Разное / деньги_кредит_банки / Управление розничнойценой продаж
.pdfУДК 519.2
Е.Е. Змеева, А.Ф. Терпугов
УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ПРОДАЖИ
Рассматривается управление розничной ценой продажи скоропортящегося товара, обеспечивающее его распродажу в течение торговой сессии.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Пусть партия товара, которую планируется продать, имеет объем Q0. Считается, что величина покупки ξ отдельным покупателем есть случайная величина с математическим ожиданием M{ξ} = a1 и вторым
начальным моментом M{ξ2} = a2 . Сам поток покупок
считается пуассоновским потоком с интенсивностью λ(c) , зависящей от розничной цены с. Сам товар
должен быть реализован в течение одной торговой сессии продолжительностью Т, иначе он теряет потребительские свойства и не подлежит продаже.
Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени T, то есть она занимает интервал времени [0,T ] . Обозна-
чим через Q(t) количество товара в момент времени t. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано.
Рассмотрим следующую процедуру управления ценой с(t) товара
a1λ(c(t)) = TQ(−t)t + k Q (t) .
Она получается из следующих естественных соображений: дробь Q(t)(T −t) есть та средняя скорость, с
которой должен продаваться товар, чтобы он был весь продан к концу сессии. С другой стороны, a1λ(c(t))
есть та мгновенная скорость, с которой он продается в момент времени t. Мы требуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.
Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Ранее было показано, что процесс Q(t) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]:
dQ(t) = −a1λ(c)dt + a2λ(c)dw(t) .
В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид
Q(t) |
|
a2 |
Q(t) |
|
||||
dQ(t) =− |
|
|
+kQ(t) dt + |
|
|
|
|
+kQ(t) dw(t). (1) |
|
|
|
||||||
T −t |
|
a1 T −t |
|
Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОЦЕССА Q(t)
Обозначим M{Q(t)} = Q(t) . Усредняя уравнение
(1) с учетом того, что приращения винеровского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение
для Q(t) :
dQ (t) = −TQ (−tt) − kQ (t) dt ,
которое надо решить при |
начальном |
условии |
||||||||||
|
|
(0) = Q0 . Решая его стандартным методом разделе- |
||||||||||
Q |
||||||||||||
ния переменных, получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(t) = e−kt (T −t)c . |
(2) |
||||||
|
|
Q |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = Q0 , получаем |
||||
|
|
Учитывая начальные условия Q |
||||||||||
|
|
|
|
(t) = e−ktQ |
T −t |
. |
|
|||||
|
|
Q |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
t |
|
В частности, Q(T ) = 0 .
ДИСПЕРСИЯ ПРОЦЕССА Q(t)
Пусть процесс Q(t) описывается уравнением dQ(t) = a(Q,t)dt +b(Q,t)dw(t) ,
и нас интересует процесс y(t) = f (Q,t) . Тогда, как
известно, этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнению
∂f |
|
|
∂f |
|
|
b2 (Q,t) ∂2 f |
|
||||
df (Q,t) = |
|
+ a(Q,t) |
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
dt + |
∂t |
∂Q |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 ∂Q |
|
||||||
|
|
+b(Q,t) |
∂f |
|
dw(t). |
|
|||||
|
|
∂Q |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула носит название формулы Ито [2]. Возьмем f (Q,t) = Q2 . Тогда
|
|
|
|
∂f |
= 0 |
, |
|
∂f |
= 2Q , |
|
∂2 f |
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t |
∂Q |
|
∂Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и формула Ито дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d(Q |
|
|
(t)) = |
−2Q |
|
|
(t) + |
|
|
|
Q(t) k |
+ |
|
|
|
|
dt + |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+2Q(t) |
|
|
|
Q(t) k + |
|
|
|
|
|
|
dw(t). |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Обозначим M{Q2 (t)} = Q (t) . Тогда, усредняя (3), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dQ2 (t) = −2Q2 (t) k + |
|
|
|
dt |
+ |
|
a1 |
Q(t) |
k + |
|
|
dt , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
||||||||||
или, с учетом (2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dQ2 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a2 T −t |
|
|
−kt |
|
|
|
T −t |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= −2Q2 (t) |
k + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
Q0 |
|
|
|
, (4) |
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
T |
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
которое |
|
|
надо |
решить |
при |
|
|
|
начальном |
|
условии |
Q2 (0) = Q02 .
Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Однородное уравнение
dQ2 |
(t) |
|
|
1 |
||
|
|
|
= −2Q2 |
(t) k + |
|
|
dt |
|
|||||
|
|
T −t |
имеет общее решение Q2 (t) = e−2kt (T −t)2 c . Частное
163
решение неоднородного уравнения будем искать в виде Q2 (t) = e−2kt (T −t)2 c (t) . Подстановка этого выражения в (4) приводит к уравнению
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
a |
Q |
|
|
ekt |
|
|
|
|
a |
2 |
Q |
kekt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(t) = |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a1 |
T |
(T −t)2 |
a1 |
T |
(T −t) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение которого имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c (t) = |
a |
|
|
Q |
|
|
|
ekt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T −t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, общее решение уравнения (4) име- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Q (t) |
= |
e−ktQ |
|
|
+ e−kt (T −t)2 c , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и учет начального условия |
Q (0) = Q2 |
дает |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a2 |
|
|
−kt |
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
−2kt |
T −t 2 |
|
2 |
|
|
a2 |
|
|||||||||||||||||||||
Q2 (t) = |
|
|
|
e |
|
|
Q0 |
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 |
− |
|
Q0 . (5) |
|||||||||||||||||||
|
a1 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (t) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D{Q(t)} = D (t) = Q (t) −Q |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−kt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
Q0e |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1− |
|
|
|
|
e |
|
. |
|
(6) |
||||||||||||||||||
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В частности, |
|
DQ (0) = DQ (T ) = 0 . |
Вместе с результа- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(T ) = 0 |
|
это говорит о том, что с вероятностью 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
том Q |
|
Q(T ) = 0 , то есть с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА Q(t)
Таким образом, процесс Q(t) начинается в Q0 и
заканчивается в 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим |
f (Q,t) = e− pQ . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||
∂f |
= 0 , |
∂f |
|
= −pe− pQ , |
∂2 f |
= p2e− pQ , |
||||||||||
∂t |
∂Q |
∂Q2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− pQ |
|
|
|
1 |
|
|
a2 |
|
2 |
|
− pQ |
|
|||
d (e |
|
|
) = Q k + |
|
p + |
|
p |
|
e |
|
dt − |
|||||
|
|
|
2a1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
− pQ a2 |
|
1 |
|
||
−pe |
|
|
Q k + |
|
dw(t). |
(7) |
|
a1 |
|
||||
|
|
|
T −t |
|
Рассмотрим Φ( p,t) = M{e− pQ } , которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей
p(Q,t) значений процесса Q(t) |
|
в момент времени t. |
|||||||||||||||
Тогда |
∂Φ( p,t) |
= −M{Qe− pQ } и, усредняя (7), получим |
|||||||||||||||
|
∂p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a2 |
|
2 |
|
∂Φ |
|
|
||||
|
dt Φ( p,t) = − k + |
|
|
p + |
|
|
|
p |
|
|
|
dt , |
|
||||
|
|
2a1 |
|
∂p |
|
||||||||||||
|
|
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
или, в явном виде, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂Φ |
T −t |
|
|
a2 |
|
∂Φ |
|
|
|
|
||||||
|
∂t |
|
|
+ p 1 |
+ |
|
|
p |
∂p |
= 0 . |
(8) |
||||||
|
k (T −t) +1 |
2a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем будем использовать обозначение
β = 2a1a2 .
Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик [3]. Уравнение для характеристик имеет вид
dt |
|
dp |
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
− |
|
dp . (9) |
(T −t) (k (T −t) +1) |
p (1+ p β) |
|
|
|
||||||
|
p |
|
p +β |
Интегрируя его, получим
kt −ln(T −t) = ln p − ln( p +β) − ln C ,
что и дает явный вид характеристик
C = e−kt |
p(T −t) |
. |
(10) |
|
|||
|
p +β |
|
Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид
|
−kt |
p(T −t) |
|
|
|
Φ( p,t) = ϕ e |
|
|
|
, |
(11) |
|
p +β |
||||
|
|
|
|
|
где ϕ( ) − произвольная функция.
