ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(cthu)′ = −

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

§5. Границі. Неперервність

361

Продовження таблиці 5.1

x ~ sin x ~ tg x ~ arcsinx ~ arctg x ~ ln(1+ x) ~ ex −1

x →

Еквівалентні

u(x) ~ sinu(x) ~ tgu(x) ~ arcsinu(x) ~ arctgu(x) ~

~ ln(1+ u(x)) ~ eu( x) −1 ,

нескінченно

малі

u(x) →

0 при x →

a x −1 ~ xlna ,

loga

(1+ x) ~

ln a

(1+ x)µ −1 ~ µx

при x →

Еквівалентні

Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 +…+ an ~ a0 xn

нескінченно

при x →

∞

великі

Таблиця

= ∞

, c ≠ 0 ; 2)

∞

= ∞ ;

= 0 ;

∞

визначеностей

= 0 ;

5) c ∞ = ∞ , c ≠ 0 ; 6) ∞ ∞ = ∞ ;

∞

8) 0∞

9) ∞ ∞

7) ∞ + ∞ = ∞ ;

= 0 ;

= ∞ .

Типи

∞

{0 ∞

{∞

− ∞

}, {1∞ },

{∞

0 }, {00 }

невизначеностей

∞

lim f (x) = f (a) ;

Неперервність

x → a

f (a) = 0 ;

функції

lim ∆

в точці x = a

∆ x→

f (a + 0) = f (a − 0) = f (a)

Розрив першого роду:

f (a + 0),

f (a − 0) ;

а) усувний;

f (a + 0) = f (a − 0) ≠ f (a)

або

f (a + 0) = f (a − 0) , якщо функція

f (x)

невизначена при x = a ;

б) стрибок

f (a + 0) ≠

f (a − 0)

Хоча б одна з границь

Розрив другого роду

f (a + 0),

f (a − 0)

не існує або дорівнює нескінченності.

362	Глава 7. Довідковий матеріал

§6. Основні формулидиференціального числення функцій однієї змінної

Таблиця 6.1 – Основні правила та формули диференціювання

					Основні правиладиференціювання
1.	C′ = 0 .
2.	(Cu)′ = Cu′.
3.	(u ± v)′ = u′ ± v′ .
4.	(u v)′ = u′ v + u v′ .
5.		u ′	=	u′ v − u v′			,	v	≠	0 .
5.			=		v	2	,	v	≠	0 .
		v			v	2
6.	(f (u))′x				= f ′ u′ .
					u	x
7.	x′ =		1		, де	x = x( y)				– обернена функціядля функції y = y(x) .
7.	x′ =				, де	x = x( y)				– обернена функціядля функції y = y(x) .
		y	y′x
			y′x
Тут C – стала,						u = u(x),				v = v(x) .

Правило диференціювання добутку n функцій

u = u(x), v = v(x), w = w(x),…, z = z(x) :

(u v w…z)′ = u′ v w…z + u v′ w…z +…+ u v w…z′ .

Основні формулидиференціювання

1.	(uα )′ = α uα −1 u′, α R .
2.	(loga u)′ =				1		u′ .
				uln a

3.	(lnu)′ =	1	u′ .
		u

4.	(au )′ = au lna u′ .
5.	(eu )′ = eu u′ .
6.	(sinu)′ = cosu u′ .
7.	(cosu)′ = −sinu u′ .
8.	(tgu)′ =		1			u′ .
			2		u
		cos
9.	(ctgu)′ = −				1			u′.
				sin2 u

§6. Основні формули диференціального числення функцій однієї змінної 363

Продовження таблиці 6.1


10.	(arcsinu)′ =		1			u′ .
			1− u2

11.	(arccosu)′ = −				1	u′.

				1− u2
12.	(arctgu)′ =		1		u′.
		1+ u2
13.	(arcctgu)′ = −		1			u′ .
				1+ u2

14.(shu)′ = chu u′ .

15.(chu)′ = shu u′ .

Тут u = u(x) . Якщо u(x) = x , то u′(x) = x′ = 1 .

Таблиця 6.2 – Основні поняття та формули

	Поняття
	або	Формула
	співвідношення,	Формула
	співвідношення,
	що визначаються

Похідна

y′ =

lim

∆

x→ 0

Диференціал

dy = y′ ∆ x

або

dy = y′ dx

Похідна n -го порядку

d n y

(n)

(n−1)

′

= f

( x) =

( x))

dx n

(u v)(n) = ∑n

Cnk u (n−k ) v (k ) .

k =0

Формула Лейбніца

Тут u (0)

= u ,

v (0) = v ,

Cnk

– число

комбінацій з n по

k ,

Cnk

(n − k )!k !

364	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 6.2

Похідні від функції,

y′x =

y′

заданої параметрично

x′

x = x(t),

( y′x )′t

y = y(t).

y′′xx

xt′

Диференціал n -гопорядку

d n y = d(d n−1y)

Таблиця 6.3 – Застосування похідної

Поняття

або

Формула

співвідношення,

що визначаються

Рівняння дотичної

до кривої y = f (x)

y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 )

уточці (x0 , y0 )

Рівняння нормалі

y − y0 = −

(x − x0 )

до кривої y = f (x)

′(x0 )

уточці (x0 , y0 )

Кут між двома кривими

f2′(x0 ) − f1′(x0 )

y = f1(x) та y = f2 (x)

tgϕ =

1+ f1′(x0 )

f2′(x0 )

уточці їх перетину (x0 , y0 )

Припрямолінійному русі

точкиз законом руху s = s(t) :

v = s′(t) ;

швидкість v ;

прискорення a

a = s′′(t)

Формула Коші

f (b) − f (a)

f ′(c)

, c

(a,b)

(відношення скінчених

g(b) − g(a)

g′(c)

приростів)

Формула Лагранжа

c (a,b)

(формула скінчених

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) ,

приростів)

§6. Основні формули диференціального числення функцій однієї змінної

365

Продовження таблиці 6.3

Правило Лопіталя розкриття невизначеностей

Тип невизначеності

Правило розкриття невизначеності

Якщо функції

f (x)

та g(x) :

1) задовольняють умови теореми Коші в

околі точки x = a (неперервні, диференці-

f (x)

йовні,

g′(x) ≠

0 );

lim

f (x), g(x)

→

0 (або до ±∞ )

g(x)

x→ a

при x →

a ;

f (x)

∞

3) lim

f ′(x)

(скінченна або нескінчен-

lim

x→

g′(x)

g(x)

x→ a

∞

f (x)

на, рівна +∞

або −∞

), то

lim

x→

g(x)

причому lim

f (x)

= lim

f ′(x)

g(x)

g′(x)

x→

→x a

f (x) →

g(x→)∞

при x →

f g =

lim f (x) g(x) = {0 ∞ }

1 g

x→ a

f g =

∞

f (x) → +∞

g(→x+∞)

при x →

lim [ f (x) − g(x)] = {∞ − ∞

}

−

x→

f − g =

−

→

g→ ∞

або

= e

g ln f

;

→ ∞

,→ g

або

lim [ f (x)]g(x) = {1∞ } ,

→

g→

x→ a

або {∞

} , або

lim f g

= lim eg ln f

lim g ln f

{0 }

= ex→

x→

→x

lim g ln f = {0 ∞ }

або

∞

x→ a

366

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 6.3

Формула Тейлора

(k)

(a)

для функції f (x) з центром

f (x) = ∑

(x − a)k

+ R n(x)

розкладу в точці x = a

k=0

Залишковий член у формі

R n(x) =

f (n+1) (ξ)

(x − a)n+1 ,

Лагранжа

(n +1)!

