Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UnivAlgKKZadachi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

291 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22


Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]		Ÿ 4. Óð í íèÿ	11
èíñò ííî ð ø íè ?	265. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè
arcsin2 x + (3a − 3) arcsin x + (a − 2)(5 − 4a) = 0 èì ò ð ø íèÿ?			266. Ïðè ê êèõ

í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè arccos2 x−(7a−7) arccos x+2a(5a−7) = 0 èì ò ð -

ø íèÿ?

267. При к ких н тур льных n ìíî î÷ë í P (x) = (12 −7x2)n −(5x −14)2n

лится ост тк н x − 2?

268. При к ких н тур льных n ìíî î÷ë í

P (x) = (1 − 2x2)n + (3x − 8)2n лится ост тк н x − 5?

269. Ïðè ê êèõ

2x + y = a,

í ÷ íèÿõ ï ð ì òð b ñèñò ì ax + y = b

èì ò ð ø íèÿ ïðè ëþ îì í ÷ íèè

4x + ay = ab,

ï ð ì òð a?

270. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð b ñèñò ì x + y = a

èì -

ò ð ø íèÿ ïðè ëþ îì í ÷ íèè ï ð ì òð a?

271. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð

+ 5 = 0,

a ñèñò ì (x+ 3a|)|2

+ y2 = 4

èì ò òðè ð ø íèÿ ?

272. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

−

4 = 0,

ï ð ì òð a ñèñò ì (|y|

+a)2−+ x2 = 9

èì ò î íî ð ø íèÿ ?

273. Îïð -

−

y = a + √

лит колич ст о р ш ний сист мы 2x + y

−

1 = 0

исимости от н ч ний

3x + y − 2

= 0,

ï ð ì òð a

274. Опр лит колич ст о р ш ний сист мы

y = a + √x

исимости от н ч ний п р м тр a

275. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì ò-

ð a ñèñò ì

(a − 1)x − 2ay = 2 − 4a,

èì ò ñêîí ÷íî ìíî ñò î ð ø íèé?

ax + (a + 2)y = 3

(a + 3)x + 4y = 3a

276. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a ñèñò ì ax + (a

−

1)y = 2

−

í èì ò

ð ø íèé?

Ð øèò ñèñò ìó óð í íèé

√3 x

= 2,

√3

= 2,

√4

= 2,

x + y

−

277

− √

278

√

279

x − y = 56

x + y = 26

√

− √

= 8

y = 6,

x + y

x − y

√4 x + y + √4 x

x + 25y + 10

xy = 100,

√

280.

√x + y

√x

− y = 12

281. √x

√y = 4

−

16x + y + 8√

9x2 + 2y +

= 1,

= 81,

9x2 + 2y + 1

282.

283.

√x

√y = 1

6x + 2y =

3x2

−

x+y

x+y−

2y + 3 3x2

−

2y + 3 = 15,

+ 2

= 6,

(2x

y) = 3

284.

−2x = 5

285. log3(x

−

2y) + log3

−

2x−y

3 (2/3)2x−y + 7

(2/3)

= 6,

2 logy x + 2 logx y = 5,

286.

lg(3· x

y) + lg(x·

+ y) = 4 lg 2

287.

xy = 8

−

288.

291.

293.

296.

299.

302.

3 logy x + 3 logx y = 10,

289

5x − 6y = 589,

290

3x − 2y = 77,

xy = 16

. 5x/2 + 6y/2 = 31

3x/2

−

2y/2 = 7

(x/y)+(y/x)

= 32,

√

3((x/y)+(y/x))

(

= 243,

log3(x

−

y) + log3(x + y) = 1

292. log2(x + y) + log2(y

−

x) = 3

2y = 576,

2x 5y = 5120,

log

y + 4 log

x = 4,

log·2

−

x) = 2

294. log·3(x

−

y) = 2

295. y

3x = 4

−

logy x + logx y = 2,

32x−y = 81,

2x+3y = 32,

lg 50

x2 + y = 12

297. lg xy = 1 + lg 3

298. lg xy = 2

−

16x

7y = −3,

25x − 3y = 4,

300

4/5

301

xy(x − 1)(y − 1) = 72,

16−x−

7−y

= 3/28

25−x

−

3−y

−

(x + 1)(y + 1) = 20

−

xy(x + 1)(y + 1) = 72,

2x2

3xy + 2y2 = 14,

(x − 2)(y − 2) = −5

303. x2 +−xy − y2 = 5

− 2xy − y

x2 + 2y = 7,

x2 − 10y =

49,

304.

= 2,

305. y2 + 4z =

−

306. y2 + 6z = 7,−

xy + y2 = 4

+ 6x = 14

2x = 7

= 3

−

(1/x) + (1/y) + (1/z) = 3,

307.

308.

