18. Плотность распределения и ее свойства.

Плотность распределения:

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х)— первую производную от функции распределения F (х):

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности

распределения, взятому в пределах от а до b:

Доказательство:

По формуле Ньютона — Лейбница,

Таким образом,

Так то окончательно получим

Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения F (х) по формуле

Геометрический смысл:

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно

равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

Свойства:

1. Плотность распределения—неотрицательная функция:

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен единице:

19. Математическое ожидание (м(х)) дискретных случайных величин. Его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

20. Дисперсия (d(X)) случайной дискретной величины. Ее свойства. Среднеквадратическое отклонение σ(х).

Пусть X—случайная величина и М (X)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X—М(Х). Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. Пусть закон распределения X известен:

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁ — М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁—М (X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (X) — постоянная величина, имеем

М [Х—М (X)] = М (X) — М [М (X)] = М (X) — М (X) = 0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения:

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

По определению дисперсии:

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Свойства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии: