7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть – функция, дифференцируемая на интервале . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка кривой M₀(x₀, f(x₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла; если во всех точках интервала –, то кривая на этом интервале вогнута.

Пример 7.8. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой

Решение.

Ищем точки х из области определения функции, в которых или не существует.

Вторая производная равна нулю в точках . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точекх, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как существует всюду.

Исследуем найденные точки, определяя знак слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).

Таблица 3

x		0	(0, 1)	1
		0		0
	выпукла	нет перегиба	выпукла	точка перегиба	вогнута

Выполним построение (рис. 6).

Рис. 6

7.5. Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Если , то прямаяявляется асимптотой графика (при ). Эта асимптота параллельна осиOx и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика y = f(x) (при ), если.

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.

Прямая x=x₀ называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов ,, является бесконечным (рис. 8).

Рис. 8

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.

Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции .

Решение.

Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точкиx₀ = 2, в которой функция терпит разрыв,

= –,= +. Следовательно, прямая х=2 является вертикальной асимптотой для графика y =. Кроме того,= 0 и = 0, следовательно, прямаяy = 0 является горизонтальной асимптотой при и при.

Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 9). Будем называть их наклонными асимптотами.

Прямая называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде

, (7.1)

где , при.

Определим числа k и b.

Поделим обе части равенства (7.1) на и перейдем к пределу при:

Откуда:

(7.2)

Определим коэффициент .

Равенство (7.1) перепишем в виде:

Перейдем к пределу , получим.

.

(7.3)

Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при кривая не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при .

Замечание. Отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости: они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k=0).

Пример 7.10. Найти асимптоты линии .

Решение.

Функция определена, непрерывна на бесконечном интервалепоэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы (7.1), (7.3) при и при:

= =,

так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что принаклонных асимптот нет.

= , так как,

отсюда . Далее,значит,b = 0.

Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции(рис. 10).