Разное / фин_мат / A.Burenin._Future,_forward_and_options_market

Среднее значение случайной величины определяется по форму-

ле

если одно и то же значение случайной величины встречается в испытаниях несколько раз. В этом случае рi — удельный вес испытаний срезультатомхi вобщемчислеиспытаний.

Наиболее часто для расчета стандартного отклонения цены используют два приема. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущемузначению, тоесть

гдеPi — ценаактивавконцеi-гопериода.

Второй метод заключается в том, что в качестве переменной принимают логарифм отношения последующей цены к предыдущей, аименно

Расчеты, получаемые с использованием первого или второго приема, не сильно отличаются друг от друга. Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента через определенные равные промежутки времени. Второй прием заключает в себе непрерывное начисление процента. Приведем пример расчета стандартного отклонения с использованием натурального логарифма. Схема расчета представлена в таблице 34. Значения цены рассматриваются задесять недель.

171

Продолжениетабл. 34

среднее значение = 0,0198 : 10 = 0,00198

Данный результат показывает стандартное отклонение за неделю. Чтобы получить значение отклонения за год, необходимо умножить егонакореньквадратный из числанедель вгоду.

0,0180499× 52 = 0,13016 или 13,016%

Формулы Блэка-Сколеса

Блэк и Сколес вывели следующие формулы оценки премии опционов

Поскольку се = са, то данная формула позволяет определить премиюи американского опциона.

172

с— стандартноеотклонениеценыакции.

В формулах Блэка-Сколеса величина а берется в годовом исчислении. В аналитических материалах стандартное отклонение дается в процентах, в формулы она подставляется в десятичных значениях

r — ставка без риска; на практике в формулы подставляется существующая ставка без риска для инвестиций, которые осуществляются навремяТ;

Из таблицы значений функции N (di)(cм. приложение 2) находим:

N(d1) = 0,7271; N(d2) = 0,5921

Тогда се = 50 долл. × 0,7271 – 45 долл. е-0,1×0,5×0,5921 = 11,01 долл.

б) Определение премии опционов на акции, выплачивающие дивиденды

Как уже отмечалось выше, информация о дивидендах может быть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) как абсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос определения премии опционадляпервоговарианта.

Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывно начисляемый дивиденд. Соответственно ставка дивиденда представляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставка дивиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то для расчетных целей можно использовать ее среднюю величину в расчете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падение курса акции на величину дивиденда. Сравним динамику роста курсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В конце этого периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на

173

вторую — не выплачивается. Тогда мы можем сказать, что темп прироста курсовой стоимости первой акции ниже на величину q или что темп прироста курсовой стоимости второй акции будет вышенавеличинуq.

Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд, равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же, сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в начале периода стоит S e-qT . Поэтому можно сделать вывод о том, что европейский опцион для первой и второй акции должен иметь одинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы БлэкаСколеса для оценки премии европейских опционов. Данные формулы применимы и для опционов на акции, выплачивающие

дивиденд, с той только разницей, что место S займет величина

S e-qT

d1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего преобразования:

Этот результатвпервыеполучил Мертон.

Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере дивиденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимость дивиденда, а значение σ принимается как стандартное отклонение чистой цены акции. Полученные цифры подставляются в формулы Блэка-Сколеса.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

В моделях оценки премии опционов используется техника формирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дисконтирования применять ставку без риска, так как портфель, не несущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.

174

Глава XII. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ, ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ, ОБЛИГАЦИИ, ВАЛЮТУ

Внастоящей главе мы охарактеризуем опционы на индексы, фьючерсные контракты, облигации и валюту, остановимся на вопросе оценки премии опционов для каждого вида актива. Рассматриваяоблигации, определимпонятиевстроенногоопциона.

§35. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА

Внастоящее время на западном фондовом рынке заключаются опционные контракты на индексы, например, S & Р 100, PS & Р 500, индекс нефтяных компаний (включает 15 акций); Велью Лайн (включает 1700 акций) и другие. Поскольку обычно индекс насчитывает большое количество акций, то, как правило, исполнение

опциона подразумевает осуществление взаиморасчетов деньгами, а не поставку бумаг. При исполнении опциона колл положительная разница между значением индекса и ценой исполнения, а для опциона пут — между ценой исполнения и значением индекса — умножаются на некоторое число, которое установлено для данного индекса контракта. Например, в США — это 100. Вычисленная такимобразомсуммауплачивается покупателю опциона.

