3.6.2 Власні структури

Оптимальність розкладення за базисними функціями можна визначити за тим чи іншим критерієм, залежності від розв’язуваної задачі. Ефективність апроксимації випадкового процесу оцінюється за критерієм мінімуму середньоквадратичної похибки. Мінімальність даної похибки досягається, якщо базисними є власні вектори коваріаційної матриці розподілу процесу, який отримав назву - розкладення Карунена-Лоєва.

Розкладення в ряд Карунена-Лоєва корисного сигналу , заданого на проміжку часу віддоз кінцевою енергією, подається так:

,

причому

,

а система значень являє собою базис Карунена-Лоєва – власні вектори коваріаційної матриці сигналу. Відліки, є коефіцієнтами ряду і мають дисперсії, які складають енергетичний ряд

.

На основі цього побудовано і дискретне перетворення Карунена-Лоєва. У результаті обробки сигналів однією з основних операцій є зменшення надлишку інформації.

3.6 Марковские процессы

В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество есть область значений процесса и область определения параметра времени, различают четыре основных вида марковских процессов:

- марковские цепи (марковский процесс, у которого область значений (значения процесса) и область определения (время) – дискретные множества);

- марковская последовательность (марковский процесс, у которого область значений (значения процесса) – непрерывное множество, а область определения (время) – дискретное множество);

- дискретный марковский процесс (марковский процесс, у которого область определения (время) – непрерывное множество, а область значений (значения процесса) – дискретное множество);

- непрерывнозначный марковский процесс (марковский процесс, у которого область значений и область определения – непрерывные множества).

Характер временных реализаций перечисленных процессов показан на рис.3.17.

Случайный процесс является марковским, если для любыхмоментов времениусловная функция распределения «последнего» значенияпри фиксированных значениях,, …,зависит только от.

Важным, определяющим специфику марковости, является свойство условной плотности вероятностей

,

где - переходная плотность вероятности из состояния в состояние.

Для марковских процессов справедлива теорема о факторизации, в соответствии с которой вероятность состояния в моментсвязана с вероятностью первоначального состояниясоотношением

.

Так в соседних сечениях ипроцессавероятности состояния связаны следующим образом

.

То есть значения марковского процесса образуют своеобразную цепь, в которой очередное звено определяет состояние последующего или же соответственно: его состояние зависит только от состояния предыдущего.

Для стационарных процессов

.

Приведенные свойства отображают важнейшую специфику и отличие случайных процессов, а именно: свойство динамики, поскольку позволяет описывать (моделировать) изменение свойств системы во времени, что невозможно описать с помощью эргодических процессов или случайных величин. Вместе с тем, марковские процессы не обладают достаточной гладкостью (рис.3.18), и в общем случае имеет произвольный закон распределения.

Часто используется центрированный марковский сигнал, для которого плотность распределения вероятности носит гауссовский характер

,

- дисперсия сигнала.

Такой сигнал называют гауссовским марковским сигналом (рис.3.19).

Рис. 3.18. Реализация марковского процесса и его гистограмма плотности распределения

Рис. 3.19. Реализация марковского гауссовского процесса и его гистограмма плотности распределения

Уравнение корреляционной функции для центрированного гауссовско-марковского процесса имеет вид (рис.3.20 а)

.

где ,- интервал корреляции.

Корреляционной функции соответствует спектральная плотность мощности (рис.3.20 б)

.