9. Сложение вероятностей для совместимых событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий:

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

(*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий:

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Отсюда

(**)

Аналогично имеем

Отсюда

(***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

.

10. Формула полной вероятности.

Теорема:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: - формула полной вероятности.

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим :

(*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности :

11. Формула Байеса.

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не из-

вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Условная вероятность любой гипотезы может быть

вычислена по формуле:

- Формула называют формулами Бейеса. Формулы Бейеса позволяют

переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

12. Независимые испытания. Формула Бернулли, свойства формулы.

Независимые испытания:

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания

называют независимыми относительно события А.

Формула Бернули:

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях

событие А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна

сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Свойства:

1. Вероятность появление события А в n-независимых испытаниях не больше раз и не меньше раз:

2. Вероятность появления хотя бы одного события в n-независимых испытаний:

3. Число , которому соответствует максимальная вероятность называется самым вероятным числом появления сбытия А и определяется:

При этом:

1. Если np-q - дробное, то существует только одно самое вероятное число

2. Если np-q - целое, то самых вероятных числа 2:

3. Если np-q - целое, то

Формула Бернули используется, если число испытаний n мало, а вероятность события p известна.