КЛЕВО_FPGA

Глава 2. Кодирование и системы счисления

В этом примере мы видим, что остаток равен 0. Но не обяза­ тельно так всегда бывает. В нормальном случае дробная часть экви­ валентного двоичного числа имеет бесконечно большое количество разрядов. В этом случае необходимо удовольствоваться определен­ ным числом разрядов после запятой и ограничить этим точность. В нашем случае 0,375io точно соответствует 0,0112.

На основе целочисленной и дробной частей получаем искомое двоичное число 10110,0112-

2.3.Арифметические операции с фиксированной запятой в двоичной системе

вданной главе описываются арифметические операции с числами с фиксированной запятой. Арифметические операции с фиксирован­ ной запятой означают, что в них запятая всегда стоит на фиксиро­ ванном месте. Нри этом место, на котором стоит запятая, ориенти­ руется на позицию в ЗУ, на которой находится число. В этом случае нет необходимости реализовать запятую в аппаратуре компьютера. Она существует только в голове программиста. Мы ограничиваемся постоянной длиной слова п, как это имеет место в компьютерах. На основе этого можно обсудить проблему переполнения допустимой области.

2.3.1.Целочисленное сложение в двоичной системе

Целочисленное сложение двух чисел А и В производится в двоичной системе точно так же, как и в десятичной системе — по разрядам. Как и там, в каждом разряде должны быть просуммированы обе двоичных цифры an и Ьп и перенос из предыдущего разряда Cn-i- При сложении возникают (табл. 2.2) новая сумма Sn и новый пе­

ренос Сп- В этой таблице дискретной линией разделены входные и выход­

ные величины. Например:

01111110

^00110101

- 1 0 1 1 0 0 1 1

Необходимо следить, чтобы в приведенном вьппе примере сумми­ ровались два числа длиной по 8 бит и чтобы итог тоже имел длину 8 бит, чтобы не было переполнения допустимой зоны.

2.3. Арифметические операции с фиксированной запятой

Таблица 2.2. Сложение в двоичной системе со слагаемыми атг,ЬпИ перено­ сом из предыдущего разряда Сп-\- Сумма равна Ьп 5 новый перенос Си-

2.3.2.Сложение чисел с фиксированной запятой

Вэтом случае, когда суммируются два числа с фиксированной за­ пятой, важным моментом является то, чтобы аналогично обычной процедуре в десятичной системе обе запятые стояли друг над дру­ гом. Так, при сложении двух чисел длиной в 8 бит запятая у обоих чисел должна стоять, например, на третьем месте.

Например:

0 1 1 0 0 , 0 1 0

0 0 1 1 0 , 1 1 1

= 1100,110 перенос 100 11,001

2.3.3. Представление с помощью обратного кода

Ц^ля того, чтобы иметь малые затраты на аппаратурную часть (hard­ ware) компьютера, были предприняты усилия по сведению к одно­ му алгоритму вычитания и сложения. Этого можно добиться, если применять двоичные цифры в их дополняющей форме. Различают единичное дополнение (обратный код, поразрядное дополнение) и двойное дополнение (точное дополнение).

Поразрядное дополнение формируется путем замены всех нулей на единицы и обратно. Следовательно, поразрядным дополнением (one's complement) 0001 является 1110. Ниже поразрядное дополне­ ние двоичного числа А обозначено -^А. Очевидно, что при предста­ влении п-битового слова имеем:

2.3. Арифметические операции с фиксированной запятой

положительны. Соответствующие данным значениям большие чи­ сла, сформированные на основе точного дополнения, содержат да­ леко влево отстоящий нуль, когда они отрицательны, и далеко вле­ во отстоящий нуль, когда они положительны. Их собственным точ­ ным дополнением является число 1000^ (—8/)). Важно установить, что при представлении на основе точного дополнения имеем толь­ ко один 0. Это облегчает запрос, равен ли результат 0. Напротив, при представлении на основе поразрядного дополнения имеют ме­ сто двоичное число 0000^, соответствующее -i-Oo и двоичное число 1111^, соответствующее —0/^.

0000

1111 _ - # - - _ 0001

0010

2

Рис . 2.1. Представление 4-битовых слов с помощью 4-битового дополнения.

2.3.5.Вычитание при представлении с помощью точного дополнения

Пусть должны были вычтены одно из другого два положительных двоичных числа А и В, При условии применения точного дополне­ ния в соответствии с уравнением (2.6) вычитание можно провести следующим образом:

Раскрытие скобок в правой части уравнения дает:

Что означает вычитание 2'^? Поясним это на примере операции вычитания 7—3 = 4 в 4-битовой двоичной системе. Сумма двоичного

Глава 2. Кодирование и системы счисления

эквивалента числа 7 и дополнение двоичного эквивалента числа 3 равняется:

-1 0 1 0 0

-1 0 0 0 0

=0100 tio

Вычитание числа 10000^, проведенное в соответствии с уравне­ нием (2.10), дает правильный результат 0100^. Это может произой­ ти в 4-битовом компьютере просто потому, что высший результат игнорируется. Итак, при проведении вычитания с помош;ью точно­ го дополнения нет необходимости учитывать высший перенос С4. Но необходимо соблюдать осторожность в связи с переполнением числового диапазона. Исследуем это ниже.

