задания ЭЛЭИ - 2 сем

1

πx

Внести под знак дифференциала cos

dx =

3

2

Найти первообразную ∫

1

+ e

3x−4

dx

3x

3

+∞

dx

Вычислить

∫

x

2

+ 4x + 5

0

4

Решить ОДУ 1-го порядка y'(x

2

+ 2) = xy

2

5

y

2 ln x,

y'−

= x

Решить задачу Коши

x

= 0.

y(1)

6

Решить ОДУ y''+4y'= 0

7

Указать вид частного решения по виду правой части

y''+ y = ex

cos x − sin x

8

x'= 2x

− y,

Решить систему ЛДУ

y'= −2x + 3y.

9

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства

определенного интеграла.

10

Метод Лагранжа для решения ЛДУ.

1

x

Внести под знак дифференциала x +

dx =

2

y2

= 2x, y = ex, y ≥ 0,

x = 0,x = 1

4

y'=

x + 5y

Решить

x − 3y

5

y

2x

2

+1,

y'+

= e

Решить задачу Коши

x

y(1) = 0

8

x'= 2x − 2y,

Решить систему ЛДУ

y'= 3y − x.

10

Сведение ЛДУ к системе ОДУ. Общие свойства линейных систем и уравнений.

2

Найти первообразную ∫ xsin(4x2 +

1

)dx

2

3

4

x4 + 3x −1

Вычислить ∫

dx

x

3

+ x

2

0

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение y'(x + 2) − y = xy2

5

y

y'+

= sin2t,

t

Решить задачу Коши

π

1

y(

) =

.

2

2

6

Решить ОДУ 5y''−4y'−9y = 0

7

Решить y'''+ y = ex + e− x

8

x'= 3x − 2y,

Решить систему ЛДУ

y'= −x

+ 2y.

9

Интегрирование дробно-рациональных функций.

10

Линейные дифференциальные уравненияна примере уравнения колебания маят-

ника. Характеристическое уравнение.

1

2

mπx

Внести под знак дифференциала

+

dx =

x

2

2

dx

Найти первообразную ∫

2

x

− 5

y = cos2

x,

π

π

,x =

x = −

2

2

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение

y'(x2 + 3x + 2) = 7xy − 2y

5

2y

y'+

= ln x,

Решить задачу Коши

x

y(1) = 0

6

Решить ОДУ 5y''+7y'−12y = 0

7

Указать вид частного решения по правой части ОДУ

y''+4y = e2x cos x −sin 2x + xcos2x

8

x'= 3x − y,

Решить систему ЛДУ

y'= −2x + 2y.

9

Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение, частное

решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения

задачи Коши.

10

Приложение интегралов к вычислению длин дуг кривых, объемов тел .

1

π

−

πx

Внести под знак дифференциала sin

dx =

2

3

2

x−4

Найти первообразную ∫

3

+ e

3

dx

3x +1

3

+∞

dx

0∫

ex +1

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение yy'(x + 2) = xy2 − y

5

Решить y'−

2y

=

x

2

+ x

x

x2 − 4

6

Решить ОДУ y''−4y'−5y = 0

7

Указать вид частного решения по правой части ОДУ

y''− y = ex (cos x − x3 )

8

x'= x − y,

Решить систему ЛДУ

y'= −3x − y.

9

Сформулировать теоремы о структуре решений линейных ОДУ с постоян-

ными коэффициентами.

10

Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел

и площадей поверхностей вращения.

1

−x

1

Внести под знак дифференциала e

+

dx =

2x

2

Найти первообразную ∫

2 + tg2x

dx

cos2 2x

3

y = x2

+ 2x,

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

2

y = −x

+ x +1

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение y'(y −14) = y

3

+ y

2

5

y

2x

y'+

= e

,

x +1

Решить

y(0) =1

8

x'= x − y,

Решить систему ЛДУ

y'= 3x − 3y.

2

x

2

+ x − 5

Найти первообразную ∫

dx

3x2 + x

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение y'(x + 2)(y

2

+1)

= x

5

y

2

y'−

= x

cos x,

Решить

x

y(π ) = 0

8

x'= 5x − y,

Решить систему ЛДУ

y'= 3x + y.

1

1

mπx

Внести под знак дифференциала

+

dx =

x2

4

2

Найти первообразную ∫

4x +11

dx

x3 − 9x

3

Определить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси ОХ

y = ln x, y = 0

x = 1,x = e

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение y''(x + 4) + y'= x

5

y

y'−

= xcos2x,

Решить

x

y(π ) = 0

6

5y''−6y'+y = 0,

Решить

y(0) = 0, y'(0) = 1.

7

Найти общее решение ЛНДУ y''−4y = cos2x + e

2x

8

x'= 5x + 3y,

Решить систему ЛДУ

y'= −x + y.

9

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свой-

ства определенного интеграла.

1

1

5 x−1

Внести под знак дифференциала

− e

dx =

2x +1

2

Найти первообразную ∫ xsin

2

xdx

3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

{y = x2 − 4x, y = −x2 + 3x − 5}

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение

yy'(x2 + x) + y2 + x2 y3 = 0

5

Решить y'−

2xy

=

1

x2 + 2

x2

6

y''+2y'+2y = 0,

Решить

y(0) = −1, y'(0) = 1.

7

Решить y''+2y'+ y = −sin x

8

x'= x + 3y,

Решить систему ЛДУ

y'= −x + 5y.

9

Способы интегрирования тригонометрических функций.

10

Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система ре-

шений. Теорема о структуре общего решения.

1

mπx

Внести под знак дифференциала 1+ sin

dx =

2

2

xdx

Найти первообразную ∫

sin2 πx

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение y'(2 + x − 3x

2

) = xy

5

x

+ 3e

,

Решить y'+ y = 1

= 2.

y(0)

8

x'= 2x + y,

Решить систему ЛДУ

y'= 2x + y.

9

Метод Лагранжа для решения ЛДУ высших порядков.

10

Физические приложения определенного интеграла.

1

1

+

1

=

Внести под знак дифференциала

dx

x

x2

2

π

2

cost

Вычислить ∫

dt

0

1

+ sint

3

Определить площадь фигуры, ограниченной линией ρ = cos2ϕ

4

Определить тип ОДУ и найти общее решение

y' y(x + 2)2 =

x(y +1)

x +1

5

Решить y'+

y

= cos2 x

x

6

Решить 5y''+ y'−6y = 0

7

Решить y''−y = −cos x + xe

−x

8

x'= 3x + y,

Решить систему ЛДУ

y'= 2x + 2y.

9

Структура общего решения линейного однородного ДУ с постоянными ко-

эффициентами. Примеры.

10

Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойстваю

1

2 x

1

Внести под знак дифференциала e

+

dx =

x +1

2

4

xdx

Вычислить ∫

9 + x2

0