Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

 

Формулировка теоремы: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси  равна сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси, т. е.

.

31. Элементарная работа силы; ее аналитическое выражение. Работа силы на конечном пути. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Мощность. Кинетическая энергия материальной точки.

Элементарная работа силы - работа силы при малом перемещении тела.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы (рис.16) называется скалярная величина:

,

где - проекция силына касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а-бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющиеи, то изменять модуль скорости точки будет только составляющая, сообщающая точке касательное ускорение Составляющая жеили изменяет направление вектора скоростиv(сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая  влиять не будет,  т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что , получаем:

.                                            (1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещениеи на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, приэлементарная работа.

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, приэлементарная работа.

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие,,по направлениям координатных осей (рис.17; сама силана чертеже не показана).

Рис.17

 

Элементарное перемещение слагается из перемещений,,вдоль координатных осей, гдеx, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы на перемещенииможно вычислить как сумму работ её составляющих,,на перемещениях,,.

Но на перемещении совершает работу только составляющая, причем её работа равна. Работа на перемещенияхивычисляется аналогично. Окончательно находим:.

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы тяжести

Работа силы упругости — работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения x1 до конечного значения x2

  

Вывод формулы работы силы упругости ( через интеграл )

Коэффициент жесткости пружины k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м). Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Работа силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

Мо́щность — физическая величина, равная в общем случае скорости изменения, преобразования, передачи или потребления энергии системы. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени

32. Тензор момента инерции системы и твердого тела. Главные оси инерции. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Основные моменты инерции некоторых тел.

Если два центробежных момента инерции , содержащие в обозначениях общий индекс некоторой оси , равны нулю , то эта ось называется главной осью инерции тела. Например , если имеем

J_xz = J_yz = 0, то ось z является главной осью инерции в точке O. Если равны нулю все три центробежных момента инерции , то все три оси являются главными.

Существует теорема , которая устанавливает , что в каждой точке тела можно найти как минимум три главные оси инерции. Главные оси , построенные в центре масс тела , называются главными центральными осями инерции , а моменты инерции относительно этих осей - главными центральными моментами инерции.

 Теорема о моментах инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана осьOz₁. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осямиCz и Oz₁. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz₁ опустим из каждой точки M_i рассматриваемого тела перпендикуляры r_i и h_i  на оси Cz и Oz₁. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

r_i² = x_i² + y_i², h_i² = x_i² + (y_i – d)² = x_i² + y_i² + d² – 2y_id = r_i² + d² – 2y_id. (a)

Определим моменты инерции тела относительно осей Cz и Oz₁:

J_Cz = ∑ m_ir_i², J_z1 = ∑ m_ih_i².

Применив зависимость (а): J_z1 = ∑ m_ir_i² + ∑ m_id² – 2∑m_iy_id. (в)

Здесь ∑ m_i = m. – масса тела. Из формулы y_c = ∑ m_iy_i/m, получим:

∑ m_iy_i = my_c, так как  y_c = 0, то ∑m_iy_i = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:

J_z1 = J_cz + md² . (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: J_c = ½ * (J_cx + J_cy + J_cz). Отсюдаследут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между радиусами инерции твёрдого тела i_cz  и i_z1 относительно осей Cz и Oz_1.

J_z1 = mi_z1², J_cz = mi_cz², тогда mi_z1² = m_cz² + md², откуда i_z1² = i_cz² + d².

 

32. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

32. Кинетическая энергия механической системы. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий  точек и тел, входящих в эту систему.

Кинетическая энергия точки массы m, движущейся со скоростью ,

.                                                (1)

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формулам:

– при поступательном движении

,                                               (2)

где M – масса тела; V – скорость какой-либо точки тела (напомним, что при поступательном движении тела скорости всех точек одинаковы);

– при вращении вокруг неподвижной оси z

,                                              (3)

где J_z – момент инерции массы тела относительно оси вращения;  – угловая скорость тела;

– при плоскопараллельном движении

,                                        (4)

где M – масса тела; V_C –  скорость центра масс; – момент инерции массы тела относительно осиz_C, проходящей через центр масс C перпендикулярно плоскости движения;  – угловая скорость тела.

В системе с одной степенью свободы скорости разных точек и угловые скорости тел в формулах (1)…(4) выражаются через одну какую-либо скорость. Для этого надо учитывать известные кинематические зависимости между скоростями в движущихся системах [2].