2.3.6. Переполнение числового диапазона

Исходя из вышесказанного возникает необходимость рассмотрения проблемы переполнения числового диапазона (overflow) в связи с представлением на основе точного дополнения. Переполнение число­ вого диапазона может происходить только в двух случаях. А имен­ но, когда суммируются два положительных числа либо суммируют­ ся два отрицательных числа. В связи с этим рассмотрим несколько примеров, относяш;ихся к 4-битовому представлению.

•Пример переполнения числового диапазона при сложении двух положительных чисел:

Очевидно, что результат является неправильным. Ошибка воз­ никает за счет переноса 3-го разряда на место 4-го разряда, что приводит к симуляции отрицательного числа. Этот пере­ нос сз в представлении, используюш;ем п бит, обычно обозна­ чается как Сп-1- Перенос с^ (в обш;ем случае с^) из разряда 4 в разряд 5 называется Carry {Су). В этом примере данный перенос не имеет места.

2,3. Арифметические операции с фиксированной запятой

•Пример переполнения численного диапазона при сложении от­ рицательных чисел:

В этом примере также появляется неправильный результат. Имел место не перенос Cn-i из разряда 3 в разряд 4, а перенос Сп ИЗ разряда 4 в разряд 5.

•Для сравнения проведем сложение двух отрицательных чисел без переполнения числового диапазона:

+11111101 —3io

=(1)1100 -4io- l i o

Имели место переносы Сп и c^-i.

Сведем эти результаты вместе с другими, здесь не показанны­ ми случаями, в таблицу. На основе результатов, представленных в табл. 2.3, для двух двоичных чисел Л и Б, которые лежат в чи­ словом диапазоне, определяемом п-битовом представлением на базе точного дополнения, можно установить перенос переполнения при сложении.

Таблица 2.3. Перенос переполнения при сложении в случае п-битового представления на основе точного дополнения.

Следовательно, правильный результат имеет место тогда, когда Сп = c^i-i, неправильный результат — когда Сп ф Cn-i-

2.3.7. Умножение

Умножение выполняется так же, как и для десятичной системы. Рас­ смотрим пример умножения на основе двоичной системы для чисел

2.4' Шестнадцатеричный код 29

после запятой. Так в соответствии с верхним примером имеем:

10,10-101,1 = 1101,110

Деление чисел с точным дополнением также можно свести к умножению и сложению [20].

2.4. Шестнадцатеричный код

На практике наряду с двоичным кодом внедрился шестнадцатерич­ ный код, поскольку он обеспечивает лучшее обозрение длинных дво­ ичных чисел. Шестнадцать шестнадцатеричных цифр определены в табл. 2.4. Шестнадцатеричные цифры больше девяти представлены буквами A-F. Для преобразования двоичных в шестнадцатеричные числа объединяют по четыре цифры двоичного числа, которые ин­ терпретируются как шестнадцатеричный разряд. Благодаря этому шестнадцатеричное число занимает только четверть разрядов, за­ нимаемых двоичным числом одинаковой величины.

Например:

ОНО 1100 1111

G С

Итак, справедливо выражение 0110011001III2 = GCFi^.

В качестве обозначения шестнадцатеричного числа использует­ ся индекс Н, Преобразование шестнадцатеричного числа в десятич­ ное число и обратно проще всего производить через соответствую­ щее двоичное число. Также возможно производить преобразование с помощью алгоритма, как при преобразовании двоичного числа в

30 Глава 2. Кодирование и системы счисления

десятичное число. Обратное преобразование производится анало­ гично представленному уравнением (2.2).

2.5. Восьмеричный код

Восьмеричный код применяется аналогично шестнадцатеричному, только объединяются лишь по 3 разряда двоичного числа. Для вось­ меричного кода применяются цифры десятичного кода от О до 7, он обозначается индексом 0.

Например:

110 101 100 011

Следовательно, справедливо 110101000112 = 65438-

2.6, Код Грея

Часто в цифровой технике требуется для числового кода схема ко­ дирования, в соответствии с которой при переходе от одного числа к следующему изменялась бы только одна цифра. Выполнение это­ го условия необходимо, когда вследствие технических неточностей момент переключения не может быть точно выдержан. При пере­ ключении двух цифр из-за этого могут возникнуть неправильные коммутационные операции. В качестве примера подобной ошибки рассмотрим переключение от lio к 2io в двоичном коде:

0001 — ^ — ^

При этом переключении изменяются биты О и 1 при одновремен­ ном переключении непосредственно достигается новое число. Если вначале изменяется бит О, то появляется число 0000, и только когда изменяется бит 1, получаем правильное число 0010. Если же снача­ ла изменяется бит 1 и потом изменяется бит О, то в промежутке возникает число ООН. Коды Грея позволяют избежать этой очень серьезной ошибки за счет того, что при переходе от одного кодово­ го слова к следуюш;ему изменяется только один разряд. В табл. 2.5 представлен 4-разрядный код Грея. В дополнение к вышесказанно­ му показанный код имеет свойство, которое заключается в его ци­ кличности, так как также и при переходе от высшего числа (15D)