Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UnivAlgKKZadachi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

291 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Минист рст о о р о ния и н уки Укр ины Дон цкий н цион льный уни рсит т

П.А. МА АРОВ, А.А. МУРАТОВА, Г.А. ПОПОВА

Корр кционный курс по л р

( ля сту нто I курс м т м тич ско о ф культ т ) ТОЛ КО ЗАДАЧИ

Äîí öê 2008

Ñî ð íè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		2
1.	Ïð î ð î íè ûð íèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
2.	Функции, их с ойст и р фики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
3.	Óð í íèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7

4.Í ð íñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.М то м т м тич ской ин укции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.Ò êñòî û ÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 1. Ïð î ð î íè ûð íèé

Упростит ыр ни

√

4/3

√

a+7a1/8

a5/6

a1/4−b1/4

m−3m1/6 + n1/3

−m1/3

a−3/4a1/2

a7/8+7

− a1/8−b1/8

m5/6−3

n1/6+m1/6

a5/12

a−1/6

3/2

· −

√a4

√a√b

4p+2√4p2−1

b−5/6b1/3

b2/7

√a

a b

√(2p+1) +√(2p

1/8

1/4

1/3

1/8

1/3

1/6

7/18

5/7

−

− 25−a

−

−5

+10a

6 (t+3)√t2

−7

−8)(b

+8)

2x−1/3

x2/3

+25

x+1

t2 t

√2b+2√b2

+34

1/6−

14b

+49

1/8

a1/8+5

1/4

−1/8+25

b1/6+7

+ b1/3

1/6

10.

− − −

√

−

11.

√

−

2/3

−3x−

1/3

− x

5/3

2/3

−

4x+3

−

−4

−x

+t−6−(t−3)

−4+b+2

( b

1 /b)+b b−1|+2−(2/b)

(√a + 2)

− 8√a +

(√a −

+ 8√a

| −

| √

b−2+(1/b)

√

16.

15.

17.

a2+4

b 2√b + 8 + 9 + b + 2√b + 8 + 9

a 2√a + 4 + 5

( b

−

1) + 4 b −

( b + 1)

−

4 b

a + 2 a + 4 + 5 +

−

√b 2+ 1

−

x3+x

a 2−a 4

. (m2 m 6) m

|b−1|

+b|b−1|+2−b

m m 3

1 + x+1

√

| −

| − | |

−

12x + 36

−

√

−

(a3/2−√

8)(√

+√

23 cos(α+β)+sin α sin β

sin(α+β)−cos α sin β

sin α cos 6α−cos 10α

−sin 10α−sin 6α

24.

25.

cos α

26.

cos 5α + sin 5α

a+√2a+2

(a + 2)

−

. 2 cos(

sin(α β)−sin

α cos

cos 6α

cos 8α

)

3 sin

cos(α−β)−cos

α cos

cos 4α

−

sin 4α

sin 3α

sin α

cos α

cos 4α

(sin 8α sin 2α)(cos 2α

−

cos 8α)

(sin 2α+sin 6α)(cos 2α

cos 6α)

π/

√

−

30. −

√

−

31.

1/2

ñëè π/4 < α < π/2

32.

(ctg α

tg α)2 ctg 2α

tg 2α + 2·,

ñëè

cos α

2 sin(π/6

− α) − cos α +

3 sin α

(ctg

− tg

α) cos 2α

tg 2α

−

sin2 α(1

−

1/2

π/2 < α < 3π/4

33.

ctg α) + cos2 α(1

tg α)

ñëè 3π/2 < α < 2π

2 ctg(π/4−2α) cos−(π/4+2α)

34.

cos2 β(1+tg β)+sin2 β(1+ctg β)

1/2, ñëè π < β < 3π/2

35.

2 cos

2α

36.

2 sin2 3α−21

37.

1−loga b

38. (logb a−1+loga3b) loga(ab)

2 ctg(π/4+3α) cos (π/4−3α)

(loga b+logb a+1) loga(a/b)

1+loga b

Í é èò í ÷ íè

−4 61 ):5

3 31 +2,5

4,6−2 31

0,05

0,3:0,01

2,5−1 3

4,6+2 3

7 −0,125

(4 3

+0,75)·3 13

81/2

94/3

−1

5,2 :

+ 5,7

34 7

−

lg 3

41. 16−0,75

8−5/12 · 45/8

42.

625−2,25 · 25−2/3 · 12525/9

43.

27−1/·9 41/4

(1/2) lg

3 + 9log9 8

log 2

log

45.

46.

44.

2/3

log

2 + log

7 + 5log5 6

1000

−

100

−

50.

−

4−2/3·1251/9

−

3 lg 2

(1/3) lg 27

2 lg 5

log

27+log 3

log

128

log

2 log2 6−log2 9

3 log6 2+log6 27

√

52.

1 +

√

53.

log8 9

, ñëè

5 − 2

6 ·

49 + 20 6

2 ·

3 −42

+0,5 log5 4

√3

54.

, ñëè

55.

log√

−

7 ·

18 = a

= a

· log5

6 · log6

log

log9 15

+ 36 log

log45 25

log√2 6 +(1/3) log6 27

√4

57.

7+4

12 log

log

59.

−

√

60.

−

√

log

log12

log

√

log

√ (9 + 4 5)

. log9 10

lg 11

61. √2+1 + √3+√2 + √4+√3

+ . . . + √100+√99

62.

81(1/4)−(1/2) log9

4 + 25log125

· 49log7 2

√

15 log

√7

(1/49)

5log√

log

200, ñëè log

50 = a, log

20 = b

1/7

150

log175 56

, ñëè

log14 7 =

log5

14 = b

66.

sin

α è

α, ñëè

cos

= −2

π < α < 3π/2

67. cos α è ctg α,

ñëè

sin α =

3/4,

π/2

< α < π

68. cos((π/6) + α), ñëè sin α = −√

/3, π < α < 3π/2

69. sin((π/4) − α), ñëè

√

70.

, ñëè

tg α = −3

cos α = −

2/3

π/2 < α < π

sin α

cos α

3π/2 < α < 2π

71. sin α è cos α, ñëè ctg α = 2, π < α < 3π/2

72. sin(2α − 3π), ñëè sin α = −0,6,

π < α < 3π/2

73. cos(2α − (π/2)), ñëè

cos α = −0,8,

π/2 < α < π

74. arcsin(sin 6)

−

75. arccos(cos 9)

76. arccos(sin 5)

◦

77. arcsin(cos 7)

sin 20◦ cos 70◦+sin

110◦ cos

◦

78.

sin(2 arcctg 4)

79. cos(2 arctg 2)

80. tg

3π

− 41 arcsin(−4/5)

cos 10◦ sin 80◦

+ sin

◦

sin

170◦ sin

350◦

◦

+ lg tg 2◦

81 ctg

5π

1 arccos(

4/5)

250 +sin2 290

cos2

340

2 280

cos2 100

lg tg 1

lg tg 3◦ + . . . + lg tg 88◦ + lg tg 89◦

85. cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + . . . + cos 160◦ +

cos 180

86 cos(π/7) cos(4π/7) cos(5π/7)

87. tg (1/2) arcsin(5/13)

Í é èò í ÷ íè

88.

ctg◦

(1/2) arccos(3.

/√10)

ñëè

89. log7 x = log7 2,5 + 4 log7 2 − log7 10

90. log0,6 x = 2 log0,6 6 − log0,6 12 + log0,6 1,5

Äîê èò òî ñò î

√

sin α+2 cos(60◦+α)

sin α

1+cos α

cos α

1+sin α

= ctg α

91.

sin α

92.

cos α

93.

√

cos α

1+cos α

sin α

1+sin α

cos α

2 sin(60◦+α)

√

cos α

2 cos(45◦

+α)

−

95.

2α

96.

sin

4 sin

sin 2α

4 cos

= tg α

−

= tg

−

2 sin(45◦+α)

√2 sin α

sin 2α+4 sin α

−

sin

2α+4 cos2 α 4

ctg

−

sin(30◦+α)−cos(60◦+α)

√

sin(45◦+α)+cos(45◦+α)

−

97.

3 tg α

98.

= ctg α

sin(30◦+α)+cos(60◦+α)

sin(45◦+α)

cos(45◦+α)

−

(sin

+sin

)

+(cos

+cos

2 α−β

(sin α

−

sin β)2 +(cos α

−

cos β)2 =

)

= 4 cos4

100.

√

√a 5

√a+5

10 √a

√

103.

−

16−

−

b−4

b+4

4 sin2 α−β

−

= 2

102.

−4

b+64

101.

√a

√

√a+5

√a

√

−1/2

tg(9π/4) + tg((5π/2) − α)

+ ctg(5π/4) + ctg(π − α)

2/ sin2 α

104.

π/

4) + tg(2

−

)

tg(17π/4) + ctg((7π/2)

−

β)

= 2

/ cos2 β

ctg(13

105.

cos(2π+α/4)−sin(2π+α/4) ctg α/8

= tg(α/8)

106.

cos(π/2−α/4)−sin(π/2−α/4) tg α/8

= (tg α/8)

cos(7π/2

α/

4)+cos(α/4

3π) ctg α/8

sin(5π/2+α/4)

sin(α/4

3π) tg α/8

−

√

−

107

109.

108

110. cos(α+

2√2 sin(α/2) sin (α/2)−(π/4)

sin(α+β) sin(α−β) = sin2 α−sin2

− cos α + sin α = 2

2 sin(α/2) sin (α/2) + (π/4)

− cos α

− sin α =

) cos(

−

) =

−

1+cos(π−2α)

−

cos2 α

sin2 β

111. (sin(π−3α)−cos(3π/2+α))(sin(π/2+3α)+cos(π+α))

sin 4α

(cos(2π−α)+sin(3π/2+5α))(cos(π/2−α)−sin(π+5α))

√

− 6

√

112

= sin 4

113.

114. .

cos(

1+sin

(3π/2)−6α

10 + 6

115.

3 =

cos(2π/21)+

π/19)+cos(3π/19)+cos(5π/19)+. . .+cos(17π/19) = 1/2

cos(4π/21) + cos(6π/21) + . . . + cos(20π/21) =

−

1/2

116.

sin(arctg

) =

√

117. cos(arctg x) =

√

118. arctg(1/3) + arctg(1/2) = π/4

1+x2

119. arctg(2/3)+arctg(1/5) = π/4

120. sin2 α+cos2 β+cos2 γ = 2(1+cos α sin β sin γ),

ñëè α = β + γ

121. α + β + γ = π, сли и стно, что ля острых у ло α, β, γ

ыполня тся р нст о tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ

Í é èò í è îëüø è í èì íüø í ÷ íè ûð íèÿ

122.

125.

