ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

1

2

Рівняння, звідні до рівнянь,

однорідних відносно змінних:

x = x1 + h, y = y1 + k ,

y′

,

– корені системи рівнянь

a2 x + b2 y + c2

де ∆ =

a1h + b1k + c1 = 0,

+ b2k + c2 = 0.

Лінійні рівняння

Є рівнянням з відокремлюваними

Загальний розв’язок:

−∫ P( x) dx

1. Підстановка Бернуллі:

u = u(x), v = v(x)

2. Методваріації довільної сталої (метод

лінійні неоднорідні:

Загальний розв’язок відшукується

y′+ P(x) y = f (x) , f (x) ≠ 0

3. Метод інтегрувального множника

Обидві частини рівняння множаться на

інтегрувальний множник:

µ(x) = e∫ P( x) dx

Рівняння Бернуллі:

z = y1−α

y′ + P(x) y = yα

α Rα, ≠

y = uv, u = u(x), v = v(x)

y′ + P(x) y + Q(x) y2 = f (x) .

Якщо:

– сталі;

1) є рівнянням з відокремлюваними

2) є лінійним рівнянням;

3) є рівнянням Бернуллі;

4) відомий частинний

4) зводиться до рівняння Бернуллі

розв’язок

підстановкою y = y1 + z

1

2

Рівняння уповнихдиференціалах

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ,

де P(x, y)dx + Q(x, y) dy = du ,

Загальний інтеграл

тобто рівняння вигляду:

u(x, y) = C

du = 0 .

Критерій того, що рівняння є

рівнянням уповнихдиференціалах

∂x

Обидві частини рівняння множаться

на інтегрувальний множник µ(x, y):

Рівняння, звідні до рівнянь у

= F(x) ,

повнихдиференціалах

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ,

знаходиться з рівняння

≠ ∂Q

= F(x) ;

∂x

= F1( y) ,

знаходиться з рівняння

= F ( y)

1

Рівняння, нерозв’язні відносно

похідної:

а) y = f (x, y′) ;

а) y′ = p ;

б) x = f ( y, y′)

б) y′ = p

Рівняння Лагранжа

y′ = p

y = x ϕ ( y′) + ψ ( y′)

Рівняння Клеро

y′ = p

y = x y′ + ψ ( y′)

Назва

Підстановка

диференціального рівняння

та його вигляд

метод розв’язання

Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку

1.

Загальний розв’язок отримується

n-кратним послідовним інтегруванням

2. F(x, y(n) ) = 0

Рівняння зводиться до вигляду:

3. F(x, y(k) , y(k+1) ,…, y(n) ) = 0

y(n) = p(n−k )

4. F( y, y′, y′′,…, y(n) ) = 0

5. F(x, y′, y′′,…, y(n) ) = 0 ,

Зводиться до рівняння, порядок якого на

де F(x, y′, y′′,…, y(n) ) =

=

Φ (x, y, y′,…, y(n−1) ) = C

6. Рівняння однорідне відносно

функції та її похідних:

де F(x,ty,ty′,…,ty(n) ) =

= t

Лінійні диференціальні рівняння n -го порядку

Загальний розв’язок:

n

Ci yi ,

y(n) + a1(x) y(n−1) +…+ an−1(x) y′

i=1

де y1(x), y2(x), …, yn(x) –

фундаментальна система

розв’язків цього рівняння,

1,n

– довільні сталі

1

2

Неоднорідні рівняння:

Загальний розв’~язок:

y(x) = y0 (x) + y(x) ,

y(n) + a1(x) y(n−1) +…+ an−1(x) y′ + an (x) y = f (x)

y0 (x) – загальнийрозв’я-

зок відповідного однорідно-

го диференціального рівнян-

– деякий частин-

ний розв’язок неоднорідного

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

n -го порядкузі сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

Характеристичне

рівняння

Корені характери-

стичного рівняння

Різновиди

– комплексно-

коренів

спряжені корені кратності s

Лінійно незалежні

ekx , xekx ,…, xr−1ekx

розв’язки

sinβ x.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядкузі сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

Характеристичне

рівняння

Корені характери-

стичного рівняння

Різновиди коренів

k1 ≠ k2

± iβ

Фундаментальна

cosβ x

система розв’язків

y2 = ek2x

x sinβ x

Загальний

y = C1ek1x + C2ek2x

(C1 + C2 x) ekx

y = (C1 cosβ x +

розв’язок

+ C2 sinβ x) eα x