3.8. Представление модели сигналов в форме пространства состояний

Общепризнанным является тот факт, что многие реальные процессы и поля можно с требуемой точностью аппроксимировать марковскими. Вопрос о марковости случайных процессов и полей однозначно связан с их представлением в форме стохастических дифференциальных уравнений в том случае, если последние записаны в форме уравнений состояния.

(3.1)

где - вектор состояния, зависящий от времени и пространственной координаты;

некоторые векторная и матричная функции, отображающие состояние и возбуждение поля;

порождающее векторное белое гауссовское поле.

Важным достоинством моделей сигналов и помех в форме стохастических дифференциальных уравнений является то, что при этом одновременно указывается непосредственный способ реализации как гауссовских, так и негауссовских случайных процессов и полей, и, кроме того, имеется возможность построения моделей импульсных и разрывных случайных процессов.

Во многих случаях на практике можно перейти от исходного представления случайного поля (3.1) непосредственно к модели векторного случайного процесса. В предположении, что отсутствует пространственная динамика, а также в случае изотропности процесса распространения уравнение упрощается и имеет вид

(3.2)

где - векторный белый гауссовский процесс.

Таким образом, задача синтеза моделей сигналов и помех сводится к определению коэффициентов уравнения (3.2). В линейном гауссовском случае уравнение (3.2) упрощается и имеет вид

(3.3)

где - матрицы состояния и возбуждения соответственно (для стационарных процессов в этих матрицах может быть опущена зависимость от времени).

3.8 Алгоритмы генерации марковского процесса

Можно допустить, что на вход телекоммуникационной системы, которая анализируется, подается сигнал типа "белого шума". Но такое предположение не имеет места, поскольку такой сигнал имеет постоянную непрерывную бесконечную спектральную плотность мощности. Практически любые виды реальных аналоговых каналов электросвязи способны передавать сигналы в ограниченном по эффективной ширине спектра частотном диапазоне. Это значит, что полоса частот канала конечная. В этом случае можно воспользоваться понятиям формирующего фильтра (ФФ). Формирующим фильтром по отношению к входному сигналу называется такое устройство (оператор, передаточная функция), что при действии на его вход сигнала типа "белого шума"единичной интенсивности на выходе возникает случайный сигнал, параметры которого близки к соответствующим характеристикам реального входного сигнала (математического ожидания, корреляционной функции, спектральной плотности). Если оператор ФФ записан в форме уравнений состояния, то сигнал являетсямарковским:

, (3.4)

где - векторсостояния, который зависит от времени; матрицы (для одномерного случая коєффициенті)состояния и возбуждения соответственно; порождающее векторное белое гауссовское поле с нулевим средним.

Для стационарного случая коэффициенты не зависят от времени. Коэффициенты имеют физический смысл величин, обратных интервалу корреляции процесса . Для одномерного случая

Коэффициенты определяют масштаб случайных изменений процесса .

,

где , - спектральная плотность мощности порождающего процесса .

Для стационарного одномерного процесса уравнение (3.4) представляется в виде:

. (3.5)

На рис. 3.21 приведена структурная схема ФФ, процесс на выходе которого соответствует процедуре (3.5).

Для дискретного представления уравнение состояния имеет вид

, (3.6)

где - коэффициент состояния,,- шаг,- коэффициент порождения.

Структурная схема алгоритма формирования марковской последовательности представлена на рис. 3.22.

Теорема Дж. Дуба

1. Если случайный процесс записан в форме переменных состояния, то такой процесс является марковским.

2. Если случайный процесс имеет экспоненциальную корреляционную функцию, то такой процесс является марковским.