12 sin α − 5 cos α	123. 15 sin α + 8 cos α	124. 4 sin α + 3 cos α
7 sin α − 24 cos α

Äîê èò , ÷òî ïðè x > 0 ыполня тся р нст о

126. arctg x + arctg(1/x) = π/2

127. arcctg x + arcctg(1/x) = π/2

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]																																																															Ÿ 2. Функции, их с ойст и р фики																																																													5
1.					b1/8						2. n1/6																								3. a																	Îò òû è																			óê íèÿ																											b1/6−7																			11										1												b > 2
1.			−		b1/8						2. n1/6																								3. a													4. b																			7.												1												8			.				b1/6−7																			11				.				√		1							,					b > 2
																																																																													1/8					+5																	1/6					+7
																																																								√																			a		1/8																					b	1/6																												b+2
																																																																											a																							b																			−4										b+2
						4,										0				6						a				6					4,																																6					b					6						1,																					2,																				6					a <														3,
13						4,										0										a									4,						14													2 b, 0																		b											1,								15													2,																									a <														3,
			.	2√a, a > 4.																																												.			2,															b > 4.																														.			2√																	, a >										−				3.										−
			.	2√a, a > 4.																																												.			2,															b > 4.																														.			2√									a + 4								, a >														3.										−
					2,																			−8 6 b <																		−			7,
16					2,																			−8 6 b <																					7,																				23							tg α 24. tg α																																		25.							4 sin 2α													26.										4 cos 8α
			.	2√b + 8, b >																													−			7.																																	.																31.								−2																																											−
																																	−
27			.	sin 10				α												28.									sin 4								α						29.									2 cos										α					30.										0																													32.						4					33.							cos α																		sin α
			.	sin 10																									sin 4																							2 cos																									0																																			4																	1
34.				− sin β − cos β																															35.					1 36. −1																									37.							loga b																	38. logb a																															43.																	44.								12
34.				− sin β − cos β																															35.					1 36. −1																									37.							loga b																	38. logb a																															43.								54									44.								12
45.				3		46.			2										47.								125																9																1					50. 2																				1						52.						1								53.						4a−2							54									a+2																			30
45.				3		46.			2										47.								125														625																		1					50. 2																				1						52.						1								53.						4a−2							54																												30
																											512									48.					625											49.															3									51.																																		6−3a					√						.√2(2−a)																			55.√
56.				21 57.										5																3								59. −1															60. −1 61. 9 62. 64																																																						66. −										21							21									67. −														7
56.				21 57.										2									58. 2															59. −1															60. −1 61. 9 62. 64																																																						66. −								5				,					2									67. −												4			,
		√							√						−3√2																								2+√																										3									1																				1												2
		√		7					√				3																										2+√							14																			3									1										71										1												2						72							0,96 73.																								0,96
																																																																																				71																												72							0,96 73.																								0,96
− 3						68.										2															69. −												6											70. −√10 ,																	√10																	.			−			√5 ,								−				√5									. −																									−
82			.	1		83.			1													86.								1											1												√																89.									4							90.						4,5																																														122.								13
82						83.																86.								1											1												√																89.																90.																																																				122.
																														8 87. 5 88.																											10 + 3
è −13 123. 17 è −17
Ÿ 2. Функции, их с ойст и р фики
			Н й ит о л сть опр л ния функции
									√																																										√
1																																																																																												(x+5)(2−x)																																							(x+4)(3−x)
1										5							4x							x2																													8				2x					x2																														(x+5)(2−x)																																							(x+4)(3−x)
	.	f(x) =												−								−												2. f(x) =																					−						−						3.					f(x) =															lg(x													2+1)												4. f(x) =																													2	+1)
														x+2																																									x+3																																																																														lg(x
																																									2																																																														2																																							x			1
5. f(x) = log															x+4								(9					−				8x					−		x )													6. f(x) = log																						x−4								(14 + 5x														−				x )											7. f(x) =															2				log													−
															x+4													−									−																																					x−4																						−																																									0,3 x+5
																											x+2																																								2																	1																																																										1
8. f(x) = log0,6																																						9. f(x) = lg(6x																													x				) +																									10.								f(x) = lg(9x																						x )
8. f(x) = log0,6																																						9. f(x) = lg(6x																													x				) +								lg(3								x)									10.								f(x) = lg(9x																		−				x )						− lg(5−x
								√																			x−3									√																													−																				−																√																					−										− lg(5−x														)
11																																																	2																											12
11			.																																									x					2																											12						.																							cos x +
			.	f(x) =																	sin x + 4																							x																																						.			f(x) =																				cos x +													(x + 2)(1 − x)
																																									−√																									14. f(x) = arcsin x−2																																						3												x)
13. f(x) = lg sin(x																														−				3)							−√			16											x2											14. f(x) = arcsin x−2																																						3					lg(4							x)													15. f(x) =
																														−								−													−																											3																												−						√				−
									2			− 8x + 15)																										−			16.										−																											3													17															−								5 sin x − cos 2x + 3
			logx−2(x						2																																16.									f(x) = arccos 3+sin x																																									17					. f(x) =
			logx−2(x																																															f(x) = arccos 3+sin x																																														. f(x) =
18															1							x																																					2					x																																						x+1																																					x+4
18				y =							2							−																			19. y =																				2					−															20.								y =																						2									21. y =																													2
.				y =							2							−																			19. y =																				2					−															20.								y =																						2									21. y =																													2
22							x							−2x−15																																						x								+x−12											23.																						3−2x−x																															2					6+x−x
							√
			. y =						2 sin 2x + 2 sin x																																− 2 cos x − 1																																										y			= sin x − cos x − 2 sin																																									x + sin 2x
																																																																																			2
																																																																																			2
																							2																																																	√2 sin																			cos x								4
24.				f(x) =							√2 cos													x−5 cos													x+2															25. f(x) =																				√2 sin													x+5												−												26.							f(x) =														√2 sin x−1

