Первая задача.

Зная массу точки и ее движение, найти силы, действующие на точку или их равнодействующую. Решение этой задачи в общем виде осуществляется следующим образом.

Пусть составлены или используются дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме. Известно и движение материальной точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Согласно уравнениям (4) предыдущего параграфа, дважды дифференцируя законы движения точки, находим проекции ускорения на оси координат: a_x = x''; a_y = y''; a_z = z'', а затем проекции равнодействующей: F_x = mx''; F_y = my''; F_z = z''. Зная проекции равнодействующей на оси прямоугольной системы координат, находим величину равнодействующей:

(1)

а ее направление определяем тремя направляющими косинусами:

(2)

Если составлены или используются дифференциальные уравнения движения в естественной форме и известно движение точки по траектории s = s(t), то, согласно уравнениям (6) п. 1, вначале находим проекции ускорения на естественные оси a_τ = s'' и a_n = s'² / ρ, если радиус кривизны известен, а затем проекции равнодействующей, лежащей в соприкасающейся плоскости, равные: T_τ = ms''; F_n = ms'² / ρ. Модуль равнодействующей и ее направление определяем по следующим формулам:

(3)

где α - угол между равнодействующей F и ее нормальной составляющей F_n.

Для определения всех сил по найденной равнодействующей нужно знать ряд дополнительных условий. Так, например, при решении первой задачи динамики несвободной материальной точки нужно знать направления реакций связей, которые в большинстве случаев можно определить, зная свойства связей. Эти свойства подробно рассмотрены в статике. Если на точку действует одна активная сила, то формулы (1) - (3) полностью определяют вектор этой силы.

Рекомендации по решению первой задачи динамики точки.

Здесь мы приведем общие рекомендации по решению первой задачи динамики с помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки. Задачу следует решать в таком порядке.

1. Составить дифференциальные уравнения, используя рекомендации, изложенные в предыдущем параграфе.

2. По известному движению материальной точки найти проекции ускорения на оси координат, которые выбраны для составления дифференциальных уравнений.

3. Подставляя проекции ускорения в составленные дифференциальные уравнения, найти проекции равнодействующей сил, приложенных к точке.

4. Используя дополнительные условия, например, направления реакций связей, определить по равнодействующей силы, приложенные к точке. Если на точку действует одна сила, то для нахождения величины и направления этой силы можно использовать формулы (1) - (3), полученные для равнодействующей.

5. Проанализировать полученное решение.

Вторая задача.

Зная приложенные к точке силы, а также ее массу, определить ее движение, описываемое кинематическими уравнениями.

Решая задачу в прямоугольной системе координат, когда используются уравнения (4) из предыдущего параграфа, мы, чтобы найти кинематические уравнения движения x = x(t); y = y(t); z = z(t), должны проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. Если система уравнений интегрируется, то множество ее решений будет функциями времени и шести постоянных интегрирования:

x = x(t, C1, C2, ... C6); y = y(t, C1, C2, ... C6); z = z(t, C1, C2, ... C6)

(4)

Чтобы найти единственное решение системы, нам нужно задать или определить по условиям задачи шесть начальных условий. Этими начальными условиями являются координаты и проекции скорости точки в начальном положении в начальный момент времени, который чаще всего принимается за начало отсчета времени, когда t₀ = 0. Начальными условиями будут:

x(0) = x0; y(0) = y0; z(0) = z0; x'(0) = V0x; y'(0) = V0y; z'(0) = V0z

(5)

Для определения всех шести постоянных интегрирования дифференцируем по времени выражение (4), находя еще три соотношения, содержащие постоянные интегрирования:

x' = x'(t, C1, C2, ... C6); y' = y'(t, C1, C2, ... C6); z' = z'(t, C1, C2, ... C6)

(6)

Подставляя в (4) и (6) начальные условия при t = t₀ = 0, получаем систему шести алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования. Находя из этой системы уравнений постоянные интегрирования и подставляя их в выражения (4) получаем единственное решение задачи, соответствующее начальным условиям. Заметим, что в ряде случаев дифференциальные уравнения допускают последовательное интегрирование и последовательное нахождение постоянных интегрирования.

При рассмотрении движения точки в естественной системе координат используются дифференциальные уравнения (6) предыдущего параграфа. Общее решение первого из этих уравнений имеет вид s = s(t, C₁, C₂). Начальными условиями движения в этом случае являются значения дуговой координаты и значение начальной скорости в начальный момент времени: s(0) = s₀; s'(0) = V₀. Определив на основании начальных условий постоянные интегрирования, подставив их в общее решение, находим единственное решение этого дифференциального уравнения или уравнение движения точки по траектории при заданных начальных условиях: s = s(t). Второе дифференциальное уравнение можно использовать для определения радиуса кривизны траектории ρ = ρ(t), подставляя в него первую производную по времени от найденного закона изменения дуговой координаты.

Таким образом, вторая задача динамики решается как задача Коши с заданными начальными условиями.

29.Количество движения точки. Элементарный импульс и импульс силы за конечный промежуток времени. Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной и конечной формах.

Произведение массы точки на ее скорость называется количеством движения точки. Количество движения равно mV (масса * скорость). Количество движения тела складывается из количеств движения всех частиц, составляющих тело, и равно массе тела, умно­женной на скорость его центра тяжести: количество движения равно mV_c(масса тела * скорость центра тяжести).

Элементарный импульс силы - это векторная мера действия силы, отражающая, что действие силы зависит не только от величины и направления силы, но и от продолжительности действия силы.

Элементарный импульс силы , действующий на материальную точку в течение промежутка времени, равен изменению её количества движения за тот же промежуток времени.

 Импульс силы

Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Введем сначала понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за бесконечно малый промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называйся векторная величина , равная произведению вектора силына элементарный промежуток времени

 .

Направлен элементарный импульс по линии действия силы.

Импульс  любой силы за конечный промежуток времениt₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов:

.

Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени, равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от 0 до.

В частном случае, если сила и по модулю, и по направлению постоянна (=const), будем иметь . Причем, в этом случае и модуль . В общем случае модуль импульса может быть вычислен через его проекции.

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

               .

Единицей измерения импульса в СИ является – 

Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

.

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени  от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m, движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в моментt=0 скорость , а в моментt₁-скорость .

Рис.15

 

Умножим тогда обе части равенства на и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 иt₁, а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от равен, то в результате получим:

.

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:                                                                                    

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

30.Момент количества движения точки относительно центра и оси. Теорема об изменении кинетического момента тела и системы.

Момент количества движения мат.точки относительно центра и оси.

1)При движении тел в жидкости, сила трения пропорциональна первой степени скорости.

2)Моментом количества движения мат.точки относительно центра называется вектор, модуль которого = произведению модуля количества движения на кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора количества движения, I-й плоскости в которой лежат упоминающиеся линии и направленный так, что бы глядя от его конца видеть движение, совершающееся против часовой стрелки.

Моментом количества движения мат.точки относительно оси называется скалярная величена = произведению проекции количества движения мат.точки на плоскость перпендикулярную данной оси и на кратчайшее расстояние от точки пересечения данной оси с этой плоскостью до прямой, на которой лежит прямая вектора количества движения.