Министерство путей сообщения Российской Федерации

Дальневосточный государственный университет путей сообщения

Кафедра "Высшая математика"

М.А. Городилова

Г.В. Костина

ряды

Методические указания на выполнение

индивидуального задания

Хабаровск

2000

УДК 517.52 (075.8)

ББК В 161.3

Г 701

Рецензент:

Доцент кафедры «Высшая математика» ДВГУПС,

кандидат физико-математических наук

Э.Д. Кононенко

Г 701

Городилова М.А., Костина Г.В. Ряды. Методические указания на выполнение индивидуального задания. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2000. – 35 с.

В методических указаниях изложены общие теоретические положе­ния по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры из всех разделов этой темы. Даны варианты индивидуальных заданий.

Указания предназначены для студентов всех специальностей железнодорожного вуза.

Рис. – 1, список лит. – 3 назв.

УДК 517.52 (075.8)

ББК В 161.3

© Издательство Дальневосточного государственного

университета путей сообщения (ДВГУПС), 1999

Введение

Методические указания содержат общие теоретические положения по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры исследования числовых и степенных рядов, их применение к приближенным вычислениям и решению дифференциальных уравнений.

Указания содержат варианты индивидуальных заданий для студентов ДВГУПС дневной формы обучения.

1. Ряд и его сумма

Числовым рядом называется выражение вида:

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = , (1)

где a₁, a₂, a₃, ... a_n ... образуют бесконечную числовую последовательность; a_n – общий член ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S_n .

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n.

Если существует конечный предел S =, то ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда.

Ряд называется расходящимся, если не существует (в частности, если =).

Особое значение имеет задача об исследовании ряда на сходимость.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

= 0

Отсюда вытекает, что если 0, то ряд расходится. Если же = 0, то о сходимости ряда еще ничего сказать нельзя.

Пример 1. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о сходимости ряда?

а)

= ==0

значит данный ряд расходится.

б)

= == 0

т.е. о сходимости данного ряда еще ничего сказать нельзя.

2. Сходимость рядов с положительными членами

Если необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда (1), следующие достаточные признаки позволяют судить об этом.

Первый признак сравнения

Пусть даны ряды ис положительными членами, причем, начиная с некоторого номера n. Тогда из сходимости рядаследует сходимость ряда; из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с некоторыми стандартными рядами:

а) ,(геометрическая прогрессия, сходящаяся прии расходящаяся при).

б) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся прии расходящийся при).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравнивая общий член данного ряда с общим членом расходящегося гармонического ряда , убеждаемся чтопри всех n. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Второй признак сравнения. Если сходимость ряда известна и существует конечный и отличный от нуля предел, то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же=0, то из сходимости рядаследует сходимость ряда.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Сравним данный ряд со сходящимся рядом:

:==,

т.е. ряд тоже сходится.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при< 1 ряд сходится, а при> 1 – расходится. При= 1 ряд может сходиться или расходиться.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

а)

; следовательно, ряд сходится.

б)

= = 3>1; значит ряд расходится.

Признак Коши (радикальный).

Если существует предел =, то при< 1 рядсходится, а при> 1 – расходится. При=1 ряд может сходиться или расходиться.

Замечание. Если применение одного из признаков (Даламбера или Коши) не дает ответа о сходимости ряда, то применение другого признака тоже бесполезно.

Пример 5. Исследовать на сходимость с помощью признака Коши

а)

= == 4>1, ряд расходится;

б)

= ==_<1.

Значит ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть общий член ряда (1) a_n = f (n). Если непрерывная положительная функция f(x), принимающая в точках x=n (n= 1,2,3, ...) значения f (n), монотонно убывает на промежутке 1, то ряд (1) сходится, если сходится несобственный интеграл.

Пример 6. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряды.

а)

Так как f (n)=, то f (x) =. Данная функция непрерывна на промежутке 1и монотонно убывает на нем. Вычислим===

Интеграл расходится, следовательно ряд тоже расходится.

б) , f (x) =

==ln= = ln 3

Несобственный интеграл сходится, значит рядтоже сходится.