																																																																															√8+7x−x2
														√							√4+3x−x2																																																										√8+7x−x2																																																		√10−9x−x2
27. f(x) =														√					tg x+1
										√
										√					3−2x−x2
			Постройт р фик функции
28. f(x) = \| log2 \|x\|\|																																							29. f(x) =																								4			(x − 2)4															− 2x																				30. f(x) =																6				(x + 3)6																		+ 2x
31				f(x) = tg x																					cos x																											32.											x																	x					sin						x																				33. f x																		√
31																																																				32.											x																	x											x																				33. f x																		√
			.																				\|												\|																								f( ) = ctg																									\|									\|																								( ) =															lg cos x
																																																																														√																																																						√
																																																			f(x) = cos x −																																					2																																																							2
34			.	f(x) =														log2 sin x																									35.																																													2															36.						f(x) = sin x +																																		2		x
			.	f(x) =														log2 sin x																																																																		cos							x																		f(x) = sin x +																													sin							x
																	sin x																																																								sin x
																	sin x																																	38.																							sin x								\|																									39.																			√2cos x
37.				f(x) = \|sin x																					\|																									38.								f(x) =													\|sin x										\|																									39.							f(x) =												√2cos x																−			2
																				3																																																											3																																																														−
40				f(x) =													x								+ 2																											41.										f(x) =															x								+ 3																											42.					f(x) =																	\| log0,5 x\|
			.													4																																																													6																																																										log								x
																4						4																																																							6						6
															√							4																																																							√						6																																																										0,5
																				x																																															√													x																																																													0,5
																2x							4																																															log2 x
																2x							4																																															log2 x																																																						log32 x logx 3
43.				f(x) =										\|					x−						\|																				44. f(x) =																															2																										45. f(x) =
43.				f(x) =										\|		2			x−						\|																				44. f(x) =																							log2 x																																		45. f(x) =
46				f		x			√6							2				−4																		47.					f							x																		log2 x										x											5						48								f				x													x
46									√6																													47.																																																			5						48
																								x
			.		(		) =									sin								x				− 1																			(					) = log5 logx−2(																															−2)																		.					(
			.		(		) =									sin												− 1																			(					) = log5 logx−2(																															−2)																		.					(			) = log2(														−2) ·logx−2 2
49. f(x) = log3 logx−2(x −																																									2)				9											50. f(x) = \| cos x\| − cos x																																																							51. f(x) =																										1
49. f(x) = log3 logx−2(x −																																									2)															50. f(x) = \| cos x\| − cos x																																																							51. f(x) =																sin2(arcctg x)
52. f(x) =																							1																				53.								f(x) = cos(2 arcsin x)																																																					54. f(x) = cos(2 arccos x)
52. f(x) =												cos2(arctg x)																															53.								f(x) = cos(2 arcsin x)																																																					54. f(x) = cos(2 arccos x)

+ arcsin √

+ arccos √

55. f(x) = arcsin √

56. f(x) = arccos √

1 − x

57.

y =

2|x|−1

58.

y =

|x|+1

59.

y =

x+4

60. y =

4−2x

61. y = 6x

−

|−

|x|+1

|x|−1

x+2

x−1

y = 5 − |x

√

+ 4x|

63.

y = 2|x + 2| − 1

64.

y = 2 − x + 1 − 1

√

65 y

√

66. y

arcsin( x/2

67. f x

−

2 x

−

| | −

| −π

70.

= arccos(2

(

) = cos

cos

71.

y =

− 1

72. y =

3x + 4

− 1 − 2

73. y = ln

|x| − 2

+ 1

log5

3x + 2

− 2

f(x) =

cos x

−

1 +

69.

y = 2 sin

−

+ 2

y = 3 cos

2 x + 6

−

= log1/3

1 − 3 | |

− 1

|−

−|

77.

y = 25log5

78. y = 36log6 sin(3x− 4 )

log4( x

76 y = 3

log9(1

x )

74 y

75. y

cos 2x

Н й ит о л сть н ч ний функции

81. f(x) = cos x + √

79. f(x) = 2(sin x+cos x)2

80. f(x) = 2| sin x cos x|

− cos2 3x

85.

y =

86.

y =

87. y = √

10x 21 5

82.

f(x) = cos x

−

− sin 3x

83. y =

− √x+3

−

84.

y =

x2+4x+9

−

| −

|−

+ 6

25 3

= 1

)

−

)

√

x +9

√4

1 2 + 3

(cos x + 1 2 +

88 y

89. y

(sin x

90 y = 1

( ) = 4 cos

−3

−

−2

91 f x

−

cos 2x

92. f(x) = 5 cos 2x

6 sin x

93. y = arctg lg(10

x )

94. y = arcctg lg √

95. y = 10log5(3 sin(4x)−2)

96. y = 52 log3(4 cos

x−3)

100

−

97. y = lg 12 − √

x − 3

98. y = log2

+ 8x + 10

. Ïðè

ê êèõ í ÷

íèÿõ ï ð ì òð a функция y = f(x + a) ÿ ëÿ òñÿ ÷ òíîé, ñëè

f(x) = 2x + (4/2x)? 100. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a функция y = f(x + a)

ÿ ëÿ òñÿ í ÷ òíîé, ñëè f(x) = 2x − (8/2x)?

101. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð

функция

f(x) = ln(

√

+ x

− x)

ó ò í ÷ òíîé?

102. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

функция

√

ó ò í ÷ òíîé?

103. Ïðè ê êèõ

ï ð ì òð a

f(x) = ln(

+ x

+ x)

sin x

í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a число π я ля тся п рио ом функции f(x) =

104

a−cos x ?

cos x

. Ïðè

ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a число π я ля тся п рио ом функции f(x) =

a+sin x

И о р ит н коор ин тной плоскости мно ст о точ к, коор ин ты

которых (x; y) у о л т оряют нному р нст у (н р нст у)

105. | sin x sin y| = 1

106. | cos x cos y| = 1

107. log2 xy = log2(−x) + log2(−y)

108. log2 x2+log2 y2 = 2 log2 x+2 log2 y

109. sin2 x+sin2 y = 2 110. cos2 x+cos2 y = 2

111.

