Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Управление розничнойценой продаж

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

354 Кб

Скачать

☆

УДК 519.2

Е.Е. Змеева, А.Ф. Терпугов

УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ

Рассматривается управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара, обеспечивающее его распродажу в течение торговой сессии.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Пусть партия товара, которую планируется продать, имеет объем Q0. Считается, что величина покупки ξ отдельным покупателем есть случайная величина с математическим ожиданием M{ξ} = a1 и вторым

начальным моментом M{ξ2} = a2 . Сам поток покупок

считается пуассоновским потоком с интенсивностью λ(c) , зависящей от розничной цены с. Сам товар

должен быть реализован в течение одной торговой сессии продолжительностью Т, иначе он теряет потребительские свойства и не подлежит продаже.

Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени T, то есть она занимает интервал времени [0,T ] . Обозна-

чим через Q(t) количество товара в момент времени t. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано.

Рассмотрим следующую процедуру управления ценой с(t) товара

a1λ(c(t)) = TQ(−t)t + k Q (t) .

Она получается из следующих естественных соображений: дробь Q(t)(T −t) есть та средняя скорость, с

которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, a1λ(c(t))

есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени t. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.

Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Ранее было показано, что процесс Q(t) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]:

dQ(t) = −a1λ(c)dt + a2λ(c)dw(t) .

В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид

Q(t)		a2	Q(t)
dQ(t) =−	+kQ(t) dt +			+kQ(t) dw(t). (1)

T −t		a1 T −t

Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОЦЕССА Q(t)

Обозначим M{Q(t)} = Q(t) . Усредняя уравнение

(1) с учетом того, что приращения винеровского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение

для Q(t) :

dQ (t) = −TQ (−tt) − kQ (t) dt ,

которое надо решить при

начальном

условии

(0) = Q0 . Решая его стандартным методом разделе-

ния переменных, получим

(t) = e−kt (T −t)c .

(2)

(0) = Q0 , получаем

Учитывая начальные условия Q

(t) = e−ktQ

T −t

В частности, Q(T ) = 0 .

ДИСПЕРСИЯ ПРОЦЕССА Q(t)

Пусть процесс Q(t) описывается уравнением dQ(t) = a(Q,t)dt +b(Q,t)dw(t) ,

и нас интересует процесс y(t) = f (Q,t) . Тогда, как

известно, этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнению

∂f				∂f			b2 (Q,t) ∂2 f
df (Q,t) =		+ a(Q,t)				+			2	dt +
	∂t		∂Q
								2 ∂Q
		+b(Q,t)	∂f		dw(t).
			∂Q

Эта формула носит название формулы Ито [2]. Возьмем f (Q,t) = Q2 . Тогда

∂f

= 0

∂f

= 2Q ,

∂2 f

= 2 ,

∂t

∂Q

∂Q2

и формула Ито дает

d(Q

(t)) =

−2Q

(t) +

Q(t) k

dt +

T −t

+2Q(t)

Q(t) k +

dw(t).

(3)

T −t

Обозначим M{Q2 (t)} = Q (t) . Тогда, усредняя (3),

получим

dQ2 (t) = −2Q2 (t) k +

Q(t)

k +

dt ,

T −t

или, с учетом (2),

dQ2 (t)

a2 T −t

−kt

T −t

= −2Q2 (t)

k +

, (4)

T −t

которое

надо

решить

при

начальном

условии

Q2 (0) = Q02 .

Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Однородное уравнение

dQ2	(t)			1
		= −2Q2	(t) k +
dt
				T −t

имеет общее решение Q2 (t) = e−2kt (T −t)2 c . Частное

163

решение неоднородного уравнения будем искать в виде Q2 (t) = e−2kt (T −t)2 c (t) . Подстановка этого выражения в (4) приводит к уравнению

′

ekt

kekt

(t) =

(T −t)2

(T −t)

решение которого имеет вид

c (t) =

ekt

+ c .

T T −t

Таким образом, общее решение уравнения (4) име-

ет вид

T −t

Q (t)

e−ktQ

+ e−kt (T −t)2 c ,

и учет начального условия

Q (0) = Q2

дает

−kt

T −t

−2kt

T −t 2

Q2 (t) =

+ e

−

Q0 . (5)

Отсюда

2 (t) =

D{Q(t)} = D (t) = Q (t) −Q

−kt

Q0e

−

− 1−

(6)

В частности,

DQ (0) = DQ (T ) = 0 .