ξ= a + θ(x − a) , 0 < θ< 1

Залишковий член у формі

(x) = o((x − a)n ) ,

x →

Пеано

Формула Маклорена

(k)

(0)

(Тейлора при a = 0 )

f (x) = ∑

+ R n(x)

k=0

Основні розклади

функцій за формулою Маклорена

ex = ∑n

+ o(xn ) ;

k = 0 k!

sin x = ∑n

(−1)k−1

x2k−1

+ o(x2n ) ;

cos x = ∑n

(−1)k

x2k

+ o(x2n+1) ;

(2k −1)!

(2k)!

k = 1

k = 0

ln (1+ x) = ∑n

(−1)k −1

+ o(xn ) ;

k = 1

(1+ x)m = 1+ ∑n

m(m −1) … (m − k +1)

xk + o(xn ) .

k = 1

Екстремуми функцій

Необхідна умова локального екстремуму функції f (x)

в точці x0

f ′(x0 ) = 0 або f ′(x0 )

не існує

Достатні умови локального екстремуму в точці x0

І правило.

f ′(x)

змінює знак з “+” на “–“ в околі O(x ,δ)

f (x ) = y

max

;

f ′(x)

змінює знак з “–” на “+“ в околі O(x0 ,δ)

f (x0 ) = ymin ;

f ′(x)

не змінює знака в околі O(x0 , δ)

f (x0 ) ≠

ymax , f (x0 ) ≠ ymin .

ІІ правило.

f ′′(x0 ) < 0

f (x0 ) = ymax ;

f ′′(x0 ) > 0

f (x0 ) = ymin ;

f ′′(x0 ) = 0

потрібне додаткове дослідження.

§7. Основні формули диференціального числення функцій багатьох змінних 367

§7. Основні формули диференціального числення функцій багатьох змінних

Поняття

або

Формула

співвідношення,

що визначаються

Функція n змінних

u = f (x1, x2 ,…, xn ) = f (x) = f (P)

Функція двох змінних

z = f (x, y)

Повний приріст

∆ u = f (x1 + ∆ x1,…, xn + ∆ xn ) −

f (x1,…, xn )

Частинний приріст

∆ xk u = f (x1,…, xk + ∆ xk ,…, xn ) − f (x1,…, xn )

по змінній xk

u = f (x1, x2 ,…, xn )

Частинна

∂u

lim

∆ x

∂xk

∆ xk

похідна

∆

xk →

z = f (x, y)

∂z

lim

∆

∂z

lim

∆

y z

∂x

∆ x

∂y

∆ y

∆ x→

∆

y→

u = f (x1, x2 ,…, xn )

Повний

du = ∑n

∂u

dxi

диференціал

i=1 ∂xi

z = f (x, y)

dz =

∂z

dx +

∂z

∂x

∂y

u = f (x1, x2 ,…, xn ) , xi = ϕ i (x1 ), i =

2, n

Формула

∂u

∂u dxi

+ ∑

∂x

повної похідної

i=2

u = f (x, y, z) , y = y(x) , z = z(x)

∂u

∂u dz

∂x

∂y dx

∂z dx

368

Глава 7. Довідковий матеріал

u = f (x1, x2 ,…, xn ) , xi = ϕ i (t1,…,tm )

Формула

∂u

= ∑n

∂u

∂xi ,

j =

1, m

для похідної

∂t j

i=1 ∂xi ∂t j

z = f (x, y) ,

x = x(u,v),

y = y(u,v)

складної функції

∂z

∂z ∂x

∂z ∂y

;

∂z

∂z ∂x

∂z ∂y

∂u

∂x ∂u

∂y ∂u

∂v

∂x ∂v

∂y ∂v

Похідні функції, заданої неявно

а) F(x1, x2 ,…, xn ,u) = 0

∂u

Fx′

= −

i =

1, n

∂x

F′

б) F(x, y) = 0

= −

Fx′

F′

в) F(x, y, z) = 0

∂z

F′

;