2x2 + 2y2 − 2xy − 1

= y − x

112.

2x2 + 2y2 + 2xy − 1

= y + x

113

log

−

y2) > 2

114. log

−

x2) > 2

115. (2 sin x + 1)(2 cos y + 3) > 15

116. (3 cos x − 1)(3 sin y + 2) > 10

Н й ит функцию о р тную к нной

120. y = x2 +6x+6, x 6

117.

y = x−2

118.

y = x+3

y = x2

−

8x+1, x > 5

−

x+1

x−2 119.

121. y = arcsin 2x

122. y = 2π − 3 arcsin x

123. y = tg x,

x (3π/2; 9π/4]

124. y = ctg x, x [5π/4; 13π/6]

Èññë óйт функцию н ч тность

(x − 1)

− 2) sign x

125. y =

+ (x + 1)2

126. y = x(x

127. y = [x

]

128

129

130

131

y =

y = cos−3 x

y = 3 sin

y = 6 tg(

−

(sin(4

))

{ }

132. y = 3 cos(x/6) + (ctg(2x))/4

Иссл уйт функцию н п рио ичность

133. y = {2x} + {3x} 134. y = sign({x − 2,5} − {x/3}) 135. y = tg 3x − cos(x/2)

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 3. Óð í íèÿ

136. y = sin 4x + 2 tg 3x

137. y = cos2 x + sin2 x

138. y = {x/π} − | tg x|

Иссл уйт функцию н монотонность и н й ит мно ст о н ч ний

функции

1+x 1/3

142

143

144.

139. y =

−

14x+51

140.

y =

√

141.

y =

−

3− x

+8x+15

10x+25

1/3

6x+2)

. y =

Îò òû è

óê−

cos(3x))

−

−10x+26

. y = arctg(sin(3x)

y = arcctg(x

íèÿ

1. [−5; −2) (−2; 1]

5. (−4; −3) (−3; 1)

7. (1; +∞)

10. (0; 4) (4; 5)

[0; 2] √

79.

80.

√

[1; 4]

[1; 3]

81. {0; ±

}

82. {±1; ±21 }

99. a = 1

100. a = 23

101. a = ±1

104. a = 0

Ÿ 3. Óð í íèÿ

Ð øèò óð í íè

3. √

|2x + 3| = 2x + 3

2. |4x − 7| = 7 − 4x

3x2

+ 7x − 4 = −x

√

− 5x − 2 = −x

8. √

− x + 1 = 5

x + 78 − x = 6

9. √

√

+ 7x + 12 = 6 − x

+ 5x − 24 = 4 − x

x + 2 + 3x − 2 = 4

√

11. √

√

12. √

√

x + 3 + 5x − 1 = 4

x + 8 − 2x − 1 = 2

2x + 14 − 3x + 1 = 2

√

= x − 3

14. √

= x − 2

15. x − 1 +

√

= 2

13.

23 − x

19 − 2x

x + 15

+ 7 3

√

+ 3 +

√

x+2

17. √

√

18. √

6−x

+ x + 10 = 3

√x+2

− −

19 3

20.

= 4

21.

x 3 + x + 5 = 4

= 2

√6 x = 2

√

√x+1

−

√

−

√√x−9

−

26.

√

−

27.

−

22.

√

9 = 3

23.

2−x +

x+3

= 3

3−x

x+1

= 4 1

x+3

2 x

24.

3 x

|x| = −(x−2)

. |x| = −|x+ 1|

. 3 1 − x = 3 −x

2 4 − x = x+ 4

29. |x + 1| + |x − 4| = 7 30. |x + 1| + |x − 5| = 8

31. |x − 1| + |x| + |x + 1| = 1

32. |x − 2| + |x − 1| + |x| = 4

33. |3 − x| + x = 4x

34. |x − 1| + 2x = x

36.

37.

√

2|x+1|+|x−3| = 11

2|x+3|+|x−2|

= 13

+ 5x + 1 = 2

+15x+2

2x2

− 8x + 3√

√

38.

x2 − 4x + 1

= 3

39.

x + 2

x + 7

2x + 21

√

41.

= 0

x + 6 + x + 13 = 2x + 43

− 4x + 3) 5x − 2 −

√

43.

√

= 0

+ 2x + 8 = 12

− 6x + 5) 2x + 8 − x

+ 2x + x

√

− 2x

− 20 = 26

45.

− 2x + x

2x − 12 + 2x + 16 = 2 x + 1

√

47. x4

√

+ 9+14 = 0

+ 19+29 = 0

48.

3x + 4+

−6

−11

x − 4 = 2

√

50. 3

√

51.

√

x − 2 + x + 6 = 6

x + 6 + x + 2 = 4

8x + 1 + 3x − 5 =

√

52.

53.

+ 9x + 5−

√

7x + 4+ 2x − 2

5x + 1+ x + 6 = 2x + 3+ 6x − 2

√

54.

√

) + (7 + )

(7 +

x + 3 − 4 x −

+ 1 2( + 1) = 0

552x + x −

1 = x

−

1 + x + 8

−

6 x

−

1 = 1

−

56.

√

( −9) 1 −

−

4 −15 + 4 −15 + 4 = 0

−

x)(2

x) = 3

−

√

58.

√

59.