Вместе с результа-

(T ) = 0

это говорит о том, что с вероятностью 1

том Q

Q(T ) = 0 , то есть с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан.

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА Q(t)

Таким образом, процесс Q(t) начинается в Q0 и

заканчивается в 0.

Рассмотрим

f (Q,t) = e− pQ . Тогда

∂f

= 0 ,

∂f

= −pe− pQ ,

∂2 f

= p2e− pQ ,

∂t

∂Q

∂Q2

и поэтому

− pQ

d (e

) = Q k +

p +

dt −

2a1

T −t

	− pQ a2			1
−pe			Q k +		dw(t).	(7)
		a1
				T −t

Рассмотрим Φ( p,t) = M{e− pQ } , которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей

p(Q,t) значений процесса Q(t)

в момент времени t.

Тогда

∂Φ( p,t)

= −M{Qe− pQ } и, усредняя (7), получим

∂p

∂Φ

dt Φ( p,t) = − k +

p +

dt ,

2a1

∂p

T −t

или, в явном виде,

∂Φ

T −t

∂Φ

∂t

+ p 1

∂p

= 0 .

(8)

k (T −t) +1

В дальнейшем будем использовать обозначение

β = 2a1a2 .

Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик [3]. Уравнение для характеристик имеет вид

dt		dp		1		1
	=		=		−		dp . (9)
(T −t) (k (T −t) +1)		p (1+ p β)
			p			p +β

Интегрируя его, получим

kt −ln(T −t) = ln p − ln( p +β) − ln C ,

что и дает явный вид характеристик

C = e−kt	p(T −t)	.	(10)

	p +β

Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид

	−kt	p(T −t)
Φ( p,t) = ϕ e			,	(11)
		p +β

где ϕ( ) − произвольная функция.

Ее вид найдем из того условия, что в момент вре-

мени t = 0

Q(0) = Q0

вероятностью

Поэтому

p(Q,0) = δ(Q −Q0 ) , откуда следует, что

Φ( p,0) = e− pQ0 .

Это приводит к уравнению

= e

− pQ

0 .

(12)

p +β

Обозначим

= z . Тогда

p =

βz

и уравнение

p +β

T − z

(12) дает

βz

ϕ(z) = exp

−

(13)

− z

Отсюда и получаем явный вид функции Φ( p,t) :

p(T −t)

−kt

Φ( p,t) = ϕ

p +β

βp(T −t)e

−kt

= exp −

Q .

(14)

(

)

pte−kt

+βT + pT

1− e−kt

Таблицы

обратного

преобразования

Лапласа

[4. Ф-ла (23.65). С. 245] дают:

−1

e−bQ

exp

(15)

a( p +b)

Преобразуем выражение для

ψ =

p(T −t)

(

)

pte

−kt

+βT

+ pT 1− e

−kt

предварительно сделав замену γ = T(1– e–kt), получим

ψ=

T −t pte−kt

+βT + p γ −βT − p γ

te−kt

pte−kt +βT + p γ

T −t

−

βT + p γ

−kt

pte

−kt

+βT + p γ

−

pβ(T −t)e−kt

Q =

pte−kt +βT + p γ

= −

T −t

βQ0 +

βQ0 (T −t)(βT + p γ)

(te−kt + γ) p

te−kt + γ

164

и поэтому

	−	pβ(T −t)e−kt	Q0	=
exp
		pte−kt +βT + p γ

−T −t

βQ0

(T −t)(βT + p γ)

= e

exp

(16)

−kt

βT

+ γ ) p +

t (te

−kt

+ γ

Сравнивая с (15) и беря

βT

βQ (T −t)(βT + p γ)

b =

0 t (te−kt + γ )

te−kt + γ

получим окончательно

× δ(Q) +

×I1

p(Q,t) = e−(T −t)βQ0 t ×

	βT
e−te−kt +γQ βQ0 (T −t)( βT + p γ) e−kt				×
		t (te−kt + γ)Q
2	βQ Q0	(T −t)( βT + p γ) e−kt		(17)
2		t (te−kt + γ)	.	(17)
		t (te−kt + γ)

Отметим особую роль слагаемого e−(T −t)βQ0 t δ(Q) ,

содержащего δ-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда для продавца все закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где Q(t0 ) = 0 , у процесса Q(t) равны нулю и коэффици-

ент сноса, и коэффициент диффузии, и поэтому при t > t0 Q(t) = 0 .