Ее вид найдем из того условия, что в момент вре-
мени t = 0 |
Q(0) = Q0 |
с |
|
|
вероятностью |
1. |
Поэтому |
||||||||||||||||||||||||
p(Q,0) = δ(Q −Q0 ) , откуда следует, что |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Φ( p,0) = e− pQ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Это приводит к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pT |
|
= e |
− pQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p +β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим |
|
pT |
|
|
= z . Тогда |
|
p = |
|
|
βz |
|
|
и уравнение |
||||||||||||||||||
p +β |
|
T − z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(12) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϕ(z) = exp |
− |
|
|
|
|
Q0 |
. |
|
|
|
|
|
(13) |
||||||||||||||||
|
T |
− z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда и получаем явный вид функции Φ( p,t) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(T −t) |
|
−kt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Φ( p,t) = ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
p +β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βp(T −t)e |
−kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q . |
(14) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
pte−kt |
+βT + pT |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− e−kt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таблицы |
|
обратного |
|
|
преобразования |
|
Лапласа |
||||||||||||||||||||||||
[4. Ф-ла (23.65). С. 245] дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
e−bQ |
I1 |
|
|
|
Q |
|
|
||||||||||||||||
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
(15) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a( p +b) |
|
|
|
|
|
|
|
aQ |
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||
Преобразуем выражение для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ψ = |
|
|
|
|
|
|
|
p(T −t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
|
pte |
−kt |
+βT |
+ pT 1− e |
−kt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предварительно сделав замену γ = T(1– e–kt), получим
ψ= |
T −t pte−kt |
|
+βT + p γ −βT − p γ |
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
te−kt |
|
|
|
pte−kt +βT + p γ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
T −t |
− |
|
|
βT + p γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
te |
−kt |
|
pte |
−kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+βT + p γ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
pβ(T −t)e−kt |
|
Q = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
pte−kt +βT + p γ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= − |
T −t |
βQ0 + |
|
|
|
βQ0 (T −t)(βT + p γ) |
, |
||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
T |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
(te−kt + γ) p |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
te−kt + γ |
|
164
и поэтому
|
− |
pβ(T −t)e−kt |
Q0 |
|
= |
||
exp |
|
|
|
||||
pte−kt +βT + p γ |
|||||||
|
|
|
|
|
−T −t |
βQ0 |
|
|
βQ0 |
(T −t)(βT + p γ) |
|
||||||||||
= e |
t |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(16) |
|
|
|
|
|
−kt |
|
|
βT |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ γ ) p + |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t (te |
|
te |
−kt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ γ |
|
|||||
Сравнивая с (15) и беря |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
βT |
|
|
1 |
|
βQ (T −t)(βT + p γ) |
|
|
|||||||
b = |
|
, |
|
|
|
= |
|
0 t (te−kt + γ ) |
|
|
, |
|
||||
te−kt + γ |
|
|
a |
|
|
|
|
получим окончательно
× δ(Q) +
×I1
p(Q,t) = e−(T −t)βQ0 t ×
|
βT |
|
|
|
e−te−kt +γQ βQ0 (T −t)( βT + p γ) e−kt |
× |
|||
|
|
t (te−kt + γ)Q |
|
|
2 |
βQ Q0 |
(T −t)( βT + p γ) e−kt |
(17) |
|
|
t (te−kt + γ) |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим особую роль слагаемого e−(T −t)βQ0 t δ(Q) ,
содержащего δ-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда для продавца все закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где Q(t0 ) = 0 , у процесса Q(t) равны нулю и коэффици-
ент сноса, и коэффициент диффузии, и поэтому при t > t0 Q(t) = 0 .
Однако этот результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через τ величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, что
|
|
T −t |
|
|
|
|
|
P(τ ≤ t) = Fτ (t) = exp |
− |
|
βQ0 |
|
, |
(18) |
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где Fτ (t) есть функция распределения величины τ.
Это позволяет вычислить, например, среднюю длительность продаж. Имеем
|
T |
|
|
1 |
− eβQ0 |
1 |
e−βQ0 |
x dx |
|
|
M{τ} = |
∫ |
1 |
− F (t) dt = T |
∫ |
. (19) |
|||||
|
( |
τ ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Входящий сюда интеграл через элементарные функции не выражается.