3x = 0

4) 2x + 3 = 0

60. 5x4 − 29x3 + 4x2 − 29x + 5 = 0

61. x4 − 10x3 + 22x2 + 10x + 1 = 0

62. x4+6x3+6x2−6x+1 = 0 63. x4+x3−4x2−x+1 = 0 64. x4−5x3−8x2+5x+1 = 0

65. x4 +3x3 −27x2 +13x+42 = 0

66. x4 +2x3 −21x2 −22x+40 = 0

67. 5x+2 +5x = 130

68.

3x+3 + 3x = 84

69. 22x+1 + 3 · 2x − 2 = 0

70. 32x+1 + 8 · 3x − 3 = 0

2x+3

4x = 72

72. 32x+2 + 9x

73.

= 270

4x−2 − 4x+1

= 2

74.

−

= 3

75. 3x+3 + 5 · 3x−1 = 86

76. 4x+2

+ 6 · 4x−1

= 70

5x−3

5x+1

79. 7x+2 − 2 · 7x+1 + 5 · 7x = 280

77. 2x + 22−x = 5

78. 3x + 32−x = 10

80.

6x+2 − 4 · 6x+1 + 8 · 6x = 120

81.

2x + 22−x = 5

82. 3x + 32−x = 10

83. 3x · 5x−2 = 0,04 · 158−3x

84.

7x · 2x−3 = 0,125 · 149−2x

85. 49x − 6 · 7x − 7 = 0

86.

64x −7 ·8x −8 = 0

87. lg(2x−1) + lg(x−9) = 2 88. log6(x+ 1) + log6(2x+ 1) = 1

89. log5(5x − 4) = 1 − x

90. log3(3x − 8) = 2 − x

91. log6(x − 2) + log6(x − 1) = 1

log

3)+log (x

1) = 1

93. log2 x

log

3 = 0

94. log2 x

log

8 = 0

−

7 1 −

−

3 −

−

2 lg x

95.

= 1

96 .

= 1

97.

= 1

5−lg x

1+lg x

lg x+3

3−lg x

lg(5x−4)

2 lg x

− 0,5 log3 x

98.

= 1

99. log5 x + 0,5 log5 x

= 6

100. log3 x

= 2

lg(4x−3)

101.

log3(4x − 3) + log3(4x − 1) = 1

102.

log4(5x − 4) + log4(5x − 1) = 1

103.

4 · 9x − 7 · 12x + 3 · 16x

= 0

104.

5 · 4x − 7 · 10x + 2 · 25x = 0

105.

−

2x+2 = 5

7x−1

−

2x−1

106.

−

2x+4

= 3x−1

−

2x−2

x+3

107.

27x

+2·3

−27 = 0

108. 82/x +2(2x+3)/x −32 = 0

109. 32x+1 −2·15x −52x+1 = 0

110. 72x+1 +3·28x−42x+1 = 0 111. 6x+1 −6x = 5x−4·5x+1 +5x+2

112. xlog3 x−4 = 1/27

113. xlog2 x+2 = 256

114. logx 9x2 · log32 x = 4

115. logx 125x · log52 x = 4

116.

lg(lg x) + lg(lg x4

−

3) = 0

117. lg(lg x) + lg(lg x3

−

2) = 0

118. xlg x−2

= 1000

119.

xlg x−3 = 10000

(27x)+log3(x3/9) = 17

120. log2(4x)+log2(x2/8) = 8

121. log3

122.

log2 x

+ x

log

= 162

123. 2

log2 x

+ x

log

= 1024

124. |3

− 1|

+ |3

− 9| = 8

125.

|2x −1|+|2x−2| = 1

126. 3x +4x = 5x

127. 5x +12x = 13x

√

128.

4x − 2x − 3

√

130.

3|x|

3x+2

= 3x+2

129.

1 + 3x

−

− |

| x

x+1

3 + √

131

− |2

132

√

= 6

2| |

−x 2|

= 2

− 8

133

√

134.

5 −

−

− 6x = 0

5 +

= 10

(19 − 3x) · 2

+ 34

135

2−

(14

−

3x + 33

−

3x = 0

136.

x2 log

log x = x + 4

137

x+(x

1) log x = 12

(x+1) =

log2

−1) log2

= 6−2

138. log

−

3x 139. lg

2 3

lg(x + 1) lg(x −1) + 2 lg

(x −1)

140. 2 lg (2x −1) = lg (2x + 1) −lg(2x −1) lg(2x + 1)

√

141

142

1 + x + 3 lg

1 − x − 2 = lg

1 − x

. sin

x + 2 sin x cos x − 3 cos x = 0

143.

sin2 x + 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0

144.

6 sin2 x − 3 sin x cos x − 5 cos2 x = 2

145.

5 sin2 x + 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 3

146.

sin x + sin 3x + cos x = 0

147

−cos 3

148.

149.

2 x

5 sin x

−

7 = 0

cos

+ sin

= 0

cos 2

+ 3 sin

= 2

6 cos

+ 2

150.

2 tg(x/4)−2 ctg(x/4) = 3

151. tg(x/3)−5 ctg(x/3) = 4

152. 2 sin

x = 1+cos x

153

154.

√

155.

√

2 cos x = 1 + sin x

sin x +

3 cos x = 0

3 sin x − cos x = 0

156

−5 cos

−2 = 0

157.

158.

2 x

−5 = 0

cos 22

cos 2

+5 sin

+2 = 0

3 cos

+7 sin

159.

4 sin

x − 11 cos x − 1 = 0

160. 1 − cos 8x = sin 4x

161.

1 + cos 8x = cos 4x

. cos 9x−cos 5x =

√

162

163.

+sin 8

2 cos 3

164.

cos 2

+sin

= 0

3 sin 2x

sin 22

165

cos

2x+ cos x = 0

166. 10sin

x + 10cos

x = 11

167. 7x+1 + 7x = 3x+2 + 3x+1

−

−1

sin 2x

168

+ 8 = 9 · 8

169

= 2 sin x

170.