Однако этот результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через τ величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, что

		T −t
P(τ ≤ t) = Fτ (t) = exp	−		βQ0	,	(18)
P(τ ≤ t) = Fτ (t) = exp	−	t	βQ0	,	(18)
		t

где Fτ (t) есть функция распределения величины τ.

Это позволяет вычислить, например, среднюю длительность продаж. Имеем

	T			1	− eβQ0	1	e−βQ0	x dx
M{τ} =	∫	1	− F (t) dt = T	1	− eβQ0	∫	e−βQ0	x dx	. (19)
	∫	(	τ )			∫
		(	τ )
	0					0

Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается.

Найдем асимптотику M{τ} при βQ0 >>1 , то есть при большой величине партии товара Q0 . Тогда величина B =1βQ0 <<1 . Делая в интеграле замену переменных xβQ0 = Bx = z , получим

1	1		B
eβQ0 ∫e−βQ0 x dx =		e1 B ∫e−1 z dz .

0	B		0

Найдем по правилу Лопиталя следующий предел:

				B
	1	B		∫e−1 z dz
lim	1	e1 B ∫e−1 z dz = lim		0				=
lim	2	e1 B ∫e−1 z dz = lim		2	e	−1	B	=
B→0 B		0	B→0	B	e

= lim

e−1 B

= lim

=1.

2Be−1 B + e−1 B

B→0

B→01

Отсюда следует, что при B =1 βQ0 <<1

eβQ0 ∫e−βQ0 x dx =

e1 B

∫e−1 z dz = B + o(B) ,

и поэтому

M{τ} = T 1−

+ o

(20)

βQ0

Аналогично можно найти и асимптотику дисперсии величины τ.

В качестве контроля правильности проделанных выкладок найдем математическое ожидание и дисперсию процесса Q(t) другим путем через функцию

Φ( p,t) . Имеем

Ψ( p,t) = ln Φ( p,t) = −

βp(T −t)Q = −βp(1− τ)Q

pt +βT

pτ+β

τ = t T .

По свойствам преобразования Лапласа получаем

∂Ψ

= −

β2

(1− τ)

∂p

( pτ+β)2

∂Ψ

M{Q(t)} = −

= Q0 (1− τ) = Q0 1

−

∂p

p=0

∂2Ψ

2β2

τ(1− τ)

∂p2

( pτ+β)3

∂2Ψ

a2 t

D{Q(t)} =

τ(1− τ)Q0 =

−

∂

a T

p=0

то есть имеем те же результаты, что были получены ранее непосредственным путем. Это является косвенным подтверждением правильности всех проделанных выкладок.

Рассмотрим теперь еще одну основную характеристику процесса продаж – выручку от продаваемой партии товара. Вообще она равна

T
S = a1 ∫c(t)λ(t)dt .	(21)
0

Однако теперь она становится случайной величиной и надо искать ее характеристики.

Цена на товар c(t) определяется уравнением


a λ(c(t)) =			Q(t)		+ k Q (t) .	(22)

1		T −t

Предположим, что нам удалось разрешить это
уравнение относительно c(t) :
	Q(t)
c(t) = Λ				+ kQ (t) .		(23)

	T −t

165

Тогда

Отсюда

Q(t)

(T −t)

−kt

S = ∫Λ

+ kQ (t)

+ kQ (t) dt .

(24)

M{Q | т.е.} =

T (1

− π0 (t))

(27)

T −t

Найдем математическое ожидание S = M{S} . Для

этого надо усреднить (24) по значениям процесса Q(t) . Однако здесь есть одна тонкость, которую надо

учитывать. Дело в том, что в выражении для p(Q,t)

есть δ-образная компонента, которая соответствует тому, что в момент времени t весь товар уже продан. Ясно, что в такой ситуации выручки от продажи нет. Поэтому в (24) надо усреднять только по оставшейся части:

−

T −t

βQ0

−

βT

βQ (T −t)(βT + p γ)e−kt

−kt

S = e

e te

+γ

t (te−kt + γ)Q

×I

βQQ (T −t)(βT + p γ)e−kt

t (te

−kt

+ γ)

Вычислить это выражение возможно лишь при конкретизации вида λ(c) .

Найдем асимптотику величины S при βQ0 >>1 ,

используя для этого метод линеаризации. Определим величину c0 уравнением

a λ(c ) =		Q0	.	(25)

1	0	T

Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью.

Будем считать, что отклонения			c(t) = c(t) − c0 це-
ны c(t) от стационарной цены c0			малы. Тогда имеем
a1λ(c(t)) =	Q	+ kQ = a1λ(c0 ) + a1λ′(c0 ) c(t) + K =
	T −t

= QT0 + a1λ′(c0 ) c(t) + K.

