45. Доверительный интервал для м(х) нормальной совокупности, если среднеквадратичное отклонение σ(х) неизвестно.

Даже если не известно σ, воспользовавшись данными выборки, построим случайную величину, обозначив ее значения через Т: которая имеет распределение Стьюдента с k = n—1 степенями свободы; здесь — выборочная средняя, S—«исправленное» среднее квадратическое отклонение, n — объем выборки. Плотность распределения Стьюдента где Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром n—объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы k=n-1) и не зависит от неизвестных параметров а и σ; эта особенность является его большим достоинством. Поскольку S(t, n)—четная функция от t, вероятность осуществления неравенства

определяется так:

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с надежностью γ. Здесь случайные величины X к S заменены неслучайными величинами х и s, найденными по выборке. t_γ – табличное значения функции Стюдента.

Під інтервальною оцінкою розуміють інтервал, що називають довірчим, межі якого залежать від вибіркових значень випадкової величини X і який із заданою ймовірністю містить істинне значення оцінюваного параметра

Довірчий інтервал для математичного сподівання випадкової величини при заданій довірчій ймовірності визначається відповідно до виразу:

,

де – математичне сподівання випадкової величини X;

– критична точка розподілу Стьюдента, визначається за табл. В.2 для числа ступенів свободи k=n-1 і рівня значущості .

45. Доверительный интервал для дисперсии нормальной совокупности.

Під інтервальною оцінкою розуміють інтервал, що називають довірчим, межі якого залежать від вибіркових значень випадкової величини X і який із заданою ймовірністю містить істинне значення оцінюваного параметра

Довірчий інтервал для дисперсії має вигляд:

,

де – дисперсія випадкової величини X;

– критичні точки розподілу Пірсона, значення яких визначається за табл. В.3 за числом ступенів свободи k=n-1, а також за рівнем значущості a/2 для і (1-a /2) для .

45. Статистическая проверка гипотезы. Основные понятия. Н0 и н1, критерии проверки гипотезы. Критическая точка. Критическая область и область принятия гипотезы. Основной принцип проверки гипотез.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону

Пуассона;

2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны

между собой.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу которая противоречит нулевой.

Критерии:

1. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы.

2. Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по

выборкам.

Критическая область:

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых

нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых критических значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.