Комплексные амплитуды тока и напряжения
Для упрощения расчета схемы при воздействии на нее гармонического сигнала, ток и напряжение на участках цепи можно представить в экспоненциальной форме, пользуясь понятиями комплексных амплитуд, отражающих не только непосредственно амплитуду гармонического сигнала, но и его начальную фазу.
|
i t |
Iei t |
|
|
|
|
ei t |
|
|
u t U |
|||||||
|
|
Iei i |
|
|
Uei u |
|||
I |
U |
|||||||
Комплексные |
|
Начальные |
амплитуды |
Амплитуд |
фазы |
|
ы |
|
|
Формула Эйлера: |
|
ei cos i sin
Понятие импеданса
Двухполюсник – элемент, или участок цепи, имеющий две точки подключения. Примеры простейших двухполюсников – резистор, конденсатор, индуктивность.
Импедансом называется комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала. Обычно импеданс обозначается буквой Z, и состоит из вещественной (активного сопротивления) и мнимой (реактивного сопротивления) составляющих R и X, соответственно:
ZR iX
Вэкспоненциальном представлении Z определяется модулем и аргументом:
|
|
|
Z |
|
Z |
|
ei arg Z |
X |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
R2 |
X 2 |
|
|
|
arg Z arctg |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Импедансом |
называется отношение комплексной амплитуды |
|||||
напряжения |
гармонического |
сигнала, |
прикладываемого |
к |
|||
двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через |
|||||||
двухполюсник. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Напряжение u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток i(t) |
|
|
|
i(t) |
Участок |
|
U |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
I |
|
|
||
|
и(t) |
электрической |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
цепи |
|
|
|
|
||
|
|
(двухполюсник) |
|
|
|
|
|
Uei U |
U |
e |
i |
U |
|
|
U |
e |
i |
||
Z |
|
I |
|
i |
|
|
I |
|
|||
Iei i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ R,
ИНДУКТИВНОСТЬ L
И ЕМКОСТЬ C В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Физические процессы в цепях переменного тока делятся на:
преобразование |
образование |
образование |
|
электрического |
|||
электромагнитной |
магнитного поля |
||
поля вблизи |
|||
энергии в |
вокруг |
||
заряженных |
|||
тепловую |
проводников с |
||
проводников. |
|||
|
током; |
||
|
|
Активное сопротивление в цепях
переменногоАктивным с пр тивлениемтока называется параметр электрической цепи, характеризующий электромагнитную энергию WТ , которая
необратимо преобразуется в тепловую или механическую энергии. Величина сопротивления определяется как
На схеме активное сопротивление обозна- чается так же, как и сопротивление постоянному току (рис. 3.1).
В цепях постоянного тока R называют омическим сопротивлением. Оно определяется структурой кристаллической решётки проводника и состоянием свободных электронов. Наличие вблизи его каких либо проводящих тел и ферромагнитных
сердечников на омическое сопротивление не Иначе обстоит дело в цепях переменного тока: при невысоких
влияет.
частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления постоянному току. Но с повышением частоты всё сильнее и сильнее сказывается «поверхностный эффект», заключающийся в вытеснении переменного тока из серединных областей проводника к его поверхности. Это приводит к уменьшению сечения, занимаемого током, увеличению сопротивления и
Мгновенные значения напряжения и тока в активном сопротивлении связаны
где |
активная проводимость |
При |
изменении |
тока |
по |
синусоидальному |
|
|
|
напряжение |
тоже |
изменяется |
|
синусоидально и имеет с током
одинаковые начальные фазы: |
(3.1) |
Отсюда
(3.2)
(а)
(б)
Рис. 3.2.
Разделив уравнения (3.2) на , получим действующие значения величин:
На рис. 3.2 показаны волновая (а) и векторная (б) диаграммы, построенные по формулам (3.1) и (3.2).
Таким образом, в активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, их начальные фазы одинаковы, сдвиг фаз равен нулю. Векторы на векторной диаграмме
направлены в одну сторону.
Индуктивность в цепях переменного тока
Явление возникновения ЭДС в контуре при пересечении его магнитным полем называется электромагнитной индукцией.
При всяком изменении тока в проводнике электрической цепи, в том числе при включении и выключении цепи, магнитное поле, окружающее проводник, будет изменяться.
При пересечении проводника своим же
собственным магнитным полем в нём возникает ЭДС, называемая ЭДС самоиндукции. Она
имеет реактивный характер.
При увеличении тока в цепи ЭДС самоиндукции будет направлена против ЭДС источника напря-жения, поэтому ток в цепи не может установиться сразу
При уменьшении тока в цепи ЭДС самоиндукции имеет такое направление, что, мешая току исчезать, она поддерживает этот убывающий ток
На рис. 3.3 показано обозначение индуктивности на электрической схеме.
Магнитное поле в витке катушки создаётся током i и характеризуется магнитным потоком ФL, который называют
|
потоком самоиндукции. |
|
Рис. 5.3 |
Индуктируемая в катушке ЭДС eL |
|
называется ЭДС самоиндукции. Она |
||
|
определяется по |
(3.3) |
|
|
|
где Ψ – потокосцепление самоиндукции, Вб (вебер = вольт·секунда) – сумма магнитных потоков, проходящих через каждый из витков катушки:
В свою очередь величина Ψ пропорциональна протекающему по
катушке току: |
(3.4) |
|
где L – коэффициент пропорциональности между Ψ и i.
Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью катушки. Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Её размерность определяется как 
(3.3) |
(3.4) |
Подставляя выражение (3.4) в (3.3) и полагая L = const, получим формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:
(3.5)
Знак минус в правой части формулы (3.5) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуктивной ЭДС: «ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей её появление (т.е. току i )».
Закон Ленца: ЭДС, наводимая в контуре изменяющимся магнитным потоком, всегда стремится вызвать ток, направленный так, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока.
Таким образом, причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, а при уменьшении тока – в одну с ним сторону. Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции eL, таким образом,
оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается XL. Формула, определяющая индуктивное
сопротивление, Ом, имеет
В цепях постоянного тока понятия индуктивного сопротивления нет, так как при постоянных магнитных полях эдс самоиндукции не
возникает.
Напряжение на зажимах катушки при протекании по ней
синусоидального тока i = Im sin(ω |
равно: |
отсюда |
|
где 
После деления ULm и Im на 
аналогичное
выражение получается для действующих значений UL:
(б)
Рис. 3.4
где BL – индуктивная проводимость
Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности.
Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90°. Таким образом, в индуктивности ток отстаёт от напряжения на 90°. На рис. 3.4 представлены векторные диаграммы токов и напряжений в индуктивности.