= −2 cos x

cos2 x

1−cos x

1+sin x

171

√

172.

√

173.

√

. cos x− 3 sin x = 2 sin 3x

3 cos x+sin x = 2 cos 3x

cos 2x = − cos x

174

√

175. √

176. √

− cos 2x = − sin x

− 2 tg x

= 2 − tg x

5 − ctg x

= 3 − ctg x

177.

sin x+sin 3x

= 0

178.

cos 3x−cos x

= 0

179. 2 sin x

−

3 cos x = 2

cos x+cos 3x

sin 3x−sin x

180.

5 sin x − 6 cos x = 5

181. cos 7x cos 3x = cos 4x

182. sin 3x cos 2x = sin 5x

183.

1+cos 2x

= 0

184.

1−cos 2x

= 0

185. sin 2x+sin x = 2 cos x+1

186. sin 2x

−

cos x =

1+sin x

1+cos x

ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð

èì ò

Ï.À. Ì ø ðî , À.À. Ìóð òî , Ã.À. Ïîïî ]

Ÿ 3. Óð í íèÿ

2 sin x − 1

187. sin 2x + cos 2x = √

sin 3x

188. sin 3x + √

cos 3x = 2 cos 5x

√

sin 2x + cos 5x − cos 9x = 0

190. √

cos 5x + sin 3x − sin 7x = 0

189.

191. sin2 x + sin2 2x = cos2 3x + cos2 4x

192. sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x + sin2 5x = 2

193. 51+4 sin(x/2) cos(x/2) −24·5cos((π/2)−x) −5 = 0 194. 43−4 sin2(x/2) +15·4sin((π/2)−x) −4 = 0

195. log9 sin 2x = log3 √

196. log1+x+sin x(x2 + x − 1) = log1+x+sin x(3x + 2)

sin x

197. cos(3x) + cos(5x/2) = 2 198. cos(2x) + cos(3x/4) = 2

199. 2 tg x + (π/4)

ctg x − 2

200.

3 tg x − (π/4)

= ctg x + 3

201.

− 2x sin(

xπ/

2) + 1 = 0

202

xπ

+ 1 = 0

203. √

204.

√

− 4

− cos 2

cos(8

)

= cos

+ sin

cos x − sin x

205. sin 2x + tg 2x = −(8/3) ctg x

206. sin 2x + tg 2x = −(5/6) ctg x

√

sin x

(4 − 5 cos x − 2 sin2 x) = 0

208.

√

(8 sin x + 5 − 2 cos 2x) = 0

207.

cos x

209

√

210. √

√

2 sin x cos 2x =

5 sin 2x − 6 sin x

2 cos x cos 2x =

6 cos 2x + 5 sin 2x

211.

(arcsin x)(arccos x) = −π2/9

212.

(arcsin x)2 + (arccos x)2 = 5π2/36

213. Н й ит н и ольший отриц т льный кор нь ур н ния 1 + sin 2x = (sin 2x −

cos 2x)2.

214. Н й ит н им ньший поло ит льный кор нь ур н -

sin 2x

x 2

215

íèÿ 5 sin−x+cos x

(cos 2

+ sin 2

) .

. Н й ит с корни ур н -

íèÿ 3 sin x+cos x

= 2, которы прин л т пром утку [−π; π].

216. Í é è-

2 sin x+cos x

т с корни ур н ния

sin x = 3, которы прин л т пром утку [0; 2π].

2 cos x− cos 3x+cos x

= 0 ïðèí ë ò ïðîì óòêó [−π/2; π/2]?

217. Сколько корн й ур н ния

1−sin x

218. Сколько корн й ур н ния sin 3x−sin x = 0 ïðèí ë èò ïðîì óòêó [π/6; 7π/6]?

1−cos x

219. Н й ит н и ольший отриц т льный кор нь ур н ния sin

x + 0,5 sin 2x = 1.

220. Н й ит н и ольший отриц т льный кор нь ур н ния cos2 x − 0,5 sin 2x

221. Сколько корн й ур н ния cos2 x + cos2 6x = 1 ïðèí ë èò ïðî-

ì óòêó [0; π/4]?

222. Сколько корн й ур н ния sin2 3x + sin2 5x = 1

ïðèí ë èò ïðîì óòêó [0; π/2]?

223. При к ких р цион льных н ч ниях

ï ð ì òðî a

î èí è êîðí é óð í íèÿ

+ ax

+ bx − 17 = 0

ð í √

2 − 1

224. При к ких р цион льных н ч ниях п р м тро a è b î èí è êîðí é óð í íèÿ
x3 + ax2 + bx − 16 = 0 ð í √2 + 1?	225. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a

óð í íè x3 − 7x2 + ax − 8 = 0 им т три йст ит льных корня, которы о р уют

îì òðè÷ ñêóþ ïðî ð ññèþ?	226. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð -
í íè x3 − 13x2 + ax − 27 = 0 им т три йст ит льных корня, которы о р уют
îì òðè÷ ñêóþ ïðî ð ññèþ?	227. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè

x4 −(a −3)x2 + a2 −5a = 0 им т три р личных корня? 228. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

ï ð ì òð a óð í íè x4 + (a + 2)x2 + a2 + 3a = 0 им т три р личных корня? 229. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè x2 + (2a − 1)x + a2 − 3a = 0


р личных поло ит льных корня?				230. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a
óð í íè x2 + (2a − 3)x + a2 − 2a = 0 им т р личных отриц т льных корня?
231. Опр лит колич ст о р ш ний ур н ния \|1 −
231. Опр лит колич ст о р ш ний ур н ния \|1 −						\|x − 2\|\| = a исимости
îò í ÷ íèÿ ï ð ì òð a	232. Îïð ëèò				колич ст о р ш ний ур н ния
îò í ÷ íèÿ ï ð ì òð a	232. Îïð ëèò

\|1 − \|x + 3\|\| = a исимости от н ч ния п р м тр a							233. Ïðè ê êèõ
íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè	2 x	3	\|	= x + a èì ò òðè ð ø íèÿ? 234. Ïðè
í ÷	\| \| \| −		\|

a óð í íè |2|x| − 5| = a − x èì ò òðè ð ø íèÿ?