Отсюда приближенно

	1		Q		Q0
c(t) =		kQ +		−		.	(26)
			T −t
	a1λ′(c0 )				T

Для получения дальнейших формул найдем сначала некоторые вспомогательные величины. Как говорилось выше, вероятность того, что к моменту времени t весь товар будет продан, равна

			T −t
π0	(t) = exp	−		βQ0	.
π0	(t) = exp	−	t	βQ0	.
			t

Найдем	условное	математическое		ожидание
M{Q \| т.е.}	– величины Q(t) при условии, что товар
есть. Имеем			Q0
M{Q} = π0	(t) 0 + (1− π0	(t))M{Q \| т.е.} =		(T −t)e−kt .
			T

поэтому

Q0 (k

(T −t) +1)

−kt

M Q k +

−

т.е. =

−

{

T −t

}

T (1

−π

0 (t))

M { c(t)

т.е.} =

(k (T −t)

+1)e−kt −(1−π

(t))

T (1−π 0 (t))

(28)

a1λ′(c0 )T

Вернемся к вычислению математического ожида-

ния величины S = a1

∫c(t)λ(t)dt . Используя разложе-

ние в ряд Тейлора, получим

c(t)λ(c(t)) = c0λ(c0 ) + (λ(c0 ) + c0λ′(c0 )) c(t) + K ,

и принимая во внимание, что выручка идет лишь при наличии товара, будем иметь

M{S}= a1c0λ(c0 )∫(1−π0 (t))dt +(λ(c0 ) +

		T
+c	λ′(c ))	(k
0	0	∫
		0

= a1c0

0
(T −t)+1)e−kt −(1−π	0	(t))		Q0		dt + K =
(T −t)+1)e−kt −(1−π		(t))		′		dt + K =
				′
				λ (c0 )T
λ(c0 ) + (λ(c0 ) + c0λ′(c0 ))				Q0	×


			λ′(c0 )T

×∫(1− π0 (t))dt +(λ(c0 ) +

	0	T
		T
	Q0			−kt
+c0λ′(c0 ))		∫0	(k (T −t) +1)e		dt + K.
+c0λ′(c0 ))	λ′(c0 )T	∫0	(k (T −t) +1)e		dt + K.

Интеграл ∫(1− π0 (t))dt уже был вычислен ранее –

это M{τ} (20). Далее, Q0 T = a1λ(c0 ) . Подставляя все это в предыдущее выражение и упрощая, получим

		≈ a c	λ(c )T		1+		λ(c0 )	e−kt −1+	1	+
	S

1 0				0
						c0λ′(c0 )			βQ0 (kT +1)
			+	e−kt a λ(c ) k T 2
					1	0	(λ(c0 ) + c0λ′(c0 )).

2λ′(c0 )

Заметим, что λ′(c0 ) < 0 , и поэтому S < a1c0λ(c0 )T , то есть управление ценой, с целью продать весь товар до окончания торговой сессии, уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1βQ0 и поэтому невелико. Оно является своеоб-

разной «платой» за окончание продаж в срок.

ЛИТЕРАТУРА

1.Змеев О.А., Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66 – 75.

2.Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. 179 с.

3.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. М.: ИТТЛ, 1957. 812 с.

4.Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 465 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 18 мая 2005 г.

166

Соседние файлы в папке деньги_кредит_банки

#
13.04.20151 Мб43Деньги-Кредит-Банки - Опорный конспект лекций - Никитин-Юдина - 2004 - 120.pdf
#
13.04.20153 Мб91Деньги-Кредит-Банки - Учебник - Лаврушин - 2000 - 464.doc
#
13.04.2015504 Кб58Деньги-Финансы-Бюджет-Кредит-Страхование-Банки - Краткий конспект - 52.pdf
#
13.04.201522 Кб63Задачи управления при неполной информации.docx
#
13.04.2015354 Кб70Управление розничнойценой продаж.pdf
#
13.04.20151 Мб85Финансы - Денежное обращение - Кредит - УП - Литовских-Шевченко - 2003 - 135.pdf
#
13.04.20153 Мб131Финансы и кредит - Краткий курс лекций - Бокова_ - 2004 - 185.pdf
#
13.04.2015497 Кб72Финансы и кредит - Курс лекций - Смородина - 2006 - 63.pdf
#
13.04.20151 Мб42Финансы и кредит - УП - Левин - 2005 - 169.pdf