Найдем асимптотику M{τ} при βQ0 >>1 , то есть при большой величине партии товара Q0 . Тогда величина B =1βQ0 <<1 . Делая в интеграле замену переменных xβQ0 = Bx = z , получим
1 |
1 |
|
B |
|
eβQ0 ∫e−βQ0 x dx = |
e1 B ∫e−1 z dz . |
|||
|
||||
0 |
B |
0 |
||
|
|
Найдем по правилу Лопиталя следующий предел:
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
1 |
B |
|
∫e−1 z dz |
||||
lim |
e1 B ∫e−1 z dz = lim |
0 |
|
|
|
= |
||
2 |
2 |
e |
−1 |
B |
||||
B→0 B |
0 |
B→0 |
B |
|
|
|
= lim |
e−1 B |
|
|
= lim |
|
1 |
|
=1. |
|
||||||
2Be−1 B + e−1 B |
|
|
+ |
2B |
|
||||||||||
B→0 |
|
|
B→01 |
|
|
||||||||||
Отсюда следует, что при B =1 βQ0 <<1 |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
eβQ0 ∫e−βQ0 x dx = |
e1 B |
∫e−1 z dz = B + o(B) , |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
0 |
|
B |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
M{τ} = T 1− |
|
|
|
+ o |
|
|
|
. |
(20) |
||||||
βQ0 |
βQ0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно найти и асимптотику дисперсии величины τ.
В качестве контроля правильности проделанных выкладок найдем математическое ожидание и дисперсию процесса Q(t) другим путем через функцию
Φ( p,t) . Имеем
Ψ( p,t) = ln Φ( p,t) = − |
βp(T −t)Q = −βp(1− τ)Q |
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt +βT |
|
|
0 |
|
|
|
|
pτ+β |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = t T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По свойствам преобразования Лапласа получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∂Ψ |
= − |
β2 |
(1− τ) |
Q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∂p |
|
|
|
|
|
( pτ+β)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂Ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M{Q(t)} = − |
|
|
|
|
|
|
= Q0 (1− τ) = Q0 1 |
− |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂p |
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂2Ψ |
|
= |
|
2β2 |
τ(1− τ) |
Q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂p2 |
|
|
|
|
( pτ+β)3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂2Ψ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a2 t |
|
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D{Q(t)} = |
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
τ(1− τ)Q0 = |
|
|
|
|
1 |
− |
|
Q0 |
, |
|||||||
∂ |
|
|
|
|
β |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a T |
|
T |
|
|
|
||||||||
|
p |
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть имеем те же результаты, что были получены ранее непосредственным путем. Это является косвенным подтверждением правильности всех проделанных выкладок.
Рассмотрим теперь еще одну основную характеристику процесса продаж – выручку от продаваемой партии товара. Вообще она равна
T |
|
S = a1 ∫c(t)λ(t)dt . |
(21) |
0 |
|
Однако теперь она становится случайной величиной и надо искать ее характеристики.
Цена на товар c(t) определяется уравнением
a λ(c(t)) = |
Q(t) |
+ k Q (t) . |
(22) |
|||
|
||||||
1 |
|
T −t |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Предположим, что нам удалось разрешить это |
||||||
уравнение относительно c(t) : |
|
|||||
|
Q(t) |
|
|
|
||
c(t) = Λ |
|
|
+ kQ (t) . |
(23) |
||
|
||||||
|
T −t |
|
|
|
165
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
T |
Q(t) |
Q(t) |
|
|
|
Q0 |
(T −t) |
|
|
−kt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S = ∫Λ |
|
+ kQ (t) |
|
+ kQ (t) dt . |
(24) |
M{Q | т.е.} = |
T (1 |
− π0 (t)) |
e |
|
, |
(27) |
||
|
|
|
||||||||||||
0 |
T −t |
T −t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание S = M{S} . Для
этого надо усреднить (24) по значениям процесса Q(t) . Однако здесь есть одна тонкость, которую надо
учитывать. Дело в том, что в выражении для p(Q,t)
есть δ-образная компонента, которая соответствует тому, что в момент времени t весь товар уже продан. Ясно, что в такой ситуации выручки от продажи нет. Поэтому в (24) надо усреднять только по оставшейся части:
|
|
− |
T −t |
βQ0 |
|
− |
|
βT |
Q |
βQ (T −t)(βT + p γ)e−kt |
||||||
|
|
|
|
−kt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
S = e |
t |
|
|
|
e te |
|
+γ |
|
|
0 |
|
× |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (te−kt + γ)Q |
|
|
|
|
×I |
|
2 |
βQQ (T −t)(βT + p γ)e−kt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t (te |
−kt |
+ γ) |
. |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить это выражение возможно лишь при конкретизации вида λ(c) .
Найдем асимптотику величины S при βQ0 >>1 ,
используя для этого метод линеаризации. Определим величину c0 уравнением
a λ(c ) = |
Q0 |
. |
(25) |
|
|
||||
1 |
0 |
T |
|
|
|
|
|
Будем называть ее «стационарной ценой», так как она соответствует тому, что товар продается с постоянной скоростью.
