КЛЕВО_FPGA

Глава 2. Кодирование и системы счисления

2.8. Алфавитно - цифровые коды

Существует большое количество кодов, осуществляющих предста­ вление алфавитно-цифровых символов с помощью двоичных цифр. Известным примером подобных символов является код ASCII (Ame­ rican Standard Code for Information Interchange), который содержит также ряд управляющих символов.

Таблица 2.7. Код ASCII (чЛ, управляющие символы)

2.9. Упражнения

Задача 2.1. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятич­ ные числа:

а) 1110,101 б) 10011,1101

Задача 2.2. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоич­ ные числа:

а) 22,125 б) 45,33

2.9. Упраэюнения

Задача 2.3. Рассчитайте приведенные ниже примеры с использо­ ванием точных дополнений при длине слова в 6 бит. Укажите, имеет ли место переполнение числового диапазона.

а) 010101 - 001010 б) -010111-011011

Задача 2.4. Рассчитайте в двоичной системе: а) 110101-010101 б) 1101110 : 110

Задача 2.5. Разработайте циклический код Грея с длиной периода 6.

Таблица 2.8. Код ASCII (ч.2).

ГЛАВА 3

ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНАЯ

АЛГЕБРА

Цифровая техника имеет то преимущество перед аналоговой техни­ кой, что она основывается на относительно простой, но при этом мощной теории, на Булевой алгебре, называемой также переключа­ тельной алгеброй. В данной главе представлены теоретические осно­ вы цифровой техники. Булева алгебра может быть применена для решения почти всех возникающих при разработке цифровых схем проблем при условии выполнения технологических предпосылок, ко­ торые рассматриваются в главе 4.

3.1.Переключательная переменная и переключательная функция

Вцифровой технике применяют специальные переменные и функ­ ции. Под Булевой переменной понимают переменную, которая мо­ жет принимать только значения О и 1. С Булевыми переменными могут быть образованы функции. Функцию:

у = f (ж1, Х2, жз,... Хп) при Xi, у е {0,1} (3.1)

называют п-разрядной переключательной или двоичной функцией. Область значений подобной функции также определяется двоичной системой счисления с элементами О и 1. Функции могут быть опреде­ лены таблицами, в которых величины функций связываются с воз­ можными 2'^ комбинациями п входных переменных. Эти таблицы называются таблицами истинности.

Очень простая функция, которая связывает входную перемен­ ную X с выходной переменной у, представлена в табл. 3.1. Можно видеть, что все переключательные функции могут быть определены таблицей, в которой содержатся все входные переменные, поскольку учитывать необходимо только два элемента О и 1.

Определенную табл. 3.1 переключательную функцию у = f{x) именуют «отрицание», «дополнение» или НЕТ (NOT). В последую­ щем она обозначается оператором «-•» и читается «у равен не х»:

Глава 3. Переключательная алгебра

3.2.Двухразрядные переключательные функции.

впринципе можно образовывать произвольные двоичные функции многих входных переменных. Но оказалось практичным вначале рас­ сматривать только функции с одной или двумя входными перемен­ ными, а функции с большим количеством входных переменных сво­ дить к ним.

Двоичную функцию с входными переменными жо и a^i также можно определить с помощью таблицы. Комбинацию входных пе­ ременных хо и Ж1МОЖНО представить в виде вектора X = [a:o,:ri]. Двум входным переменным соответствуют 4 возможных входных вектора X, которые часто индицируются через их десятичные экви­ валенты. Так Х2 означает, что a^i = 1 и жо = О, или, выражаясь по-другому, что Х2 = [x^.xi] = [0,1].

Наряду с «отрицанием» технически возможными являются основ­ ные логические элементы И или ИЛИ, которые определяются табл. 3.3. Также обозначают И как AND или «конъюнкция»; ИЛИ как OR или «дизъюнкция».

Таблица 3.3. Основные логические элементы И и ИЛИ.

Возникает вопрос о других возможных двухразрядных двоич­ ных функциях. Чтобы системно ответить на этот вопрос, можно осуществить перестановку значений входных переменных у, кото­ рые можно получить из четырех возможных входных векторов. В об­ щем случае функция y{xi^xo) может быть определена таблицей ис­ тинности (табл. 3.4).

На основе этой таблицы можно сделать заключение о возмож­ ности образования 2^ = 16 различных двоичных функций с двумя

входными переменными. Все возможные двухразрядные двоичные функции приведены в табл. 3.6. Представление двоичных функций выполнено в соответствии со стандартом DIN [43].

Таблица 3.4. Таблица истинности для двухразрядной двоичной функции.

