2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции

2.1. Правила дифференцирования

Правила дифференцированияпозволяют находить производные суммы (разности), произведения и частного двух функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Замечание. Свойство 2 выполняется для алгебраической суммы любого количества функций.

Пример 2.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: а) ; б)

Решение.

а) Используя таблицу производных, первое и второе свойства получим:

;

б) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:

.

Тогда, используя производную степенной функции, свойства 1 и 2 будем иметь:

Пример 2.2. Найти производную функции :

Решение.

Воспользовавшись свойством 3 получим:

Пример 2.3. Найти производную функции .

Решение.

Для решения примера используем свойство 4 производных.

2.2. Производная сложной функции

Рассмотрим дифференцирование сложной функции.

Пусть являетсясложной функцией, составленной из функции ,, гдеu – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции (её будем обозначать через) и производнуюдля функции.

Теорема 1. Если функция имеет производнуюв точкеx, а функция имеет производнуюв точке(), то сложная функцияв точкеx имеет производную , причем

= .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример 2.4. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 2.5. Найти производную функции

.

Решение.

.

3. Дифференциал функции

Пусть функция в точке x₀ имеет производную. По определению производной (п.1.1) , поэтому по свойствам предела можно записать, где– бесконечно малая при. Отсюда

. (3.1)

При второе слагаемое в равенстве (3.1) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с:, поэтому и – эквивалентные бесконечно малые (при(x₀)0).

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых, первое из которыхявляетсяглавной частью приращения , линейной относительно (при ).

Дифференциалом функции в точкеназывается главная часть приращения функции и обозначается:или. Следовательно,

. (3.2)

Пример 3.1. Найти дифференциал и приращение функции при: 1) произвольныхи; 2),.

Решение.

1),.

2) Если ,, то;

Запишем равенство (3.1) в виде:

(3.3)

Приращение отличается от дифференциалана бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством, еслидостаточно мало.

Учитывая, что , получаем приближенную формулу:

(3.4)

Пример 3.2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим: функцию , при,. Тогда.

,

.

Используя формулу (3.4), получим:

Значит

4. Дифференцирование обратной функции, функций заданных неявно, параметрически. Логарифмическое дифференцирование

4.1. Дифференцирование обратной функции

Введем правило для нахождения производной обратной функции.

Теорема. Пусть функция определена на промежуткеХ, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на Х. Если ее производная в точкене равна нулю, тообратная функция имеет производнуюв точке, причем

(4.1)

Доказательство. Функция определена, непрерывна и монотонна на промежуткеХ, тогда она имеет обратную функцию , определенную, непрерывную и монотонную на промежуткеY.

Если значение аргумента получает приращение, отличное от нуля, то в силу монотонности функциифункцияполучает приращениеи. В силу непрерывности функции:.

Следовательно,

Итак,

Теорема доказана.

Пример 4.1. Если ,, то функции,являются взаимно обратными, причем. Если(при этом), то, поэтому.

По формуле (4.1) имеем: тогда

().