(1/x) + (1/y) + (1/z) = 3/2,

x y

z = 6,

xyz = 1

xyz = 8

x y +

x−y

x + y

−

309

x+y

310

2−

−

x + y = 34

x+y

x + y = 41

√3

+ √3

= 4,

√3

+ √3

= 3,

311

x + y + 4

y + 7

312

x + 2y

y + 2

x + 2y = 5

314. log2 x

. 2x + y = 7

−

313.

log3 x + log3 y = 3

log2 y = 2

log3 y

+ y

log3 x

= 18,

log2 y

+ y

log2 x

= 16,

√2y 3x =

√4 4x + y

−

√3x 2y =

√5 + x 3y

315

−

35−y

+ 27 = 0,

316

+ 2x

= 12,

−

√

−

cos x cos y =

√3/4

. cos x sin y = 0,5

tg x tg y = 1/3

317

sin x sin y =

3/4,

318

sin x cos y = −0,5,

319

sin x sin y = 1/4,

tg x tg y = 1

sin y cos x = 1

320.

321. sin x sin y = 1

322.

cos x cos y =

√

cos x cos y = a2,

sin x cos y =

√

−

Îò òû è óê íèÿ

16. −1 17. 6

1. x > −3/2 2. x 6 7/4 3. −4 4. −31

9. 2 10. 1

13. 7 14. 5

19. t =

√3

+ 2

21. 2 22. 13

23. 1,5 24. 1747

25. î ñòè î ÷ ñòè ê ð ò

27. ? 28. ? 29. −2; 5 30. −2; 6

37. −5; 0

38. 0; 4

39. 2

40. 3 41.

21 ; 1; 2

42. −2; 1; 4

43. −4; 2

44. −4; 6

45. 6

46. ±2

47. ±3

48. 4

49. 10 50. 2

51. 3

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 4. Óð í íèÿ

54.

55.

−6; 1

57.

−3; 1/3

58.

−3/2; 2

59.

2 ±

√

60.

3 ± 2

√

1,25; 3

[5; 10]

√

62.

√

63.

√

2 ± 5; 3 ± 10

−1 ± 2; −2 ± 5

(1 ± 5)/5; −1 ± 2

√

2; 3 ±

√

65.

−

1; 2; 3 66.

−5;

67.

68.

69.

−1

70.

−1

(−1 ± 5)

77.

−2; 1; 4

73. t = 4x > 0

t = 2x > 0

79. 1 80. 1 81. 0; 2 82. 0; 2 83. 2

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94. 9

95. 100 96. 0,1 97. 4

98. 3

99.

100.

102.

103. 0; 1

104. 0; 1

101.

105.

106.

107.

108.

1,5

109.

−

110.

−

111.

112. 3; 27

113.

; 4

114.

; 3

115.

; 5

116. 10 117. 10

118.

; 1000

119.

; 10 000

120.

; 2

625

128

121.

3−10; 3

122.

; 9

123.

; 8

124. [0; 2]

125. [0; 1]

126. 2

127. 2

128. 2

129. 0

41 ; 2

130.

−2

131. −1 132. ±2

133. ±2

134. ;1; 3

135. 1; 2

137.

138.

; 1

139

√

140.

142.

− arctg 3 + πn

k, n

143.

− arctg 3 + πn

;

2; 3

√2 ; 1,5

+ πk

−π4 + πk,

k, n Z

144. arctg 47 + πn;

−π4

+ πk,

k, n Z

145. − arctg 21

+ πn;

−

π4 + πk,

k, n

146. (

−

1)n

+ πn2 ;

π2 + πk,

k, n

147. (

−

1)n+1

πn2 ;

πk,

148.

cos 2α = 2 sin2 α

ctg α = 1

k, n

−

150.

ïðèì íèòü tg α

ïðèì íèòü

154. −π3 + πk, k

155.

152.

ïðèì íèòü cos2

α + sin2 α = 1

π6 + πk, k Z

156.

2π + 2πk,

157. (

−

1)n+1 π + πn,

158. (

−

1)n arcsin 1 + πn,

159.

± Z

160.

πn

−

k π

πk

161.

πn

πk

162.

4 ;

(

1) 24 + 4 ,

k, n

8 + 4 ;

12 + 2 ,

arccos

4 + 2πn, n

n, k

ïðèì íèòü

формулу р ности

косинусо

164. ñ ñòè óð í -

166.

+ πn; πk, n, k

тному

165

π + 2πn;

+ 2πk, n, k

íè ê ê ð

;

k, n

;

170. π

;

167

168.

±4

169.

π + 2πn

±3

+ 2πk

n, k

2 + 2πn

+ πk Zπn171.

πn

5π

πk

−

k+1 π

−

(

6 + πk, n, k

+ 2 ; 12

+ πk, n, k

172. πn

12 ; 24 +

2 ,

n, k

173

+ 2πn

174.

−2 + 2πk

175.

−4

πk,

176.

4 +

πk,

178.

177. πn, n

+ πn, n Z

179. arccos

+ (−1)

arcsin

+ πk,

k Z

√

180. arccos

√661

+ (−1)k arcsin

√561

+ πk, k Z

181. πn7 ; ±

2π

+ 2πk, n, k Z

182. π6 + πn3 ;

183. π

184.