Пример. Цена исполнения опциона колл на индексный контракт равна 3254. По истечении срока контракта значение индекса составило 3284. Покупатель исполняет опцион и получает выигрыш

(3284-3254) × 100 = 3000 долл.

Опционы на индексы используются в качестве инструмента страхования широко диверсифицированного портфеля ценных бумаготрискападения их курсовойстоимости.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

При оценке премии опциона на индекс предполагается, что его можно представить как акцию с известной ставкой дивиденда. Поэтому премию опциона можно рассчитать по формулам Блэка-

176

Сколеса для акций, выплачивающих дивиденды. Поскольку индекс включает в себя много акций, дивиденд на которые может выплачиваться в разное время, то для расчетных целей учитывают толькодивиденды, выплачиваемыевпериод действия опциона.

Пример. Инвестор по купает европейский опцион колл на некоторый индекс А на три месяца с ценой исполнения 245. В момент заключения контракта индекс равен 250. Стандартное отклонение для индекса равно 20%. Ожидается, что дивиденды будут выплачиваться для ряда акций в первом месяце, других — во втором и на оставшиеся акции — в третьем. Для первого месяца ставка дивиденда равна 1%, второго — 2%, третьего — 1,5%. Ставка без риска— 10%. Определить стоимость опциона.

Вначаленайдемставкусреднегодивиденда. Онаравна:

1% + 2% + 1,5% ×12 = 18% 3

Послеэтогоможновоспользоваться формулой Блэка-Сколеса.

d1 = ln(250245)+ (0,1− 0,18 + (0,2)22) 0,25 = 0,0520 0,2 0,25

N(d1) = 0,5207

d2 = 0,5207 − 0,2 0,25 = −0,048 N(d2) = 0,4809

ce = 250e−0,18×0,25 × 0,5207 − 245−0,1×0,25 × 0,4809 = 15,3635 долл Один контракт стоит:

15,3635 × 100 =1536,35 долл.

Если инвестор располагает данными об абсолютном значении выплачиваемых дивидендов, то в этом случае начальные значения индекса, то есть величину S уменьшают на величину приведенной стоимости дивидендов.

§ 36. ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА

В настоящее время в качестве предмета опционного контракта используются фьючерсные контракты. Они предлагаются на большую часть существующих сейчас фьючерсных контрактов. Наиболее популярны опционы на фьючерсные контракты на

177

казначейские облигации США, зерно, сою-бобы, сырую нефть, живой скот, золото, евродоллары, некоторые валюты. Контракты преимущественно являются американскими.

При исполнении держатель опциона колл занимает длинную позицию по фьючерсному контракту, а также получает сумму денег, равную превышению фьючерсной цены над ценой исполнения. Продавец опциона занимает короткую позицию по этому контракту. При исполнении опциона пут владелец опциона занимает по фьючерсному контракту короткую позицию, а также получает в деньгах разницу превышения цены исполнения над фьючерсной ценой. Продавец опциона занимает по контракту длиннуюпозицию.

Пример. Инвестор купил американский опцион колл на фьючерсный контракт на поставку 100 тонн товара по цене исполнения 100 долл. Через некоторое время фьючерсная цена товара поднялась до 120 долл., и инвестор исполнил опцион. В результате по опционномуконтрактуон получил выигрышвразмере:

(120 долл. - 100 долл) × 100 = 2000 долл.

и открыл длиннуюпозициюпофьючерсномуконтракту.

Срок фьючерсных контрактов обычно истекает вскоре после окончания действия опционного контракта. В момент исполнения опциона, то есть заключения фьючерсного контракта, цена последнего равна нулю, и при желании, инвестор может закрыть его с помощью оффсетной сделки без всяких потерь. В этом случае схема выплат по операции будет аналогична выплатам по опционномуконтрактунаакции.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

Премии европейских опционов колл и пут рассчитываются с помощью формул, выведенных Блэком.

