки .

Следует отметить еще одно важное отличие фильтра Калмана-Бьюси от процедуры (3.1). Это наличие множителя - матрицы состояния с элементами , которые определяют величину корреляционной связи между соседними отсчетными значениями наблюдаемого процесса и величину связи между компонентами i и j при i  j. Здесь уместно отметить, что чем более коррелированными являются отсчеты наблюдаемого процесса тем выше качество получаемой оценки. На рис. 3.2 представлена структурная схема алгоритма оценки (2.3).

Характерно, что в выражение для апостериорной дисперсии не входят значения ни , ни , то есть зависит лишь от времени и параметров самого фильтра, а не значений наблюдаемого процесса.

Это дает возможность анализа качества оценки без проведения имитационного моделирования. Вместе с тем, реальные характеристики фильтра Калмана-Бьюси необходимо исследовать путем сопоставления результатов, как имитационного моделирования, так и аналитического исследования.

Процедура оценки (3.3) должна быть сопоставлена соответствующим статистическим параметрам тех или иных характеристик сигналов и шумов. Так матрица определяет скорость изменения оцениваемых характеристик. Аналогично должны быть выбраны и параметры матриц и . На практике часто эти параметры не всегда точно известны. Неточность выбора всех этих параметров приводит к потерям эффективности фильтрации. Во многих практических случаях сознательно идут на упрощение процедур, выбирая коэффициенты матриц независимыми от времени: , , . Эти упрощения в свою очередь приводит к дополнительным потерям точности. Однако эти упрощения существенно снижают громоздкость, многомерность векторных процедур, что часто оказывается оправданным. Так, редко можно указать характеристики и др., поэтому часто выбор упрощенных значений может привести к меньшим потерям, нежели при попытке указать модели реальной статистической обстановки.

Рассмотренный алгоритм Калмана-Бьюси, обеспечивающий оптимальную оценку случайного процесса , является линейной процедурой. На практике задачу оценки не всегда удается свести к линейной процедуре. Так, оценка фазы сигналов при решении задачи синхронизации в технологии PDH, ATM, параметров трафика, величину загрузки буферов в ЧНН в ряде случаев нельзя свести к линейной процедуре. Кроме того, сам процесс наблюдения , обеспечиваемый по каналам ОКС с учетом процессов модуляции, кодирования, других ограничений, не выражается в идеально линейной форме. Все это требует рассмотрения так же и нелинейных алгоритмов оценки параметров случайных процессов.

Задача синтеза нелинейных алгоритмов представляется более сложной и требует привлечения в каждом конкретном случае специфических решений. Вместе с тем, эти решения следует искать в рамках рекурсивных методов, что обеспечит возможность комплексных методов измерений, наблюдений и оценивания. Такие решения можно найти, используя марковскую теорию нелинейной фильтрации, разработанную Колмогоровым, Стратоновичем и развитую Тихоновым.