ФИЗИКА МУ к ЛБ Механика и молекулярная физика
.pdf
№ N |
t , c |
t , c |
T , c |
l , м |
1
2
3 50
4
5
7.Визначити за формулою (7.15) прискорення вільного падіння тіл.
8.Обчислити абсолютну похибку вимірювань.
7.5 Зміст звіту
Звіт повинен мати: мету роботи; схему лабораторної установки; результати вимірювань та розрахунків, зведені в таблиці; графік залежності часу кількості коливань від положення вантажу, що пересувається; статистичну обробку результатів вимірювань; короткі висновки.
7.6 Контрольні запитання і завдання
1.Що являє собою фізичний маятник?
2.Що називається приведеною довжиною фізичного маятника?
3.Які коливання називають гармонічними?
4.Запишіть залежність від часу для швидкості та прискорення тіла, що здійснює гармонічні коливання.
5.Запишіть диференційне рівняння коливань фізичного маятника. Який вигляд має розв’язок цього рівняння?
6.Чому дорівнюють період та частота коливань фізичного маятника?
7.Чи залежить період та частота коливань фізичного маятника від його
маси?
8.Виведіть формулу для кінетичної енергії коливань фізичного маятника.
9.Сформулюйте теорему Штейнера.
10.Що можна вимірювати в даній роботі за допомогою фізичного маятника?
41
8 ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТІЛ НА ТРИФІЛЯРНОМУ ПІДВІСІ
8.1 Мета роботи
Експериментальне визначення моменту інерції тіл довільної форми відносно осі, яка проходить крізь його центр інерції.
8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Вивчити теоретичний матеріал за конспектом лекцій і підручником [1, c. 32-43, 2, 99-117, 3, 31-36].
Момент інерції І твердого тіла відносно осі обертання визначається так:
I = ∫r2dm ,
де r – відстань елемента маси dm від осі обертання.
Впростих випадках величину моменту інерції можна обчислити за формулою, в складних – знаходять експериментальним шляхом. Один з найзручніших методів вимірювання момента інерції твердого тіла є метод трифілярного підвісу.
Вроботі визначається момент інерції тіла, яке розташовується на диску так, щоб центр інерції тіла знаходився на одній вертикалі з центром інерції диска. Схема досліду зображена на рис. 8.1.
Рисунок 8.1– Схема досліду
42
При закручуванні диска на невеликий кут центр інерції підіймається на
деяку висоту і потенціальна енергія збільшується на величину |
|
||
U = mgh , |
|
|
(8.1) |
де m – маса диска; |
|
|
|
g – прискорення вільного падіння; |
|
|
|
h – зміна висоти центра інерції. |
|
|
|
Рівняння крутильних гармонічних коливань диска має вигляд: |
|
||
|
2π t |
, |
(8.2) |
ϕ(t) = ϕ0 sin |
|
||
|
T |
|
|
де ϕ(t) – кут повертання в будь-який момент часу; ϕ0 – максимальний кут повернення;
T – період коливань.
При поверненні диска в положення рівноваги потенціальна енергія повністю переходить в кінетичну енергію обертального руху
|
|
|
|
|
Iω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgh = |
max |
, |
|
|
|
|
(8.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
де I – момент інерції диска; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ωmax |
– кутова швидкість в момент проходження положення рівноваги. |
||||||||||||
Кутова швидкість в момент часу t |
визначається виразом |
|
|
|
|||||||||
|
ω(t) = |
dϕ(t) |
= ϕ(t) = |
ϕ0 2π |
cos( |
2πt |
) = ωmax cos( |
2πt |
) , |
(8.4) |
|||
|
|
dt |
& |
T |
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де ω |
= 2π ϕ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Висоту h виразимо через ϕ0 , скориставшись рис. 8.1. Позначимо |
|||||||||||||
довжину нитки L , радіус шайби |
r , |
радіус диска R = AO = AM + r . |
При |
||||||||||
повороті диска на кут ϕ0 |
точка кріплення нитки А займе положення А1, точка О |
||||||||||||
перейде в О1, радіус АО займе положення А1О1. |
|
|
|
|
|
||||||||
Висота, на яку підніметься диск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
h =CM −CM1 . |
|
|
|
|
(8.5) |
||||
Помноживши і розділивши праву частину рівняння на CM+CM1, одержимо
43
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
CM 2 |
−CM |
2 |
|
|
|
|
|
|
(8.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CM |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+CM1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
З |
АСМ випливає: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
CM 2 = AC2 − AM 2 = L2 −(R −r)2 . |
|
(8.7) |
|||||||||||||||
З |
СМ1А1 випливає: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
CM 2 |
= A C2 |
− A M 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