185. π

;

2π

πk,

n, k

2 + 2πn

2πn

2 + πk

± 3

+ 2πn

k, n Z

n Z

187.

3π + 5πn

186

n π

+ πn; 2πk,

n, k

+ 2πk;

k, n

188.

+ πn;

(−1)

−12

189.

πn

k+1 π

πk

20190.2

πn

k π

πk

n, k Z

4 , n, k

2 ; ( 1)

7 ,

n, k

5 ;

( 1)

8 ,

πn π

πk

−Z

192.

πl π

πm

193.

−

191.

5 ;

2 ,

n, k

2 ;

l, m

+ 2πk;

, k Z

194

+ 2

πn,

197. 4πm, m

198.

8πl, l

199. arctg

+ πn

π + πk,

;

201.

203. π

;

2π

n, k

200.

2 +πk

n, k

±1

202.

0,5

;

2 +2πn

−4 +πk

204.− arctg 7 +πn

n, k

;

205.

± arctg

√

k, n

+ 2πn

+ 2πk

n,Zk

2 + πk

+ πn

−2

207.

206

πn;

√

πk,

n, k

π + 2πn; πk,

n, k

208.

−

+ 2πn;

π .

± arctg

5 +

k, n

3 Z

210.

+ πk, n, k

209. πk;

−

+ 2πn,

3π

+ πn;

−

+ 2πk,

n, k

;

5π

211.

−

212. 2

213.

−

214. 3

215.

−

;

216.

217.

218.

219.

−

a = 14,

b = −33

220. −4

221. 3 222.

223. a = 19, b = 33

224.

225.

226. 39

227. 5

228. −3

229. −81 < a < 0

230. 2 < a < 49

231. 0 ïðè a < 0,

2 ïðè a = 0, 4 ïðè 0 < a < 1, 3 ïðè a = 1, 2 ïðè a > 1

232. 0 ïðè a < 0, 2

ïðè

a = 0, 4 ïðè 0 < a < 1, 3 ïðè a = 1, 2 ïðè a > 1

233. 1,5; 3

234. 2,5; 5

235

(−∞; 0] {

√

236.

√

237.

(−∞; 1] {5}

238.

(0;

;

(−∞; 0] {

3 ) (

2 )

239. (−∞; 0] {1}

240. (−∞; 0) {1}

241. (−∞; 1] {7}

242. (−∞; 3] {7}

243. 1

ïðè a 6 −1, 2 ïðè −1 < a 6 7, 1 ïðè a > 7

244. 1 ïðè a 6 2, 2 ïðè 2 < a 6 11, 1 ïðè

245. (−∞; 37 ] {38 }

a > 11

246. {−3} [−2,5; +∞)

247. (−∞; 0] {π4 } √

[

π2 ; +∞)

248. (−∞; −π2

] {−π3 } [0; +∞)

249. 2 ïðè |a| > 1, 3 ïðè a = ±1 è a = ±

, 4 ïðè

a (−1; 1) \ {±

√

}

251. (−∞; −2) {−1} (2; +∞)

252. (−∞; 0) {1} (4; +∞)

253

. (−∞1 ; −1) [0; +∞)

254.

(−∞; −1) [0; +∞)

257.

4π

258. a

3π

259. [−√

; 0) {1} 260. (−√

; 0) {1} 261. (−∞; 6) {7} (8; +∞)

263. (−∞; 1)

{2} (3; +∞) 264. (−∞; 0] (2; +∞)

267. n ÷ òíî

268. n í ÷ òíî

269. 2

270. 16 273. 1 ïðè a 6 1, 0 ïðè a > 1

275. −1

276. −1 277. (−8; −64); (64; 8)

278.

(27; −1); (−1; 27)

279.

(41; 40)

280.

(136; 120)

281. (25; 1)

282.

(4; 1)

283. (1; −4,5); (−31 ; −21 )

284. (2; 3); (−149 ; 2717 )

285. (5; 1)

286. (2; 2)

287. (2; 4); (4; 2)

288. (2; 8); (8; 2)

289. (4; 2)

290. (4; 2)

291. (2; 1)

292. (1; 3)

293. (2; 6)

294. (10; 1)

295. (4; 16)

296. (3; 3)

297. (5; 6); (−3; −10)

298. (2; 1); (3;

32 )

299. ( 21 ; 1) 300. ( 21 ; 0)

301

. (3; 4); (4; 3)

;

(11+2

√

304.

(3; 1); (−3; −1)

;

31; 11−2

31); (11−2

31; 11+2

31)

√

305.

(−3; −1; −2)

306.

(1; 5; −3)

307.

(1; 1; 1)

308.

(2; 2; 2)

(

2; −2

2); (− 2; 2

309

(5;

3); (5; 3);

(

√

118

;

3√

); (

√

118

;

3√

)

311.

312.