√

235. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè ( x − a) x − (4/x) = 0 èì ò

èíñò ííî ð ø íè ?	236. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè
√

( x − a) x − (9/x) = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ? 237. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

ï ð ì òð a óð í íè 4x−(a+3)·2x+4a−4 = 0 им т о ин йст ит льный кор нь? 238. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè 25x + (a −1) ·5x + a −2a2 = 0 èì ò

√ éñò 2ит льных корня? 239. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè ( x−a)(3 x −4 ·3x + 3) = 0 им т р личных корня? 240. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (√x − a)(22x − 10 · 2x + 16) = 0 им т р личных корня?

241. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè 36x − (a + 5) · 6x + 6a − 6 = 0 èì ò

èíñò ííî ð ø íè ?		242. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè
16x − (a + 1) · 4x + 4a − 12 = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ?						243. Сколько р ш ний
		√
èì ò óð í íè (log2(x+1)−3)			x − a = 0	исимости от н ч ния п р м тр ?
					√		a
244	. Сколько р ш ний им т ур н ни (log3(x − 2) − 2) ×					x − a = 0	исимости

îò í ÷ íèÿ ï ð ì òð a?			245. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè
(x − a) log2(3x − 7) = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ?						246. Ïðè ê êèõ í ÷ -

íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (x + a) log3(2x − 5) = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ? 247. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (x−a)(tg x−1) = 0 èì ò èíñò í-

íûé êîð íü í ïðîì √ óòê (0; π/2]? 248. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð - í íè (x − a)(tg x + 3) = 0 èì ò èíñò ííûé êîð íü í ïðîì óòê [−π/2; 0)?

249. Опр лит колич ст о корн й ур н ния (cos x + 0,5)(sin x − a) = 0 í ïðî- ì óòê [0; 2π) исимости от н ч ния п р м тр a. 250. Îïð ëèò колич ст о корн й ур н ния (cos x − 0,5)(sin x − a) = 0 í ïðîì óòê (0; 2π] -


исимости от н ч ния п р м тр a.	251. Îïð ëèò , ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ
ï ð ì òð a óð í íèÿ sin x + 0,5 = 0 è (sin x + 0,5) sin x −(a/2)			= 0 р носильны.
252. Îïð ëèò , ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í		íèÿ	cos x − 0,5 = 0	è
252. Îïð ëèò , ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í			cos x − 0,5 = 0

(cos x − 0,5) cos x + ((a − 2)/2) = 0 р носильны.						253. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð -
	a óð í íè	2	x	−	a cos 2x = 0 èì ò í ïðîì óòê [π/4; 3π/4] корня?
ì òð		cos 2		−		2

254. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè sin 2x − a sin 2x = 0 èì ò í ïðî-

ì óòê [π/2; π] корня? 255. Опр лит колич ст о корн й ур н ния sin x = a í ïðîì óòê (−π/6; 2π/3] исимости от н ч ния п р м тр a.

256. Опр лит колич ст о корн й ур н ния cos x = a í ïðîì óòê [0; 5π/4)

исимости от н ч ния п р м тр a.	257. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð
a ïðîì óòîê [0; a] ñî ð èò í ì í òð õ êîðí é óð í íèÿ 2 cos2 x + cos x = 0?

258. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a ïðîì óòîê [0; a] ñî ð èò í ì í òð õ

êîðí é óð í íèÿ 2 cos2 x −2

√3 cos x =

259. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ

ï ð ì òð a óð í íè sin

x − (a + 0,5) sin x + (a/2)

= 0 èì ò í ïðîì óòê

[0; 5π/4] три корня?

260. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè

x − (a + (

√

èì ò í ïðîì óòê

три корня?

sin

2/2)) sin x + (

2/2)a = 0

[0; 5π/4)

261. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (x − a) arcsin (x − 7) = 0 èì ò


èíñò ííî ð ø íè ?	262. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè
(x − a) arccos (x + 5) = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ?		263. Ïðè ê êèõ í ÷ -

íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (x − 2) arcsin (x − a) = 0 èì ò èíñò ííî ð ø íè ? 264. Ïðè ê êèõ í ÷ íèÿõ ï ð ì òð a óð í íè (x − 1) arccos (x − a) = 0 èì ò

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019603 Кб2UMM_Finan_pravo_russkaya_2011.doc
#
11.11.2019517 Кб6UMM_UK_Osobennaya_DNEVNOE_2012_g.doc
#
11.11.201993 Кб10unit 1_add materials (2).docx
#
01.07.202532 Кб2Unit 4_Enquiries.docx
#
16.03.2016276 Кб76United.doc
#
13.04.2015291 Кб14UnivAlgKKZadachi.pdf
#
01.07.20252 Мб1Untitled.FR11.doc
#
01.07.2025133 Кб2urok_2_-_10_kl_-_pravo.doc
#
01.07.202592 Кб1Urok_3_-_10_klas_-_pravo-2.doc
#
01.07.2025154 Кб0Urok_4_-_10_ist_ukr.doc
#
01.07.2025458 Кб0Urok_4_-_10_kl_ist_vs_-_prichini_I_sv_viyni.doc