Разное / Выпускная Лицей

ОЦІНКА СУМИ МОНОТОННОГО РЯДУ

Розглянемо ряд , що складається з невід'ємних членів , причому , для будь-якого к.

Цей ряд можна оцінити за допомогою інтегралу, записавши оцінку в вигляді подвійної нерівності наступним чином

Доведення цієї нерівності обґрунтовується в доведенні інтегральної ознаки збіжності рядів.

Інтегральна ознака збіжності рядів

Якщо функція f спадає на проміжку і f(1)=х₁, f(2)=х₂, …, f(к)=х_к, …, то для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб збігався інтеграл

Доведення. Розглянемо ряд з невід'ємними убуваючими членами для будь-якого к (за умовою) та функцію Інтеграл збігається, якщо . Введемо означення Р(b)=, де функція f(x) невід'ємна. Якщо розглядати проміжок (b₁, b₂) такий, що b₂>b₁, то

якщо f(x)≥0. Тоді отримаємо, що P(b₂)≥P(b­₁), тобто функція Р зростає. За необхідною умовою інтегрування інтеграл збігається тоді, і тільки тоді, коли функція обмежена. Функція f(x) спадає на проміжку і для неї виконується нерівність:

f(k+1)≤f(x)≤f(k).

Так як f(k+1)=a_к+1, f(k)=a_k i k≤x≤k+1, то нерівність перепишеться у такому вигляді

a_k+1≤f(x)≤a_k.

Користуючись монотонністю інтеграла (за умовою), робимо оцінку інтеграла наступним чином:

для будь-якого k=

Тут (див. мал. 1):

-- це площа підграфіка на проміжку ;

– площа прямокутника надбудованого над підграфіком;

– площа прямокутника, побудованого нижче підграфіка.

Складаючи ці нерівності при k від 1 до п, отримаємо:

За означенням часткові сум

Використовуючи адитивність інтегралу, отримуємо

Ряд збігається, коли часткові суми обмежені. Отже, Р(п+1)= обмежена. Значить, існує границя Інтеграл збігається, значить, функція Р(п+1)= обмежена. Тепер застосовуємо нерівність (2) і отримуємо, що Часткова сума обмежена, і отже ряд з додатніх членів збігається.

Тобто ряд збігається тоді і тільки тоді, коли збігається інтеграл .

Доведення завершено.

При цьому переходячи в нерівності (2) до границі п, отримаємо оцінку (1).

Також, як видно на мал. 1, оцінка (1) може бути отримана з геометричних міркувань.

Дійсно, сума ряду дорівнює сумі площ прямокутників, які покривають підграфік функції f(х) на проміжку . В той же час сума ряду дорівнює сумі площ прямокутників, які лежать нижче підграфіка функції f(х) на проміжку . Враховуючи, що площа підграфіка функції f(х) на проміжку дорівнює , отримаємо нерівність (1).

УТОЧНЕННЯ ОЦІНОК ДЛЯ ОПУКЛИХ ФУНКЦІЙ

Опукла функція та її властивості

Означення. Функція f(х) називається опуклою, якщо множина точок площини, що лежать вище графіка функції f(х), є опуклою.

Означення. Функція f(х) називається опуклою вгору, якщо множина точок, що лежить нижче підграфіка функції f(х), є опуклою.

Очевидно, що:

(а) функція опукла тоді і тільки тоді, коли будь-яка дуга графіку, замкнена між точками a i b, лежить нижче хорди, що з'єднує точки (a, f(a)) та(b, f(b));

(b) функція опукла вгору тоді і тільки тоді, коли будь-яка дуга графіку, замкнута між точками a i b, лежить вище хорди, що з'єднує точки (a, f(a)) та(b, f(b)).

Означення. Диференційована на проміжку функція опукла, якщо її графік лежить не нижче будь-якої дотичної; опукла вгору, якщо її графік лежить не вище будь-якої дотичної.

Означення. Якщо функція двічі диференційована на проміжку (a, b), то, якщо друга похідна функції невід'ємна для будь-якого х з проміжку (a, b), графік функції опуклий донизу, якщо друга похідна функції від'ємна для будь-якого х з проміжку (a, b), то графік функції опуклий вгору.

У випадку опуклої функції оцінка (1) може бути посилена:

Геометричне доведення

Розглянемо мал. 2.

Якщо провести дотичну до графіка функції у середній точці, то площа підграфіка знизу оцінюється через площу трапеції.

Можна побачити, що ця оцінка схожа з формулами приблизного чисельного інтегрування, а саме з методом трапецій і прямокутників.

З мал. 2 видно, що

Дійсно площа трапеції, що знаходиться під графіком функції f(х) (див. мал. 2) дорівнює добутку середньої лінії трапеції на її висоту, тобто а(п)×1, а повна площа підграфіка дорівнює .

Додаючи нерівність (4) за к, отримаємо

Це є лівою оцінкою нашого ряду.

Розглянемо тепер мал. 3.

На ньому трапеція містить підграфік функції. Тому площа трапеції (рівна ) перевищує площу підграфіка, тобто

Додаючи нерівність (5) для усіх к, отримуємо

Переносячи доданок в ліву частину, отримуємо

Тобто оцінку нашого ряду зліва.

Аналітичне доведення

Доведемо нерівності (4) і (5) використовуючи властивість (а) опуклих функцій.

Аналітично властивість (а) можна записати наступним чином:

де 0<t<1.

При a=n-x, b=n+x, x=1/2 нерівність (6) отрумує такий вигляд

Проінтегрувавши нерівність (7) за х від 0 до ½ отрумаємо нерівність (4).

При a=n, b=n+1, t=x нерівність (6) приймає вигляд

Проінтегрувавши нерівність (8) для х від 0 до 1 отримаємо нерівність (5).

Зауваження

Зауваження 1. Для скінченної суми нерівність (3) приймає вигляд:

Зауваження 2. Якщо функція випукла вгору, то нерівність (9) змінює знак на протилежний, тобто приймає вигляд:

Аналізуючи нерівності (1) і (3), можна сказати, що друга оцінка нашого ряду як правило точніша, а саме оцінка суми ряду знизу. В той же час оцінка (3) суми ряду зверху може виявитися гірше, ніж оцінка (1) суми ряду зверху. Це відбувається тоді, коли f(х) швидко спадає на проміжку (1/2, 1) (див. мал. 4). Як правило в цьому випадку оцінку (3) можна зробити точніше оцінки (1) якщо розглянути суму ряду як суму першого доданка і залишку ряду:

Приклади застосування отриманих оцінок

Приклад 1.

Оцінимо ряд

Ряд є збіжним, оскільки за інтегральною ознакою збігається. Функція f(x)= Застосуємо формулу (1) для оцінки ряду

Отримуємо оцінку 1≤≤2.

Застосовуючи другу формулу для оцінки ряду , можна переконатися, що друга оцінка більш точна.

Отримуємо оцінку і бачимо, що вона більш точна, ніж оцінка за допомогою формули (1).

Приклад 2.

Нехай дано спадаючу геометричну прогресію де к=1, 2, 3… Ряд є збіжним, оскільки за інтегральною ознакою .

Тоді оцінимо цей ряд за допомогою формули (1).

Це оцінка нашого ряду за допомогою формули (1).

Оціними ряд за формулою (3).