13 ;

5 );

(2; 3)

−

;

−

(3; 1)

(

πn−3

313. (9; 3); (3; 9)

314. (8; 2); ( 2

8 )

315. (1; 3) 316. (

; 2)

318. (−

+ πk;

πn

−

πk), n, k

319. (

+ π(k + n);

±6

+ π(k

n)), n, k

321. Ïðè a = 0

( 2 + π(k + n); 2 + π(n − k)), n, k Z; ïðè a = 0 ð ø íèé í ò

Ÿ 4. Í ð íñò

Ð øèò í ð íñò î

1. |x−3| < 4 2. |x+2| 6 5 3. |3x+5|+5 6 0 4. |6x−7|+2 < 0 5. |x−1|+|x−3| 6 4

x+2

+ x 4

< 8 7. x2

4x+5 < 12x

8. x2

−

4x+7 < 8x

−

−3

x−1

| −

−3

−

| 3

x+2

11.

−3x

+3x−1)(x +2x−3)

6 0

12. (x

+4x+4)(x

+8x

+20x+16)

> 0

x+2

x−1

x2−x−20

x2−8x+15

√

14.

√

+ 4x − 12)

+ 4x −

15 − 2x − x

12 + x − x

√|6+x x2

√6+x x2

+6x−7

√3 2x x2

√3 2

√ 2

x x2

15.

x2−5x+6

16.

17.

> x

−

18.

x3+27

> x

−

2x−5| 6

|x+4|

−

− −

−

20.

21.

3) x + 4 x

2x+5

x+4

x+8

2x+1

(x − 1)√

6 x2 − 1

√

22.

+ 1

23.

− 3x − 18 < 4 − x

24.

− 3x < 5 − x

√

26.

√

27.

√

+ x − 2

x − 2 + 2x + 5

2x − 20 + x + 15

−3) x

√

29.

10 5

5 + 8 6 5

1 + 5 +

1 2

5 6 + 3

(x −

4) x

− x

− 2 0

3x + 9

−

4 3x + 5 + 3x + 14

−

6 3x + 5 1

√

6 31. 2x+1

2x+1 >

−

32 32x+1

x−

15x + 52x+1

6 0

33. 4x

9−

2x + 8 > 0

34. 9x

−

3x + 27 6 0

7x+6·

−

x+8

35. (0,6)

x−3

6 1

36. (1,3)

x−4

> 1

37. 0,25 − 12 · 0,5 + 32 >

38.

(1/7)2x−1 − 8(1/7)x + 1 6 0

39.

32x+1 + 8 · 3x − 3 > 0

40.

62x−1 − (1/3) · 6x − 4 6 0

41. log1/6(x + 4) > log1/6(x2 + 2x − 2)

42.

log1/3(x + 2) > log1/3(x2 − x − 1)

43.

log6(x + 1) + log6(2x + 1) 6 1

44. log4(x + 3) + log4(x + 15)

6 3

45. 2 log1/3(−x)

< log1/3(7 − 6x)

46.

2 log0,4(−x)

> log0,4(10 − 9x)

47.

log0,4(5x + 1)

< log0,4(3 − 2x)

−

−2

0,2

−

48.

log0,3(2

3x) > log0,3(5x

49. log0,2(x

1) + log

2(x + 3) >

50. log

−

1) + log

−

2) >

51. 32x −x+2

−

52x −x−1 > 52x −x+1

−

32x −x−1

20,5

0,5

−2

52. 2x +x+1 −

+x > 3x

+x−1 − 2x

53. 2x · x − 2x+2 − 4x + 16 > 0

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 5. Í ð íñò

54. 3x·x−3x+2

−2x+27 6 0

55. 6x−9·2x−2·3x+18 6 0

56. 10x−8·5x−5·2x+40 > 0

57.

2√

− 21−√

6 1

58. 3√

− 32−√

6 8

59. xlog2 x 6 16

60. xlog3 x > 81

61.

log

1/3

log

x−1

−

62. log

1/2

log

x−2

−

63. lg

100x

−

5 lg x > 6

2−x

1−x

64. lg2 1000x − 8 lg x > 12

65. lg2 100x − 7 lg x > 8

66. lg2 10x − lg x > 3

67. x2 + 10x−

+ 29 6 0 68. x2 −8x−

+ 18 6 0 69. 5 ·32x + 15 ·52x−1 6 8 ·15x

|x+5

|x−4|

70. 27 · 22x − 5 · 6x+1 + 8 · 9x > 0

71. 8x − 7 · 4x + 7 · 2x+1 − 8 > 0

x+1

73.

√

−

13 · 9

+ 13 · 3

− 27 > 0

− x − 6

x 1

√

− 2) x

√

75.

76.

x 2

−

− 9) x

− 2x

− 8

− 1) x

+ 2x − 8

√

− 2x −

77.

+ 4

+ 12

− 1 > 5

−2

1) x

2 ·

√

> 3x − 4

81. (2x − a)√

> 0

82. (3x − a)√

6 0

80.

20 · 3x − 11

x − 3

x − 2

√

− 2

84.