∂z

Fy′

∂x

= − F′

∂y

= − F′

Диференціал другого порядку

∂

а) u = f (x1, x2 ,…, xn )

d 2u = ∑∑

dxi dx j

i=1 j=1 ∂xi∂x j

б) z = f (x, y)

d 2 z =

∂2 z dx2

+ 2

∂2 z

dxdy +

∂2 z dy2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂2u

∂x2

∂y2

∂z

в) u = f (x, y, z)

∂2u

dxdy +

dxdz

dydz

∂x∂y

∂x∂z

∂y∂z

P : F(x, y, z) = 0

Рівняння

K : Fx′(M0 )(x − x0 ) + Fy′(M0 )(y − y0 ) +

+Fz′(M0 )(z − z0 ) = 0

дотичної площини K до

поверхні P

P :

z = f (x, y)

в точці M0 (x0 , y0 , z0 )

K : f

′(x

, y

)(x − x

) +

f ′

, y

)( y

− y

) −

−(z − z0 ) = 0

§7. Основні формули диференціального числення функцій багатьох змінних

369

P : F(x, y, z) = 0

Рівняння

N :

x − x0

y − y0

z − z0

Fx′(M0 )

Fy′ (M0 )

Fz′(M0 )

нормалі N

до площини P

P : z = f (x, y)

в точці M0 (x0 , y0 , z0 )

N :

x − x0

y − y0

z − z0

′(x

, y

)

f ′

, y

)

−1

u = f (x1, x2 ,…, xn ) = u(M )

(m +1) раз

диференційовна воколі точки M0

O(M0 )

Формула Тейлора

u(M ) = u

+ ∑m

d k u

d m+1u

N ,

+1)!

O(M0 )

k=1 k!

розкладуфункції

z = f (x, y)

в околі точки M0

f (x, y) = f (M0 ) +

∂f (M

)

∂f (M

)

(x − x

) +

( y − y

)

∂x

∂y

∂2 f (M

)

(x − x0 )

∂x

∂2 f (M

)

(x − x0 )(y

− y0 ) +

∂x∂y

+ ∂

f (M0 ) ( y

− y0 )

2 +…+

∂y

∂

(x − x0 )

( y − y0 )

f (M0 ) + o(ρ

) ,

∂x

∂y

ρ = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2

Необхідні умови

u = f (x1, x2 ,…, xn )

∂u

екстремуму

= 0,

i = 1, n

∂xi

в точці M0

= 0

370	Глава 7. Довідковий матеріал

u = f (x1, x2 ,…, xn )

d 2 u

> 0 u(M

) = u

min

;

d 2 u

< 0 u(M

)

= u

;

max

d 2 u

≠

0, d

2 u

– знакозмінна квадратична

Достатні умови

форма

u(M 0 ) ≠

umin ,

u(M 0 ) ≠

umax ;

d 2 u

= 0 – потрібне додаткове дослідження.

екстремуму

в точці M0

z = f (x, y)

∂

= ∂

, a = ∂

∂x2

∂x∂y

∂y2

∆ = a , ∆ = a

a − a2

d2 z

> 0 ∆ > 0,∆ >

z (=M

) z ;

d2 z

min

< 0 ∆ < 0,∆ >

z (=M

) z

;

∆

max

1∆, <2

z (≠M0 )

zmin ,

z (≠M0 ) zmax ;

∆ 2= 0

потрібне додаткове дослідження.

Умовнийекстремум

u = f (x1, x2 ,…, xn ) →

max (min)

Ω

Ω : ϕ i (x1,…, xn ) = 0, i =

, m < n

1, m

L(x1,…, xn ,λ 1,…,λ m ) = f (x1,…, xn ) +

Функція Лагранжа

+ ∑m λ k ϕ

k (x1,…, xn ) ,

k=1

λ k – множники Лагранжа

∂L

i = 1, n

Необхідні умови

= 0,

;

∂xi

умовного екстремуму

, x

,…, x

) = 0,

k =

1, m

Достатні умови

d 2 L(M0 ) > 0

u(M0 ) = umin

умовного екстремуму

d 2 L(M0 ) < 0

u(M0 ) = umax

в точці M0

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>