2 Дослідження множинної лінійної регресії в економічних розрахунках

2.1 Мета роботи

Користуючись пакетом EXCEL знайти оцінки множинної лінійної регресії за методом найменших квадратів.

2.2 Методичні вказівки щодо організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до виконання даної лабораторної роботи слід вивчити теоретичний матеріал за лекційним матеріалом та Додаток А.

Економічні процеси залежать від багатьох факторів. Тільки їх комплекс у взаємозв’язку може дати більш-менш повне уявлення про характер явища. Етапи множинного кореляційного аналізу такі:

1. Визначення факторів, що визначають показник та вибір найбільш вагомих з них.

Правила відбору:

- необхідно враховувати причинно-наслідковий зв’язок між показниками, а не аналізувати фактори, які знаходяться тільки у математичних співвідношеннях з результативним показником;

- необхідно відбирати тільки найзначущі фактори. Ті, що мають критерій Стьюдента менше за табличний, не рекомендується вводити у модель;

- не рекомендується включати до моделі взаємопов’язані фактори.

2. Перевірка однорідності інформації.

Критерієм однорідності інформації є середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації, які розраховуються для кожного факторного та результативного показника.

Середньоквадратичне відхилення показує абсолютне відхилення індивідуальних значень від середньоарифметичного

. (2.1)

Коефіцієнт варіації показує відносну міру відхилення окремих значень від середньоарифметичної

. (2.2)

Чим більше V, тим більше розкид варіаційного ряду:

- якщо V<10% – мінливість варіаційного ряду незначна;

- якщо 10%<V<20% – середня мінливість варіаційного ряду;

- якщо 20%<V<33% – велика мінливість варіаційного ряду;

- якщо V>33% – інформація неоднорідна та її необхідно виключити або відкинути нетипові спостереження, які звичайно знаходяться у перших та останніх ранжированих рядах вибірки.

На підставі найвищого показника варіації визначається необхідний обсяг вибірки даних

, (2.3)

де V – варіація, %;

t – показник надійності зв’язку, який при рівні ймовірності Р=0,05 дорівнює 1,96;

m – показник точності розрахунків, %. Для економічних розрахунків припустима помилка 58%.

4. Перевірка відповідності даних нормальному закону розподілення здійснюється розрахунком асиметрії А, ексцесу Е та їх помилок ε_a, ε_e.

; ; (2.4)

; . (2.5)

Межа припустимості відхилення від нормального закону розподілення визначається умовами

. (2.6)

5. Визначення та аналіз коефіцієнтів парної кореляції.

Для цього розраховується вибіркова кореляційна матриця

, (2.7)

де r_ij – вибірковий коефіцієнт кореляції

(2.8)

де S_i, S_j – вибіркові дисперсії факторів X_i та X_j.

6. Визначення та аналіз коефіцієнтів частинної кореляції.

Частинною кореляцією між X_i та X_j називається кореляційна залежність між ними при фіксованих значеннях інших показників. Вони визначаються через елементи матриці, зворотної до кореляційної

, (2.9)

де , , – елементи матриці .

Значущість коефіцієнтів кореляції перевіряється розрахунком t-критерію

, (2.10)

який має розподілення Стьюдента з k=n-m-1 ступенями вільності, де n – кількість спостережень, m – порядок кореляційної матриці. Якщо із заданою надійністю Р, то кореляційний зв’язок існує.

Парні коефіцієнти кореляції отримуються при умові діяння інших факторів на результат, а частинні – із виключенням впливу інших факторів. Якщо парні більше за частинні, тоді вплив інших факторів на тісноту зв’язку між результативним показником та факторами дуже значний, тобто фактори, що входять у модель впливають на показник не тільки прямо, але й посередньо.

Дослідження тісноти зв’язку між факторами дозволяє обрати незалежні між собою фактори.

7. Побудова моделі множинної регресії.

Лінійна модель з m незалежними змінними має вигляд

. (2.11)

У матричному вигляді регресія запишеться у вигляді

(2.12)

або у матричному вигляді

.

Вектор коефіцієнтів знаходиться вирішенням матричного рівняння

. (2.13)

8. Оцінка значущості параметрів регресії здійснюється за допомогою T-статистики

, (2.14)

де S_ai – квадратична похибка (середньоквадратичне відхилення) параметрів. У свою чергу вона розраховується за виразом

, (2.15)

де b_ij – діагональний елемент оберненої матриці ;

S – оцінка середньоквадратичного відхилення похибок апроксимації

. (2.16)

Коли для ступеня вільності k=n-m-1 та ймовірності Р=0.95, тоді гіпотеза про значущість параметрів регресії приймається. В протилежному випадку і-й параметр та фактор виключаються із регресії та необхідно виконати оцінку для іншого набору факторів.

