2.2.2. Построение класса общерекурсивных функций

Математиками были предприняты попытки построения вычислимых функций, не являющихся примитивно-рекурсивными, и такие функции были получены Это позволило сделать вывод, что класс примитивно-рекурсивных функций не охватывает всех вычислимых функций и нуждается в расширении. Однако нас ограничивает, прежде всего, принятая форма индукции (схема V), которая определяет функцию  через уже известные функции  и .

Пример 2.3. Пусть для примера 2.2 нас интересует значение (3, 5). Формально проанализируем, какие операции нам нужно совершить, чтобы пользуясь схемой (A) и (B), вычислить  (3, 5).

1. Подставим в (B) вместо переменных числа n=2, x=5. Получим (3, 5)=(2, 5)+1.

2. Подставим в (B) n=1, x=5 и определим (2, 5): (2, 5)=(1, 5)+1.

3. Аналогично получим (1, 5)=(0, 5)+1.

4. Подставим в (A) x=5. Получим(0, 5)=5.

5. Заменим в выражении пункта 3 (0, 5) на 5, согласно пукту 4: (1, 5)=5+1=6.

6. Заменив (1, 5) в выражении пункта 2 её значением из пункта 5, получим (2, 5)=6+1=7.

7. Наконец, заменив (2, 5) в выражении пункта 1 её значением из пункта 6, получим (3, 5)=7+1=8.

В рассмотренном примере нам для организации вычислений понадобилось лишь две операции:

1) подстановка чисел на место переменных;

2) замена вхождений, то есть замена в одном из равенств входящей в него левой части другого равенства на его правую часть ( или наоборот).

Если некоторое равенство может быть выведено с помощью этих двух операций из заданной системы равенств Е, то говорят, что это равенство выводимо в системе Е.

Определение. Функция () называется общерекурсивной, если существует такая конечная система равенств Е, что для любого набора чисел найдётся такое одно и только одно числоy*, что равенство ()=y* может быть выведено из Е с помощью конечного числа применений операций подстановок числа на место переменных и замены вхождений.

Говорят, что Е рекурсивно определяет функцию . Здесь не требуется, чтобы значения функции вычислялись с помощью её значений в предыдущих точках; не требуется, чтобы входящие в систему Е вспомогательные функции были всюду вычислимы; не фиксируется никакая схема индукции. Требуется только, чтобы система равенств Е так определяла данное значение  с помощью других значений  и некоторых значений вспомогательных функций, чтобы  во всех точках можно было однозначно вычислять на основании системы Е.

Приведенное определение общерекурсивной функции не конструктивно, так как не раскрывает механизма вычислительной процедуры нахождения числа y*. Можно, конечно, попробовать выводить из Е все возможные равенства до тех пор, пока не встретится равенство, которое нас интересует. Однако при таком подходе нет никакой гарантии, что этот процесс перебора не продлится неопределённо долго (ср. с лабиринтом).

Процессу перебора можно придать определённую регулярность, так чтобы этот процесс годился для вывода равенства()=y* за конечное, но не ограниченное заранее число шагов.

Отметим, что равенство ()=y* может быть представлено в эквивалентной форме (, y)=0. Последнее равенство в общем случае имеет вид (, y)=0; этому выражению может быть поставлен в соответствие предикат P(, y), истинный в случае =0..

Гёдель предложил метод сведения любого алгоритма к численному алгоритму путём специальным образом организованной нумерации любых выражений. Этот метод носит название гёделизация. Рассмотрим этот метод.

Включим все условия задачи, доступные для переработки данным алгоритмом A, в занумерованную неотрицательными целыми числами последовательность A₀, A₁, A_{2, ...,} A_n, ... Совершенно аналогично записи возможных решений также включим в занумерованную последовательность B₀, B₁, B₂, ..., B_m, ...

Теперь можно любой алгоритм, перерабатывающий запись условий A_n в запись решения B_m, свести к вычислению значений некоторой числовой функции m=(n), т.е. можно говорить об алгоритме, который перерабатывает номер записи условия в номер записи решения. Этот алгоритм будет численным алгоритмом.

Очевидно, что если есть алгоритм, решающий исходную задачу, то имеется и алгоритм вычисления соответствующей функции. Справедливо и обратное утверждение.

Гёдель предложил рассматривать запись некоторого числа n в форме

n=... где p₀=2, p₁=3, p₂=5 и вообще p_m - m-е простое число.

