3.1.1 Покращення

При виборі опорного елемента з даного діапазону випадковим чином гірший випадок стає дуже малоймовірним і очікуваний час виконання алгоритму сортування - O (n lg n).

Вибирати опорним елементом середній з трьох (першого, середнього і останнього елементів). Такий вибір також спрямований проти гіршого випадку.

Щоб уникнути досягнення небезпечної глибини рекурсії в гіршому випадку (або при наближенні до нього) можлива модифікація алгоритму, що усуває одну гілку рекурсії: замість того, щоб після поділу масиву викликати рекурсивну процедуру поділу для обох знайдених підмасива, рекурсивний виклик робиться тільки для меншого підмасива, а більший обробляється в циклі в межах цього ж виклику процедури. З точки зору ефективності в середньому разі різниці практично немає: накладні витрати на додатковий рекурсивний виклик і на організацію порівняння довжин підмасива і циклу - приблизно одного порядку. Зате глибина рекурсії ні за яких обставин не перевищить log2n, а в гіршому випадку виродженого поділу вона взагалі буде не більше 2 - вся обробка пройде в циклі першого рівня рекурсії.

Розбивати масив не на дві, а на три частини (див. Dual Pivot Quicksort).

3.1.2 Переваги:

Один з найбільш швидкодіючих (на практиці) з алгоритмів внутрішнього сортування загального призначення.

Простий в реалізації.

Потребує лише додаткової пам'яті для своєї роботи. (Не покращений рекурсивний алгоритм у гіршому випадку пам'яті)

Добре поєднується з механізмами кешування і віртуальної пам'яті.

Існує ефективна модифікація (алгоритм Седжвіка) для сортування рядків - спочатку порівняння з опорним елементом тільки за нульовим символу рядка, далі застосування аналогічної сортування для «більшого» і «меншого» масивів теж за нульовим символу, і для «рівного» масиву по вже першого символу .

3.1.3 Недоліки:

Сильно деградує за швидкістю (до) при невдалих виборах опорних елементів, що може трапитися при невдалих вхідних даних. Цього можна уникнути, використовуючи такі модифікації алгоритму, як Introsort, або вероятностно, вибираючи опорний елемент випадково, а не фіксованим чином.

Наївна реалізація алгоритму може привести до помилки переповнення стека, так як їй може знадобитися зробити вкладених рекурсивних викликів. У покращених реалізаціях, в яких рекурсивний виклик відбувається тільки для сортування меншою з двох частин масиву, глибина рекурсії гарантовано не перевищить.

Нестійкий - якщо потрібна стійкість, доводиться розширювати ключ.

Розглянемо роботу процедури для масиву a [0] ... a [6] і опорного елемента p = a [3].

Рисунок 5.8 – Приклад роботи процедури сортування

3.2 Сортування вставками

У функцію InsertionSort передається масив A і довжина списку n. Розглянемо i-ий прохід (1 <i <n-1). Підсписок від A [0] до A [i-1] вже відсортований за зростанням. Як вставляється (TARGET) виберемо елемент A [i] і будемо просувати його до початку списку, порівнюючи з елементами A [i-1], A [i-2] і т.д. Перегляд закінчується на елементі A [j], який менше або дорівнює TARGET або знаходиться на початку списку (j = 0). У міру просування до початку списку кожний елемент зсувається вправо (A [j] = A [j-1]). Коли відповідне місце для A [i] буде знайдено, цей елемент вставляється в точку j.

Сортування вставками вимагає фіксованого числа проходів. На n-1 проходах вставляються елементи від A [1] до A [n-1]. На i-му проході вставки виробляються в підсписок A [0]-A [i] і вимагають в середньому i / 2 порівнянь. Загальне число порівнянь єдине:

(3.2)

На відміну від інших методів, сортування вставками не використовує обміни. Складність алгоритму вимірюється числом порівнянь і дорівнює O (n2). Найкращий випадок - коли початковий список вже відсортований. Тоді на i-му проході вставка здійснюється в точці A [i], а загальне число порівнянь одно n-1, тобто складність становить O (n). Найгірший випадок виникає, коли список відсортований за спаданням. Тоді кожна вставка відбувається в точці A [0] і вимагає i порівнянь. Загальне число порівнянь одно n (n-1) / 2, тобто складність становить O (n2).