−

5 ·

85.

logx(2x + 3)

(x −a)

3 · 2

(x −a)

6 · 5

86. logx(4x − 3) 6 2

87. log12/2 4x + log2(x2/8) > 8

88. log12/3 3x + log3(x2/9) > 4

89. log3(10 − 3x) > 5log5(2−x)

90. log2(9 − 2x) > 3log3(3−x)

91. logx(4 + 3x) > 2

92.

logx(2x + 3) < 2

93. 1 + 2 logx+2 5 > log5(x + 2)

94. 2 + 3 logx+1 3 > log3(x + 1)

√

−x

+ 7x − 10 log2(x −

96.

−x

+ 6x

− 5 log3(x

−

2 cos(2x −

√

98.

2 cos(xπ

−

√

99.

2 sin(3x +

− 1 > 0

5 ) +

6 ) +

3 )

√

−

101. tg(πx − 2) > 3

100. sin(

4 )

> 0

102. ctg(4x + 3) > 4

103

√

104.

√

3x − x

5x − 4 − x

(cos x − sin x)

(sin x

− cos x)

105.

2 sin2 x − sin x cos x − cos2 x > 0

106. sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x > 0

107

√

108.

√

. 4 sin

2x−2( 3 + 1) sin 2x+

4 sin (x/2) −2(

2 + 1) sin(x/2) +

109.

−1

110.

sin(πx/2) −

√

sin(πx) + cos(πx)

3 cos(πx/2)

111.

4 sin x − 3 cos x + 4 6 0

112.

5 sin x + 12 cos x > 12

113. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a í ð íñò î x2−(3a−4)x+(a−1)(2a−3) > 0

ыполня тся ля с х поло ит льных н ч ний x?

114. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

ï ð ì òð a í ð íñò î x2

− (4a + 1)x + (a + 2)(3a − 1) > 0 ыполня тся ля с х

отриц т льных н ч ний x?

Ð øèò ñèñò ìó í ð íñò

logx(2 sin x + 1) 6 0,

logx(2 cos x + 1) 6 0,

115. 0 < x < 2π

116.

0 < x < 2π

Äîê èò í ð íñò î

118. 2n+1

117

+ 1

n >

> 2n + 3,

N, n > 2

óê íèÿ

Îò òû è

11. (−∞, −4) (−3, 1) (1, 5)

1. (−1; 7) 2. [−5; 3] 3. ? 4. ? 5. [0; 4] 6. (−3; 5)

12. (−4, −2) (−2, 3) (5, +∞)

13.

{−6} [2, 3] 14.

{−5} [1, 4]

15.

[2; 3] \ {5/2}

[−7

\ {−4}

17.

(−∞; −2]

(0; +

∞

)

18. (

;

−

(0; +

∞

)

19. [

−

}

]

−∞

{

20. (−0,5; 1] {−3}

21. (−∞; −6

[3; +∞)

22. (−∞; 0] [1; +∞)

23. (−∞; −3]

24. (−∞; 0] [3; 257 )

25. [2; +∞)

26. [10; +∞)

27. {−2; 1} [3; +∞)

29. [−31 ; 34 ]

30. [2; 5,2]

31. (−∞; −1] [0; +∞)

32. [−1; 0]

33. (−∞; 1] [2; +∞)

34. [1; 2]

35. [1; 3) [6; +∞) 36. [1; 4) [8; +∞)

37. (−∞; −3] [−2; +∞)

38. [0; 1]

39. [1; +∞)

(−∞; 1]

41.

(−4;

−3) (2; +∞

)

42. (

−

−3

(3; +

∞

)

43. (

−

0,5; 1]

44. (

3; 1]

;

−1

; 1)

45.

(−∞; −7)

46. (−10; 0)

47. (

2 )

48. ( 8 ;

3 )

49.

(1; 2]

50. (2; 3]

51. (−2

2n ÷ ñò é.

33. n плоскост й,

56. (−∞; 1] [3; +∞) 57. [0; 1]

52. (−2; 1) 53. (−∞; 2] [4; +∞)

54. [1; 9]

55. [1; 2]

58. [0; 4]

59. [ 41 ; 4]

60. (0; 91 ] [9; +∞)

61. ( 23 ; 179 )

62. (1,1; 1,5)

63. (0; 0,1] [100; +∞)

64. (0; 0,1] [1 000; +∞) 65. (0; 0,1] [10 000; +∞)

66. (0; 0,1] [10; +∞)

67. [−6; −5)

(−5; −4]

68. [3; 4) (4; 5] 69. [0; 1]

70. (−∞; 1] [2; +∞)

71. (0; 1) (2; +∞)

73. {−2}1

[3; +∞)

74. (−∞; −2] {4}

75. {−4} [2; +∞)

77. (−∞; 2]

79. [log5 2

; 1)

81. Ïðè a 6 8 x [3; +∞); ïðè a > 8 x {3} 1

[log2 a; +∞)

83. Ïðè a > 1 x = 1, ïðè a < 1 x [a; 1]

85. (1; 3]

88. (0;

] [3; +∞)

−

243

∞

−

{

}

89. [0; 2)

]

91. (1; 4)

92. (0; 1)

(3; +

)

93. (

1,8]

(

1; 23]

95. (3; 4]

103. [0; π4

104. [1; 5π ]

105.