Для определения премии опциона фьючерсный контракт рассматривают как акцию, выплачивающую дивиденд, ставка которогоравнаставкебез рискал

Как отмечалось выше, премия европейского опциона на акцию, выплачивающую дивиденд, курс которой в начале периода Т составляет величину 5, равна премии аналогичного опциона на акцию, не выплачивающую дивидендов, цена которой в момент Т составляет Se-qТ .

Открытие позиции по фьючерсному контракту не требует никаких затрат, то есть они равны нулю. Поэтому в условиях отсутствия риска ожидаемый доход от такого контракта также будет равен нулю:

178

Oe−rT = 0

При отсутствии риска ожидаемая доходность от прироста курсовой стоимости акции, выплачивающей дивиденд, равна r - q. Поскольку ожидаемая доходность такой акции равна нулю, то это возможно только в случае, когда r = q. Таким образом, если рассматривать фьючерсный контракт как акцию, выплачивающую дивиденд, ожидаемая доходность которой должна равняться нулю, это возможно только, если в начале периода его стоимость равна Fe-rT, где F — текущая фьючерсная цена. Поэтому для европейских опционов на фьючерсные контракты формулы Блэка – Сколесаможнозаписать следующимобразом:

ce = Fe−rT N(d1)− Xe−rT N(d2 )= e−rT [FN (d1)− X (d2 )]

Как было показано выше, к моменту исполнения фьючерсного контракта фьючерсная цена равняется цене спот. Поэтому премии двух, опционов — опциона на фьючерсный контракт и просто опционный контракт на актив, лежащий в основе фьючерсного контракта, — будут одинаковыми, если фьючерсный и опционный контракт имеют однуи тужедатуистечения.

§ 37. ОПЦИОНЫ НА ОБЛИГАЦИИ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА. ОБЛИГАЦИИ С ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ

В западной практике заключаются опционные контракты на облигации, например, на казначейские облигации США. В то же время опционы на облигации менее популярны, чем опционы на фьючерсныеконтракты наоблигации.

Цена облигаций непосредственно зависит от уровня существующей на рынке процентной ставки. Поэтому опционные контракты заключаются в предположении уловить или застраховаться от изменения ставки процента.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

Премию европейских опционов колл и пут для купонных облигации можноопределить спомощью формулБлека-Сколеса

ce = BN (d1)− Xe−rT N (d2 ); d2 = ln(B X )+ (r + σ22)T

σ T

179

где— βтекущаяценаоблигации.

Если в течение действия опционного контракта по облигации выплачиваются купоны, то цену облигации В необходимо уменьшить на приведенную стоимость купонов. Стандартное отклонение цены облигации рассчитывается, исключая приведенную стоимость купонных платежей. Как известно, цена облигации может значительно отличаться от ее номинала, когда до погашения бумаги остается много времени. По мере приближения времени выкупа облигации цена ее приближается к нарицательной стоимости. В связи с этим меняется стандартное отклонение ее цены. Поэтому вышеприведенные формулы следует использовать в случаях, когда срок опционного контракта существенно меньше времени, остающегося допогашения облигации.

В качестве цены исполнения может быть принята а) полная цена облигации, то есть цена с учетом той части купонного платежа, которую покупатель должен уплатить продавцу, когда исполнение контракта приходится на какой-либо момент в течение купонного периода; или б) котировочная цена, то есть чистая цена облигации. Она не включает упомянутую часть купонного платежа. В этом случае к котировочной цене необходимо прибавить сумму купона, которая причитается продавцу, и полученный результат подставить вформулувкачествезначения X.

Европейские опционы на облигации с нулевым купоном также определяются по вышеприведенным формулам. Американский опцион колл на облигацию с нулевым купоном не выгодно исполнять раньше срока истечения контракта, поэтому его премия будет равнапремии европейского опциона.

ОБЛИГАЦИИ С ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ

Как известно, облигация является срочной ценной бумагой и гасится по истечении установленного срока. Условия выпуска облигаций могут содержать право эмитента или держателя бумаги погасить ее досрочно по установленной цене, начиная с некоторого момента времени. Например, облигация выпущена на 15 лет, через 10 лет эмитент имеет право погасить ее полностью или частичнопосвоемуусмотрению.

180