В принципі, алгоритм сортування вставками можна значно прискорити. Для цього слід не зрушувати елементи по одному, як це продемонстровано в наведеному вище прикладі, а знаходити потрібний елемент за допомогою бінарного пошуку, описаного в попередньому номері (тобто, в циклі розбиваючи список на дві рівні частини, поки в списку не залишиться один- два елементи), а для зсування використовувати функції копіювання пам'яті. Такий підхід дає досить високу продуктивність на невеликих масивах. Основним вузьким місцем у даному випадку є саме копіювання пам'яті. Поки що обсяг копійованих даних (близько половини розміру масиву) можна порівняти з розміром кеша процесора 1 рівня, продуктивність цього методу досить висока. Але через множинних непродуктивних повторів копіювання, цей спосіб менш кращий, ніж метод «швидкої» сортування, описаний в наступному розділі. Цей же метод можна рекомендувати у разі щодо статичного масиву, в який зрідка проводиться вставка одного-двох елементів.

3.3 Сортування вибором

Оцінимо часову складність даного методу, використовуючи в якості основної операції операцію порівняння.

Для пошуку мінімального елемента в кожному проході потрібно виконати: n-1, n-2, 1 операцій порівняння, тобто всього n (n-1) / 2 операцій порівняння. Отже, обчислювальна складність даного методу O (n2). Причому час сортування не залежить від вихідного порядку елементів.

Рисунок 3.1 – Алгоритм сортування вибором

3.4 Метод швидкого сортування

Загальний аналіз ефективності «швидкої» сортування досить важкий. Буде краще показати її обчислювальну складність, підрахувавши число порівнянь при деяких ідеальних припущеннях. Припустимо, що n - ступінь двійки, n = 2k (k = log2n), а центральний елемент розташовується точно посередині кожного списку і розбиває його на два підсписки приблизно однакової довжини.

При першому скануванні проводиться n-1 порівнянь. В результаті створюються два підсписки розміром n / 2. На наступній фазі обробка кожного підсписки вимагає приблизно n / 2 порівнянь. Загальне число порівнянь на цій фазі дорівнює 2 (n / 2) = n. На наступній фазі обробляються чотири підсписки, що вимагає 4 (n / 4) порівнянь, і т.д. Зрештою процес розбиття припиняється після k проходів, коли вийшли підсписки містять по одному елементу. Загальне число порівнянь приблизно дорівнює n + 2 (n / 2) + 4 (n / 4) + ... + N (n / n) = n + n + ... + N = n * k = n * log2n

Для списку загального вигляду обчислювальна складність «швидкої» сортування дорівнює O (n log2 n). Ідеальний випадок, який ми тільки що розглянули, фактично виникає тоді, коли масив вже відсортований за зростанням. Тоді центральний елемент потрапляє точно в середину кожного підсписки.

Якщо масив відсортований за спаданням, то на першому проході центральний елемент виявляється на середині списку і змінюється місцями з кожним елементом як у першому, так і в другому підсписки. Результуючий список майже відсортований, алгоритм має складність порядку O (n log2n).(рис. 3.2.1)

«Рисунок 3.2.1−опис методу швидкого сортування»

Найгіршим сценарієм для «швидкої» сортування буде той, при якому центральний елемент весь час потрапляє в одноелементні подспісок, а всі інші елементи залишаються в другому підсписки. Це відбувається тоді, коли центральним завжди є найменший елемент. Розглянемо послідовність 3, 8, 1, 5, 9.

На першому проході проводиться n порівнянь, а більший подспісок містить n-1 елементів. На наступному проході цей подспісок вимагає n-1 порівнянь і дає подспісок з n-2 елементів і т.д. Загальне число порівнянь одно: n + n-1 + n-2 + ... + 2 = n (n +1) / 2 - 1

Складність найгіршого випадку дорівнює O (n2), тобто не краще, ніж для сортувань вставками і вибором. Однак цей випадок є патологічним і малоймовірний на практиці. Загалом, середня продуктивність «швидкої» сортування вище, ніж у всіх розглянутих нами сортувань.

Алгоритм QuickSort вибирається за основу в більшості універсальних сортують утиліт. Якщо ви не можете змиритися з продуктивністю найгіршого випадку, використовуйте пірамідальну сортування - більш стійкий алгоритм, складність якого дорівнює O (n log2n) і залежить тільки від розміру списку.