π4 + πk 6 x < π2

+ πk;

π2

+ πn < x 6

{ }

−7π

11π

− arctg 2

+ πn, k, n Z

113. a 6 1 114. a > 3

115.

(0; 1) [π;

) (

; 2π]

Ÿ 5. М то м т м тич ской ин укции

Äîê èò

1. Формулы о щ о чл н и суммы n ÷ë íî ðèôì òè÷ ñêîé è îì òðè÷ ñêîé ïðî-

2. 12 + 22 + 32 + . . . + n2

n(n+1)(2n+1)

3. 12 − 22 + 32 −2

42 +

ð ññèè.

1 n(n+1)

n(4n

−1)

. . . + (−1)

−

= (−1)

−

4. 1

+ 3

+ 5

+ . . . + (2n −

·2+2·3+3·4+. . .+(n−1)n =

(n−1)n(n+1)

6. 1·2+2·5+. . .+n(3n−1) = 2n

(n+1)

+ 2

+ 3

+ . . . + n

n(n+1)

· 2

+ 2 ·

+ . . . + (n − 1)n

n(n

−1)(3n+2)

1·2·3+2·3·4+3·4·5+

. . .

·(

n+1)

(n+2) =

n(n+1)(n+2)(n+3)

. . .

10. 1·2 + 2·3 +

+ n(n+1)

+ . . . +

n+1

11.

1·3

3·5

(2n−1)(2n+1)

2n+1

12.

1·4

4·7

(3n−2)(3n+1)

3n+1

13 .

+ . . . + n

+ · · · +

= 2

−

n+2

1·5

5·9

(4n−3)(4n+1)

4n+1

16. 1

14.

15. 1 +

+ 7

· · ·

2 n−11

= 21−n + 2(n

−

1! + 2

2! + . . .+ n

n! = (n + 1)!

−

n−

17.

+ . . . +

n(n+2)

+ . . . +

1 3

3 5

(2n

1)(2n+1)

2(2n+1)

18. 1+x

1+x

n+1·

19.

−

x(x−1)

n x(x−1)...(x−n+1)

−

− . . . + (−1)

= (−1)

n (x−1)(x−2)...(x−n)

x−1

−

x2n+1

sin 2n+1α

sin n+12 x

20. cos α · cos 2α . . . cos 2

α = 2n+1 sin α

21. sin x + sin 2x + . . . + sin nx =

sin

sin x2

+cos x+cos 2x+. . .+cos nx =

sin

2n+1

23.

sin x+2 sin 2x+3 sin 3x+. . .+n sin nx =

22.

2 sin x

(n+1) sin nx−n sin(n+1)x

(n+1) cos nx−n cos(n+1)x−1

cos x + 2 cos 2x + . . . + n cos nx =

4 sin2 x2

. . .

3−

ctg x, x = πm, m

26. arcctg 3 +

2 tg 2

ctg

n+1

27. arctg

arcctg 5+. . .+arcctg(2n+1) = arctg 2+arctg

2 +. . .+arctg

−n arctg 1

+. . .+arctg

= 2, v

= 3 è

N v

= 3v

k −

arctg

= arctg n+1

28. Åñëè2

k−1

2n2

1 3

−β

k+1

òî vn = 2

+ 1

29. Åñëè

α −β

u2 =

(α = β)

, è

k > 2

α−β

α β

n+1−

n+1

ыполня тся uk = (α + β)uk−1 −

αβuk−2

, òî

un =

−β

. Åñëè x1

= cos θ

α−β .

= cos 2θ è k N, k > 2 ыполня тся xk

= 2xk−1 cos θ − xk−2, òî xn = cos nθ.

31. Ср и прои ольно ы р нных n + 1 è í îð 1, 2, . . . , 2n числ н й утся хотяы , и которых о но лится н ру о . 32. n р личных прямых, про нных

н плоскости ч р о ну точку, лят плоскость н


прохо ящих ч р о ну точку т к, что ник ки		три и них н прохо ят ч р о ну
прямую, лят простр нст о н An = n(n−1) + 2		÷ ñò é. 34. 2n > 2n+ 1	ïðè n > 2
35. 2n > n2 ïðè n > 4	36. (1 + α)n > 1 + nα ïðè α > −1, α =		0, n > 1

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 6. Ò êñòî û ÷è

√

ïðè

38.

(2n)!

ïðè

√1

+ √2

+ . . . + √n

n > 1

n+1

(n!)2

n > 1

n <

< 2 n

39.

> 5 ·n

+ 2, n > 4 40.

+ . . .+

> 1 41.

+ . . .+

n+1

n+2

3n+1

n+1

n+2

42.

