31. Нормальный закон распределения, вероятность попадания в заданный интервал.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью(см ниже)

Плотность распределения:

.

Вероятность попадания X в интервал [a , b]:

.

32. Симметрия икСес. ( χ )

Коефициент aсимметрии, характеризирует степень симметричности распределения. Aсимметрия (As) случайной величины Х – As=Sk=μ₃/δ². As=0 – это значит, что распределение симметрично относительно М(Х). Если As<0, то распределение «скошено» вправо и имеет вид P{X<M(X)}<P{X>M(X)} и наоборот: если As>0, то распределение «скошено» влево и имеет вид P{X<M(X)}>P{X>M(X)}.

Коефициент ексцес (ЕХ) характеризует крутизну распределения. Имеет вид: ЕХ=μ₄/δ⁴. Учитывая то, что μ₄=3δ⁴ – ЕХ=(3δ⁴/ δ⁴)-3=0 – для нормального закона распределения. EX>0: распределение имеет позитивный ексцес, тоесть распределение математического ожидание имеет большую высоту и острую вершину, нежели нормальный закон распределения. EX<0: наблюдается обратный эффект.

33. Нормальный закон распределения. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило 3х сигм.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью(см ниже)

Плотность распределения:

Вычисление вероятности заданного отклонения:

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность

осуществления неравенства .

Правило 3х сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

34. Закон Больших Чисел. Неравенство Чебышева, обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не завися-

щему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся

теоремы Чебышева и Бернулли.

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Если е достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию.

Неравенство Чебышева: Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа г, не меньше, чем :

Обобщенная теорема Чебышева:

Используется если имеют разные законы распределения, а так же разные распределения.

Если — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы:

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Теорема Маркова:

Используется, если зависимые.

Теорема: Если случайные велечины зависящие, и для , то среднее арифметическое значение случайной величины сходится по вероятности со средним арифметическим математического ожидания