21. Взаимно независимые случайные величины, которые имеют одинаковый

закон распределения. M(), D()

Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые харак-

характеристики одинаковы. Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе. Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через:

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим

2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна D, получим

22. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина X может принимать только значения вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его

с вероятностью р = 1. Следовательно,

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

напишем закон распределения случайной величины СХ:

Математическое ожидание случайной величины:

Итак,

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения:

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

По определению дисперсии:

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. Пусть закон распределения X известен:

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁ — М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁—М (X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (X) — постоянная величина, имеем

М [Х—М (X)] = М (X) — М [М (X)] = М (X) — М (X) = 0.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммыконечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательст во. Обозначим через X сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимыхслучайных величин равна сумме дисперсий слагаемых , поэтому