5 . . . 2n−1

2n−1(an + bn) > (a + b)n, a + b > 0, a = b,

2 ·

√3n+1

n > 1

44. xn + xn−2

+ xn−4

+ . . . +

> n + 1, x > 0

xn−4

xn−2

a1+a2+...+an

2 n

√a

a . . . a

a > 0

46. (a + a + . . . + a ) =

a12

+ a22 + . . . + a2 + 2(a1a2 + a1a3 + . . . + an 1an)

47. (a + b)n =

Cnkan−kbk

48. Число 22

+ 1 к нчи тся цифрой 7 ïðè n > 1

+ 6

−

k=0

49. Число n

ö ëî .

50. Сумм ку о тр х посл о т льных н тур льных чис л лится н 9.

51. Ïðè ö ëîì n > 0 число An = 11n+2 + 122n+1

лится н 133.

52. n5 − n...5

53. 62n−2 + 3n+1 + 3n−1...11

54. 52n+1 + 3n+2

2n−1...19

55. 7

52n + 12

6n...19

56. 5 ·

58. n5 − n...5

23n−2 + 33n−1..19 57. n(2n2 − 3n + 1)...6

Ÿ 6. Ò êñòî û ÷è

1. И нных ч тыр х чис л п р ы три относятся м у со ой к к 1/5 : 1/3 : 1/20, ÷ ò ðòî ñîñò ëÿ ò 15% òîðî î ÷èñë . Í é èò ýòè ÷èñë , ñëè è ñòíî,

что торо число н 8 ольш суммы ост льных. 2. Âêë ÷èê ñíÿë ñî ñ î î ñ÷ ò

íê ñí ÷ ë 1/4 êë , ò ì 4/9 îñò ø îñÿ è ù 64000 ðó . Ïîñë ýòî î ó í î îñò ëîñü í ñ÷ ò 3/20 п р он ч льной суммы. Сколько н ыло н сч т ?

3. В и лиот к им ются кни и н н лийском, фр нцу ском и н м цком я ык х. Ан-лийски кни и сост ляют 36% с х кни н иностр нных я ык х, фр нцу ски 75% н лийских, ост льны 185 кни н м цки . Сколько кни н иностр нных я ык х и лиот к ? 4. Н полях, ы л нных рол ор тории ля опыто ,

с ух уч стко со р ли 14,7 ц рн . Н сл ующий о посл прим н ния но ых м то о рот хники уро й н п р ом уч стк по ысился н 80%, н тором н 24%, л о ря ч му с этих уч стко ыло со р но 21,42 ц рн . Сколько ц нтн ро рн со ир ли с к о о уч стк н сл ующий о ? 5. Охотни-

чий порох состоит и с литры, с ры и у ля. М сс с ры ол н относиться к м сс 0,2 : 1,3, ì ññ ó ëÿ îë í ñîñò ëÿòü 11 1

с литры к к 9 % м ссы с ры и с литры м ст . Сколько пой т к о о и щ ст н при ото л ни 25 к порох ?

6. Д к ртины о щ й стоимостью 2250 тыс. ру . ыли про ны н укцион с при ылью 40%. К ко стоимость к ой к ртины, сли от п р ой ыло получ но при ыли 25%, от торой 50%? 7. От прист ни отпр ился по т ч нию р ки

плот. Ч р 5 ч 20 мин сл плотом с той прист ни отпр ил сь моторн я ло к , котор я о н л плот, прой я 20 км. К ко скорость плот , сли и стно,

что скорость моторной ло ки ольш скорости плот н 12 км/ч? 8. К т р отош л от прич л о но р м нно с плотом и прош л ни по р к 40/3 êì. Í ë ÿ ост но ки, он р рнулся и пош л рх по р к . Прой я 28/3 км, он стр тился с плотом. Если скорость т ч ния р ки 4 км/ч, то к ко со ст нн я скорость к т р ?

9. В 500 к ру ы со р ится н которо колич ст о л . Посл у л ния и ру ы 200 ê ïðèì ñ é, ñî ð ùèõ ñð í ì 12,5% ë , îñò ø éñÿ ðó ñî ð íè

л по ысилось н 20%. К ко колич ст о чисто о л ост лось щ ру ?

10. См ш 30%-ный р ст ор соляной кислоты с 10%-ным, получили 600 15%-но о

р ст ор . Сколько р ммо к о о р ст ор ыло ято? 11. И молок , ир-

ность которо о сост ля т 5%, и от ли ют т оро ирностью 15,5%, при этом ост тся сы оротк ирностью 0,5%. Сколько т оро получ тся и 1 т молок ?

12. Д спортсм н ют по о ной мкнутой оро к ст ион . Скорость к о о постоянн , но н про с й оро ки п р ый тр тит н 10 с м ньш , ч м торой. Если они н чнут про с о щ о ст рт о ном н пр л нии, то щ р сой утся ч р 720 с. К кую ч сть лины с й оро ки про т с кун у к ый ун?

13. Пр пол я, что стр лки ч со и утся ск чко , уст но ит , ч р сколько минут посл то о, к к ч сы пок ы ли 8 ч, минутн я стр лк о онит ч со ую.