(8.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
де A1C = L , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A M 2 |
= M O2 |
+ A O2 −2M O A O cosϕ |
= r2 + R2 −2rRcosϕ |
0 |
, |
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
тобто |
|
|
CM12 = L2 −(r2 + R2 − 2rR cos ϕ0 ). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(8.9) |
|||||||||||||||
Підставивши вирази для СМ2 |
і |
СМ12 |
у |
чисельник формули (8.6), |
||||||||||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
2Rr(1−cosϕ |
) |
= |
4Rr sin2 |
ϕ |
0 |
2 |
. |
|
(8.10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CM +CM1 |
|
|
CM +CM1 |
|
|
|
|
|||||||
Через малий нахил ниток по відношенню до вертикалі CM ≈CM1 ≈ L , так |
||||||||||||||||||||||
як кут ϕ |
0 |
малий, то sin ϕ0 |
≈ ϕ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Враховуючи ці обставини, формула (8.10) перепишеться так: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rrϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ≈ |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Підставивши вирази h і ωmax |
в рівняння (8.3), одержимо |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgRrϕ2 |
= |
4I π2ϕ2 |
, |
|
|
|
|
|
(8.12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
звідки знайдемо момент інерції системи
I = |
mgRrT 2 |
(8.13) |
. |
||
|
4π2L |
|
Момент інерції – величина адитивна, отже момент інерції тіла
44
I |
T |
= I − I = |
gRr ((m + mT )T12 |
−mT 2 ) |
, |
|
|
||||
|
1 |
4π2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.14)
де I1 – момент інерції диска, навантаженого тілом; I – момент інерції диска;
m – маса диска; mT – маса тіла;
T1 – період коливань диска з тілом;
T – період коливань диска.
8.3Опис лабораторної установки
Функціональна схема установки зображена на рис.8.2. Трифілярний підвіс становить собою диск Д, підвішений на трьох нитках, закріплених симетрично у вершинах рівнобічного трикутника, що вписаний в шайбу Ш. На диск кладуть тіло, момент інерції якого необхідно визначити.
Рисунок 8.2 – Схема лабораторної установки
8.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання
1.Виміряти довжину ниток L , радіуси диску R та шайби r . Результати занести до таблиці 8.1.
2.Виміряти секундоміром час t 25-50 коливань. Повторити виміри 4-5 разів. Обчислити середнє значення часу вибраної кількості коливань. Результати вимірювань занести в табл.8.1.
45
Таблиця 8.1 – Результати вимірювань
№ t , c |
t , c |
T , c |
t1 , c |
t1 , c |
T1 , c |
1
2
3
4
5
3.Визначити період коливань диска T . Результат занести до таблиці 8.1.
4.Тіло, що досліджується, помістити на диск, сумістивши вісь тіла відносно якої визначається момент інерції, з віссю диску.
5. Виміряти секундоміром час t1 25-50 коливань диска з тілом. Повторити виміри 4-5 разів. Обчислити середнє значення часу коливань. Результати вимірювань занести в табл.8.1.
6. Знайти період коливань T1 навантаженого приладу. Результат занести до таблиці 8.1.
7. За формулою (8.14) обчислити момент інерції IT тіла. Маси диска та тіла наведені на робочому місці.
8. Обчислити абсолютну похибку вимірювань момента інерції тіла.
8.5 Зміст звіту
Зміст повинен містити: мету роботи; схему лабораторної установки; результати вимірювань та розрахунків, що зведені в таблицю; розрахунок момента інерції тіла; розрахунок похибки вимірювань; короткі висновки.
8.6 Контрольні запитання і завдання
1.Дайте визначення моменту інерції матеріальної точки, твердого тіла?
2.Які властивості тіла характеризує момент інерції?
3.Які коливання називаються гармонічними?
4.Які закони збереження виконуються при крутильних коливаннях? Сформулюйте їх
5.Від яких величин залежить кінетична енергія тіла, що обертається? Запишіть вираз.
6.Чому дорівнює момент інерції симетричного твердого тіла відносно осі обертання?
7.Запишіть залежність кута повороту диска від часу.
46
8.Як знайти кутову швидкість маятника в будь-який момент часу?
9.Що таке центр мас системи матеріальних точок?
9 ДОСЛІДЖЕННЯ ЗГАСАЮЧИХ КОЛИВАНЬ
9.1Мета роботи: Дослідження згасаючих коливань та визначення коефіцієнта згасання, логарифмічного декремента згасання та добротності.
9.2Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Вивчити теоретичний матеріал за конспектом лекцій та підручником [1, с.
73], [2, с. 182].
В реальних коливальних системах загальна енергія зменшується за рахунок здійснення роботи проти сил тертя та опору. Тому без надходження енергії ззовні амплітуда коливань таких систем зменшується з часом.