Технически важными функциями NAND, NOR, «эквивалентность» и EXOR (также «исключительное ИЛИ», дизъюнкция) соответству­ ют собственные логические символы. На практике они часто реали­ зуются на основе специальных схем.

В этой таблице показано, что отдельные функции могут быть представлены только с помощью логических элементов AND, OR и NOT. Поэтому каждая логическая функция может быть пред­ ставлена с помощью этих трех логических элементов. Все двоич­ ные функции также могут быть представлены с помощью функции NOR, точно также и с помощью NAND. Поэтому эти функции на­ зывают совершенными.

Доказательство эквивалентности можно привести путем разме­ щения таблиц истинности. Таким образом, например, может быть доказана эквивалентность }\ля логического элемента EXOR на осно­

в табл. 3.5 вначале оцениваются оба выражения в скобках. Затем формируется логическое OR, соответствующее обоим выражениям

вскобках, и вписывается в пустую колонку. Так как последняя и предпоследняя колонки совпадают, уравнение доказано, поскольку

впоследней колонке стоит определение функции «исключительное ИЛИ» (то есть EXOR).

Таблица 3.5. Доказательство на основе таблицы истинности.

3.3. Вычислительные правила

Вычислительные правила булевой алгебры перечислены ниже. Переместительный (коммутативный) закон:

На основе симметрии законов можно сделать следующие выводы. Если справедлив один закон, то справедлив и закон, который по­ лучают путем взаимной замены AND и OR и постоянных О и 1. По­ лученный таким образом закон называют дуальным законом. Как, например, законы (3.16) и (3.17) дуальны по отношению друг к другу. Аналогично обозначают функцию F', которая получилась из

Глава 3. Переключательная алгебра

функции F путем замены AND на OR и О на 1, как функцию, ду­ альную по отношению к F,

Важно также установить, что NAND и NOR не являются ассо­ циативными. И так, справедливо:

3.4.Каноническая дизъюнктивная нормальная форма (KDNF).

Любую двоичную функцию можно представить с использованием только логических элементов AND, OR или NOT. Это может быть выполнено на основе систематического подхода, как в примере с функциями, приведенными в табл. 3.7. Можно действовать двумя различными способами. Мы начнем с канонической нормальной дизъ­ юнктивной формы (KDNF).

Таблица 3.7. Таблица истинности А^ЛЯ примера с KDNF.

Для этого рассмотрим сначала входные векторы Хг, р,ля которых функция у ~ f{x) принимает значение 1. Следовательно, д,ля этих входных векторов справедливо f{xi) — 1. В нашем случае это х^^ ^27 ^35 ^5 и а^б- Проведем J\ля каждого подобного входного вектора операцию конъюнкции (логического умножения, И) с элементом Хг, который как раз J\ля этого входного вектора принимает значение 1. Для х^ было бы:

77i5 называют также «минтермом». Минтермы содержат всегда все входные переменные, поэтому их называют полной конъюнкцией.

3.5.Каноническая конъюнктивная нормальная форма (KKNF)

Вслучае минтерма, входные переменные могут быть инвертиро­ ванными либо не инвертированными, в зависимости от того, что представляет собой переменная 1 или О, В этом примере входные минтермы имеют вид:

Следовательно, при определенном варианте входных переменных минтерм имеет значение 1.

Вся функция может быть представлена на основе дизъюнкции (логическое сложение) минтермов. Функция получает значение 1, когда, по крайней мере, один из минтермов равен 1. Этот способ представления называется «канонической дизъюнктивной нормаль­ ной формой» (KDNF). В нашем случае функция может быть пред­ ставлена следующим образом:

У= (-П Х2 Л -1 Ж1 Л -1 Жо) V (-П Ж2 Л Ж1 Л -п Жо) V

V (-> Х2 Л ^1 Л жо) V {х2 Л -1 a;i Л х^) V (ж2 Л xi Л -п х^) (о.25)

3.5.Каноническая конъюнктивная нормальная форма (KKNF)

вкачестве альтернативы ^\ля представления функции могут быть применены входные векторы ж^, при которых функция принимает

значение О, то есть когда будет справедливо равенство f{xi) = 0. Для функции показанной в табл. 3.7, такими векторами будут xi, Х4

и xj.

Сформируем так называемые макстермы. Это дизъюнкции, ко­ торые равны О, когда приложен соответствующий входной вектор xf,

Итак, входные переменные, которые в входом векторе равны 1, выступают в макстерме инвертировано. Входные переменные, ко­ торые в входном векторе равны О, появляются в макстерме в неинвертированном виде. Таким образом, макстерм равен О только д^ля Ж2 — О, Ж1 = О и Жо = 0.