9. Визначення коефіцієнтів множинної кореляції та детермінації.

Вибірковий коефіцієнт множинної кореляції характеризує ступінь зв’язку між факторами та показником, що розраховується за формулою

, (2.17)

де y_i – експериментальні значення показника;

–передбачені відповідно із рівнянням регресії значення показника;

y_i – середньоарифметичне значення показника.

Множинний коефіцієнт детермінації дорівнює R², знаходиться у межах від 0 до 1 та характеризує наближення експериментальної кривої до лінії регресії: чим більше до 1, тим ближче наближуються лінія регресії та експериментальна крива.

Перевірка значущості коефіцієнтів здійснюється розрахунком F-статистики

, (2.18)

де – дисперсія відтворності;

–остаточна дисперсія.

Якщо відомий коефіцієнт детермінації, то F-критерій також можна знайти за виразом

. (2.19)

Коли для надійності р=0,95, ступенів вільності k₁=m, k₂=n-m-1, тоді гіпотеза про значущість коефіцієнта детермінації приймається.

2.3 Порядок виконання завдання

1. Отримати у викладача вибірку факторів X₁, X₂, ... , X_n та показника Y (Додаток Б).

2. Вводиться гіпотеза, що між факторами та показником існує стохастична залежність виду (2.11).

3. Виконати аналіз однорідності вихідних даних та їх відповідності нормальному закону розподілення. Заповнити таблицю 2.1 та зробити висновки. Використати вбудовані функції СКОС та ЕКСЦЕСС.

4. Сформувати матриці показника та факторів виробничої регресії.

5. Виконати розрахунки частинних та парних коефіцієнтів кореляції, та перевірити їхню статистичну значущість. Зробити висновки.

6. Вирішити матричне рівняння (2.13) та знайти вектор оцінок параметрів множинної регресії, користуючись вбудованими у EXCEL функціями МОПРЕД, ТРАНСП, МОБР, МУМНОЖ.

7. Виконати перевірку статистичної значущості параметрів регресії за допомогою t-критерію. Для цього розрахувати передбачені значення показника Y та похибку апроксимації е, склавши таблицю 2.2.

Таблиця 2.1

Показ-ник	Середн. арифм. знач.	Середн. квадр. відхил.	Варіація, %	Асиметрія, А	Ексцес, Е	Помилка
						εа	εе
Y
x1
x2
xn

Таблиця 2.2 – Форма для аналізу значущості параметрів регресії

N	yi
1
2
....
n

8. Визначити множинний коефіцієнт кореляції та коефіцієнт детермінації. Виконати оцінку значущості коефіцієнта детермінації з надійністю Р=0.95. Використати статистичні функції FРАСП, ДИСП, СРЗНАЧ.

9. Аналізуючи результати розрахунків, зробити висновки.

2.4 Зміст звіту

1. Вихідні дані.

2. Таблиця оцінки вихідних даних.

3. Кореляційна матриця та обернена до неї матриця, розрахунки частинних та парних коефіцієнтів кореляції. Оцінка статистичної значущості коефіцієнтів кореляції. Висновки за результатами.

4. Проміжні результати вирішення матричного рівняння (3.13): вихідна, транспонована, обернена матриці та результати множення матриць.

5. Вектор оцінок параметрів множинної регресії.

6. Оцінка значущості параметрів регресії.

7. Розрахунок коефіцієнта множинної кореляції та коефіцієнта детермінації. Результати перевірки їх значущості за F-критерієм.

8. Висновки.

2.5 Контрольні запитання та завдання

1. Наведіть визначення та зміст множинної регресії.

2. Для чого та як виконується аналіз вихідних даних?

3. Що таке частинні та парні коефіцієнти кореляції? В чому полягає їх різниця?

4. Як перевіряється значущість коефіцієнтів кореляції?

5. Як вирішується система нормальних рівнянь множинної регресії у матричному вигляді?

4. Викладіть методику розв’язання системи лінійних рівнянь за допомогою можливостей пакета EXCEL.

5. Як оцінити адекватність параметрів множинної регресії?

6. Що таке коефіцієнти множинної кореляції та детермінації? Як виконується перевірка їх статистичної значущості?