14. Д ум р очим ыло поруч но ни , торой р очий приступил к н му н 1 ч

по п р о о. Ч р 3 ч посл то о, к к п р ый приступил к нию, им ост лосьыполнить 9/20 с о ния. По оконч нии р оты ыяснилось, что к ый ы-

полнил поло ину с о ния. З сколько ч со к ый, р от я от льно, мо тыполнить с ни ? 15. Ïðè ð ðó ê ð è ñí ÷ ë 2 ÷ éñò î ëè ÷ -

тыр по ъ мных кр н о ин ко ой мощности. З т м о очно ли йст и щ

кр н м ньш й, но о ин ко ой мощности. Посл это о ля оконч ния р ру ки

ïîòð î ëîñü ù 3 ÷ ñ . Åñëè û ñ ýòè êð íû í ÷ ëè ð îò òü î íî ð ì ííî, òî ð ðó ê ûë û ïðîè í 4,5 ÷. Åñëè û î èí êð í îëüø é è î èí êð í

м ньш й мощности р от ли со м стно, то к ко р мя они р ру или ы р-у? 16. Â ññ éí ïðî íû òðó û ð íî î ñ ÷ íèÿ. Î í ð íîì ðíî

по ющ я, ру я р ном рно от о ящ я о у, прич м ч р п р ую сс йн н - полня тся н 2 ч ольш , ч м ч р торую опустош тся. При полн нном н 1/3

сс йн ыли открыты о тру ы, и сс йн ок лся пустым спустя 8 ч. З сколько ч со , йст уя от льно, п р я тру н полня т, тор я опоро ня т сс йн?

17. Пч лы, п р р ты я ц точный н кт р м , ос о о ют о от н чит льной ч сти о ы. Иссл о ния пок ли, что н кт р о ычно со р ит около 70% о ы,получ нный и н о м со р ит только 17% о ы. Сколько кило р ммо н кт - р прихо ится п р р ты ть пч л м ля получ ния к о о кило р мм м ?

18. Н йти ч тыр числ , о р ующих ом трич скую про р ссию, у которой сумм êð éíèõ ÷ë íî ð í −49, ñóìì ñð íèõ ÷ë íî ð í 14. 19. Í éòè òð òèé ÷ë í ñêîí ÷íîé îì òðè÷ ñêîé ïðî ð ññèè ñî í ì í ò ë ì |q| < 1, сум которой ð í 8/5, торой чл н р н −1/2. 20. Н йти три п р ых чл н скон чнойом трич ской про р ссии со н м н т л м |q| < 1, сумм которой р н 6, сумм ïÿòè ï ð ûõ ÷ë íî ð í 93/16. 21. Ñóìì òð òü î è ÿòî î ÷ë íî ðèô-

м тич ской про р ссии р н 8. Н й ит сумму 11 п р ых чл но этой про р ссии.

22. Н й ит сумму с х поло ит льных ч тных у н чных чис л, лящихся н 3 н ц ло. 23. Ñóìì òð õ ï ð ûõ ÷ë íî îì òðè÷ ñêîé ïðî ð ññèè ð í

21, ñóìì èõ ê ð òî ð í 189. Í é èò ï ð ûé ÷ë í è í ì í ò ëü ýòîé ïðî-


ð ññèè.	24. Н й ит сумму 19 п р ых чл но рифм тич ской про р ссии
a1, a2, a3, . . . , ñëè è ñòíî, ÷òî a4 + a8 + a12 + a16 = 224.		25. Вычислит

(1 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 + . . . + 1992) − (22 + 42 + 62 + . . . + (2n)2 + . . . + 2002)

26. Н й ит сумму 1 + 2 · 3 + 3 · 7 + . . . + n(2n − 1). 27. Í é èò x (−1, 1),

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]	Ÿ 6. Ò êñòî û ÷è	19
ñëè 2x + 1 + x2 − x3 + x4 − x5 + . . . = 13/6.	28. Í é èò x (−1, 1), ñëè
1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 7/2.
x

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.2019516.61 Кб5UMM_UK_Osobennaya_DNEVNOE_2012_g.doc
#
01.07.2025278.99 Кб0um_1-8.docx
#
11.11.201993.24 Кб9unit 1_add materials (2).docx
#
01.07.202532.05 Кб1Unit 4_Enquiries.docx
#
16.03.2016275.97 Кб75United.doc
#
13.04.2015291 Кб14UnivAlgKKZadachi.pdf
#
01.07.20251.88 Mб0Untitled.FR11.doc
#
01.07.2025133.12 Кб1urok_2_-_10_kl_-_pravo.doc
#
01.07.202592.16 Кб0Urok_3_-_10_klas_-_pravo-2.doc
#
01.07.2025153.6 Кб0Urok_4_-_10_ist_ukr.doc
#
01.07.2025457.73 Кб0Urok_4_-_10_kl_ist_vs_-_prichini_I_sv_viyni.doc