Будем считать, что отклонения |
c(t) = c(t) − c0 це- |
|||
ны c(t) от стационарной цены c0 |
малы. Тогда имеем |
|||
a1λ(c(t)) = |
Q |
+ kQ = a1λ(c0 ) + a1λ′(c0 ) c(t) + K = |
||
T −t |
||||
|
|
|
= QT0 + a1λ′(c0 ) c(t) + K.
Отсюда приближенно
|
1 |
|
Q |
|
Q0 |
|
|
c(t) = |
|
kQ + |
|
− |
|
. |
(26) |
|
T −t |
|
|||||
|
a1λ′(c0 ) |
|
T |
|
Для получения дальнейших формул найдем сначала некоторые вспомогательные величины. Как говорилось выше, вероятность того, что к моменту времени t весь товар будет продан, равна
|
|
|
T −t |
|
|
|
π0 |
(t) = exp |
− |
|
βQ0 |
. |
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
Найдем |
условное |
математическое |
ожидание |
||
M{Q | т.е.} |
– величины Q(t) при условии, что товар |
||||
есть. Имеем |
|
Q0 |
|
||
M{Q} = π0 |
(t) 0 + (1− π0 |
(t))M{Q | т.е.} = |
(T −t)e−kt . |
||
T |
|||||
|
|
|
|
поэтому
|
|
1 |
|
Q0 |
|
|
|
Q0 (k |
(T −t) +1) |
|
−kt |
|
Q0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M Q k + |
|
|
− |
|
|
т.е. = |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
{ |
|
T −t |
|
|
T |
} |
|
|
T (1 |
−π |
0 (t)) |
|
|
|
|
T |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и |
|
|
|
|
M { c(t) |
|
т.е.} = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(k (T −t) |
+1)e−kt −(1−π |
0 |
(t)) |
Q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
T (1−π 0 (t)) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
|
(28) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
a1λ′(c0 )T |
|
|||||||||||||||
Вернемся к вычислению математического ожида- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ния величины S = a1 |
∫c(t)λ(t)dt . Используя разложе- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние в ряд Тейлора, получим
c(t)λ(c(t)) = c0λ(c0 ) + (λ(c0 ) + c0λ′(c0 )) c(t) + K ,
и принимая во внимание, что выручка идет лишь при наличии товара, будем иметь
T
M{S}= a1c0λ(c0 )∫(1−π0 (t))dt +(λ(c0 ) +
|
|
T |
+c |
λ′(c )) |
(k |
0 |
0 |
∫ |
|
|
0 |
= a1c0
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(T −t)+1)e−kt −(1−π |
0 |
(t)) |
Q0 |
|
|
dt + K = |
|
′ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
λ (c0 )T |
|
||
λ(c0 ) + (λ(c0 ) + c0λ′(c0 )) |
|
Q0 |
|
× |
|||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
λ′(c0 )T |
|
|
T
×∫(1− π0 (t))dt +(λ(c0 ) +
|
0 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 |
|
−kt |
|
|
+c0λ′(c0 )) |
|
∫0 |
(k (T −t) +1)e |
|
dt + K. |
λ′(c0 )T |
|
T
Интеграл ∫(1− π0 (t))dt уже был вычислен ранее –
0
это M{τ} (20). Далее, Q0 T = a1λ(c0 ) . Подставляя все это в предыдущее выражение и упрощая, получим
|
|
≈ a c |
λ(c )T |
1+ |
|
λ(c0 ) |
e−kt −1+ |
1 |
|
+ |
|
S |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
1 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
c0λ′(c0 ) |
βQ0 (kT +1) |
|
|||
|
|
|
+ |
e−kt a λ(c ) k T 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
0 |
(λ(c0 ) + c0λ′(c0 )). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2λ′(c0 )
Заметим, что λ′(c0 ) < 0 , и поэтому S < a1c0λ(c0 )T , то есть управление ценой, с целью продать весь товар до окончания торговой сессии, уменьшает среднее значение выручки по сравнению с продажей по стационарной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1βQ0 и поэтому невелико. Оно является своеоб-
разной «платой» за окончание продаж в срок.
ЛИТЕРАТУРА
1.Змеев О.А., Новицкая Е.В. Вероятностные характеристики длительности торговой сессии и оценка ее параметров // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 66 – 75.
2.Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. 179 с.
3.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. М.: ИТТЛ, 1957. 812 с.
4.Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 465 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 18 мая 2005 г.
166