Розглянемо рух лінійного осцилятора у в’язкому середовищі. На нього, крім квазіпружньої сили Fпр = −kx , при невеликій швидкості коливального
руху, діє сила опору середовища, пропорційна швидкості та спрямована завжди проти її напрямку:
Fоп = −rυ,
де r – коефіцієнт опору середовища.
Отже, диференціальне рівняння руху осцилятора має вигляд:
|
|
m |
d 2 x |
= −kx − r |
dx |
, |
|
|
|
|
|
dt2 |
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо ввести β = |
r |
– коефіцієнт згасання та |
ω = |
k |
– частоту вільних |
||||
|
|
||||||||
|
2m |
|
|
|
|
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
коливань системи за відсутності сили опору, то рівняння руху можна переписати у вигляді:
d 2 x + 2βdx + ω 2 x = 0 |
||
dt2 |
dt |
0 |
|
||
або |
|
|
&& |
& |
2 |
x = 0 . |
(9.1) |
x |
+ 2βx + ω0 |
|
||
Якщо згасання незначне |
(ω >>β) , |
то ω2 = ω2 −β2 > 0 , і розв’язок цього |
||
|
0 |
|
|
|
рівняння має вигляд:
47
x = A e−βt sin(ωt + ϕ |
0 |
) |
(9.2) |
0 |
|
|
де A0 – амплітуда коливання в початковий момент часу t = 0;
β– коефіцієнт згасання, ω= ω2 −β2 – частота згасаючих коливань. Рівняння (9.2) є рівнянням згасаючих коливань.
Рисунок 9.1
Коливальна система при малих згасаннях проходить крізь положення рівноваги через рівні проміжки часу Т, що називають періодом згасаючих коливань:
T = |
2π |
= |
2π |
|
= |
|
2π |
|
|
|
. |
(9.3) |
||
ω |
2 |
−β |
2 |
|
|
|
r |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ω0 |
|
|
ω 2 |
− |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
Амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за експоненціальним законом (рис. 9.1)
A(t) = A0 exp(−βt) = A0e−βt .
Якщо прологарифмувати по основі е формулу (9.4), отримаємо:
β = |
1 |
|
ln A0 |
. |
|
t |
ln A(t) |
||||
|
|
|
(9.4)
(9.5)
Натуральний логарифм відношення двох послідовних амплітуд, які відрізняються одна від одної на період, називають логарифмічним декрементом згасання:
|
A(t) |
|
=βT . |
(9.6) |
|
λ = ln |
|
||||
|
|||||
|
A(t +T ) |
|
|
||
48
Виразивши β з (9.6)через λта T (β= |
λ ), отримаємо: |
|
|||
|
|
T |
|
|
|
|
|
− λ t |
|
λ |
|
A(t) = A exp |
= A e−T t . |
(9.7) |
|||
0 |
|
T |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Нехай за час τ амплітуда зменшилася в е разів. За цей час система зробить
Ne = |
τ |
коливань (T = |
τ |
). З умови e−λNe = e−1 випливає, що λ = |
1 |
. Таким |
T |
|
|
||||
|
|
Ne |
Ne |
|||
чином, логарифмічний декремент згасання обернено пропорційний значенню кількості коливань, що здійснюються за час, протягом якого амплітуда зменшилася в е разів.
Для характеристики коливальної системи часто використовується
величина |
|
|
|
Q = |
π |
= πNe , |
(9.8) |
|
λ |
|
|
що називається добротністю коливальної системи.
Із формули (9.8) витікає, що добротність пропорційна кількості коливань Ne , що здійснюються системою за час τ, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів.
9.3 Опис лабораторної установки
Схему лабораторної установки для дослідження згасаючих коливань наведено на рис. 9.2.
Вона складається з фізичного маятника 1, що може вільно коливатися в повітрі або воді. Для зручності роботи на ємність 3 (вона може бути порожньою або з водою) нанесено шкалу 2, за якою визначається амплітуда коливань.
49
Рисунок 9.2 – Схема лабораторної установки
1– фізичний маятник; 2– шкала амплітуд; 3– ємність з рідиною;
9.4 Порядок виконання роботи
Досліди проводяться у 2-х середовищах: повітрі та воді (для цього використовують порожню ємність та ємність з водою).
1.Помістити маятник у порожню ємність.
2.Відвести маятник на початкову (максимальну) амплітуду за шкалою. Відпустити маятник і дати йому вільно коливатися у повітрі, відраховуючи за шкалою ряд послідовних амплітуд і час. Занести дані до таблиці 9.1.
3.Помістити маятник у ємність з водою.
4.Наповнити ємність водою. Повторити завдання п. 2.
Таблиця 9.1 – Результати прямих вимірювань (повітря/вода)
№ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. За даними з таблиці побудувати графік залежності відхилення від часу A = f (t) для двох середовищ (вода та повітря) на одній координатній площині.
50