45. Распределение , d(выборки) нормальной генеральной совокупности.

Пускай х₁,х₂, …, x_n – независимые случайные величины, какие имеют нормальный закон распределения с параметрами х_і~N(a,σ), i=1,2,…,n; тогда тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами М()=а; D()=σ²/n;

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения , признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака имеют со-

соответственно частоты причем n₁+n₂+…+n_k=n то

т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная

квадратов отклонений с весами, равными соответствую-

соответствующим частотам.

45. Интервальное оценивание. Постановка задачи.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше,— точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки 0 по 0* называют вероятность у, с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность

оценки задается наперед, причем в качестве у берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Доверительным называют интервал (0*—, 0*+ ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью Y.

45. Доверительный интервал для м(х) нормальной совокупности, если среднеквадратичное отклонение σ(х) известно.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение о этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью γ. Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака — как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение — σ. Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы:

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

где γ — заданная надежность.

заменив X на и σ на получим

где

Найдя из последнего равенства можем написать

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна γ, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки Итак, поставленная выше задача полностью решена.

Укажем еще, что число t определяется из равенства по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ/2.