Из этой записи видно (в силу теоремы о единственности разложения любого числа на простые множители), что каждому числу n однозначно соответствует набор a₁, a₂, .., a_m и, наоборот, каждому набору a₁, a₂, ..., a_m однозначно соответствует число n. Например, при n=60 имеем: 60 = 2² 3¹ 5¹ , т.е. a₁ = 2, a₂ = 1, a₃ = 1.

C помощью этого способа мы можем нумеровать теперь любые упорядоченные последовательности, состояшие из m чисел. Расмотрим следующие примеры.

1. Каждой паре чисел a₁ и a₂, для которой мы ищем её наибольший общий делитель q, может быть поставлен в соответствие гёделевский номер этой пары

n=.. некоторый Алгоритм Евклида сведётся тогда к вычислению функции q =(n).

2. Пусть требуется занумеровать все слова в некотором алфавите A. Это легко сделать, поставив в соответствие каждой букве алфавита какое-либо число. Тогда каждому слову в алфавите A будет соответствовать последовательность чисел. Проводя затем обычным способом гёделизацию, получим гёделевский номер этой последовательности. Ясно, что номер слова определяется выбранной системой соответствий между буквами и числами. Теперь легко пронумеровать все последовательности слов (например, все дедуктивные цепочки). Здесь также имеется однозначное соответствие последовательности слов и последовательности гёделевских номеров этих слов. Проведя гёделизацию вторично, мы можем определить гёделевский номер самой последовательности гёделевских номеров отдельных слов.

Итак, с помощью гёделизации арифметические алгоритмы сводятся к вычислению значений целочисленных функций. Аналогично любой нормальный алгоритм Маркова может быть также сведен к вычислению значений целочисленных функций. Поэтому алгоритм вычисления значений целочисленных функций можно считать универсальной формой алгоритма.

Оказывается, что путём гёделизации процесс перебора всех выводов сводится к применению оператора наименьшего числа. Введение в рассмотрение этого оператора приводит к иному способу определения рекурсивных функций.

Оператор наименьшего числа ставит в соответствие примитивно-рекурсивному предикатуP(, y)(или примитивно-рекурсивной функции (, y), представляющей предикат P ) примитивно-рекурсивную функцию () следующим образом:

()=y_yz| P(, y)=y _yz | (, y)=0(2.5)

при условии

(x₁)(x₂)...(x_n) (y)_yz | P(, y)(2.6)

или

(x₁) (x₂) ... (x_n) (y)_yz |(, y)=0,(2.7)

где z в общем случае может быть примитивно-рекурсивной функцией переменных

, то есть

z=z(). (2.8)

Утверждение. Любая общерекурсивная функция () может быть представлена в виде

()={y|(, y)=0}, (2.9)

где  и - это примитивно-рекурсивные функции, причём для функции справедливо выражение

(x₁) (x₂) ... (x_n) (y) |(, y)=0. (2.10)

Типичной ситуацией применения -оператора является построение обратных функций. Допустим, что для некоторой функцииy=f(x) существует обратная функция, то есть для каждого натурального y существует единственное значение x, для которого f(x)=y; в таком случае обратная функция x=(y) может быть определена посредством -оператора:(y)=x |f(x)=y.

Многие функции анализа, такие как показательная c^x и степенная x^c , определены на всём натуральном ряде, если параметр c выбран подходящим образом. Однако этого нельзя утверждать об обратных функциях; например, log_cx или , вообще говоря, не будет натуральным числом даже при натуральномc. В таких случаях удобно рассматривать арифметические варианты обратных функций, которые заключаются в следующем: в качестве значений функции объявляется целая часть истинных значений функции, то есть ](y)[, где ]x[ - целая часть числа x. Теперь ясно, что исходя из функции у=c^x или y=x^c, можно определить арифметические обратные функции посредством - оператора:

]log_r(y)[ =x | r^x+1>y;

][ =x |(x+1) ^r>y.

Рекурсивное описание называется примитивно-рекурсивным, если в нём не участвует -оператор, то есть допускаются только операторы суперпозиции, введения фиктивных переменных и примитивной рекурсии.

Если к уже известным нам схемам определения примитивно-рекурсивных функций добавить схему VI, составленную из выражений (2.9) и (2.10), то мы получим в результате конечного числа применений схем I-VI общерекурсивную функцию ().

Таким образом, примитивно-рекурсивные функции являются частным случаем общерекурсивных функций; всякая примитивно-рекурсивная функция есть общерекурсивная функция, но не наоборот.