OnlyFormuls

П. А. Машаров]

11

Аддитивность:

a f (R )

Вычисление интеграла Римана

=

a

( )

+

c

( R)

R

Линейное свойство:

ab

λf (x) + µg(x)

dx = λ

ab f (x) dx + µ

ab g(x) dx.

R

R

a

(

)

R

a

b

x dx

c f x dx

b f x dx.

t = ϕ−−1(x)

b

R

x = ϕ(t),

β

Формула Ньютона–Лейбница:

b f x dx = F (x) b = F (b)

F (a).

Замена переменной: a

f (x) dx = ( dx = ϕ′(t) dt,

ϕ−1 : [a, b]

[α, β])

= α

f ϕ(t) ϕ′(t) dt.

(

R

a

b

(

)

a

b

R

b →

a

R

)

(R )

Интегрирование по частям:

a

u(x) dv(x) = u(x)v(x) a −

a v(x) du(x).

−

R

−

R

R

Сравнения: m b

a

6

b f x dx 6 M b

a ;

b f (x) dx

6

b

f (x)

dx.

b

Применения

определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции: S

a

f

x)

−

g

(x)

dx.

xOy (Φ) =

верхн(

нижн

1

β

2

2

ϕ

dϕ.

Площадь криволинейного сектора: SρOϕ(Φ) = 2R α

ρдальн(ϕ) − rближн( )

=

t1

(

′

( )) +

R ′

′

R gнижн2

a

′

Объем тела вращения: VOx(Ω) = π

ab

fверхн2

(x)

(x)

dx.

′

R

p

=

α

(R ) p

t2

−

b

Длина кривой: ℓ

x

t

2

(y (t))2 + (z (t))2 dt; ℓ =

1 + (f (x))2 dx.

β

Длина кривой в полярной системе координат: ℓ

ρ2

ϕ + (ρ (ϕ))2 dϕ.

пространств

Топология метрическихR

p

– внутренняя: Br(x0) E;

– внешняя: Br(x0) |E;

S

– предельная: B(x0) B′(x0) ∩ E 6= ;

– граничная: Br(x0) Br(x0) ∩E 6=

, Br(x0) ∩ |E 6= ;

(граничные точки) = ∂E;

Функции многих переменных

∂f

(x0, y0) = f ′

(x0, y0) = fx(x0, y0) =

lim

f (x0+Δx,y0)−f (x0,y0)

;

∂x

x

x→0

x

∂f

(x0, y0) = f ′

f (x0,y0+Δy)−f (x0,y0)

(x0, y0) = fy(x0, y0) =

lim

;

∂y

y

y→0

y

A и B, что

f (x0, y0) = f (x0 +

x, y0 +

y) − f (x0, y0) можно представить в виде

f (x0, y0) = A x + B

y +

x2 +

y2 , (Δx,

y) → (0, 0). Если f дифференци-

o

руема в

(

x

, y

0)

, то

∂f

x

, y

0)

= A,

∂f (x

, y

) = B.

0

∂x (

0

p

∂y

0

0

m

∂f

Дифференциалы от f в точке x

Rm: df

(

x

0) =

x

0)

dxk

первого порядка,

k

0

2

f

k=1 ∂x (

2

m

∂

dxk dxj второго.

f (x0) = δ(df (x))(x0)

δx=dx =

k,j=1 ∂xk ∂xj (x0)

d

P

Пусть функции u(x, y) и v(x, y) определены в некоторой B(x0, y0), а f (u, v) определена в

некоторой

B

(u0, v0)

P

(u0, v0) = (u(x0, y0), v(x0, y0)) . Если f (u, v) дифференцируема в

∂u

∂u

,

∂v

∂v

то в

(

x

, y

0)

существуют производные

(u0, v0) и если в (x0, y0) существуют ∂x ,

∂y

∂x ,

∂y ,

0

сложной функции f (u(x, y), v(x, y)), при этом

∂f

=

∂f ∂u +

∂f ∂v ,

∂f

=

∂f ∂u + ∂f ∂v .

Cn

Rm,

∂x

∂u ∂x

∂v ∂x

∂y

∂u ∂y

∂v ∂y

Пусть f

B

(x0))

, x

(

n >

1

). Тогда для любого

x

:

x

+

x

B

x

0)

(

0

x) = f (x0) +

n 1

0

(

существует число θ(Δx) (0, 1) : f (x0 +

k=1−

(dkf (x0)/k!) +

dnf (x0 +

θ

x

)

/n

. Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме

·

!

n

P

Лагранжа. f

(

x

0 +

x

) =

f

(

x

0) +

k=1(

dkf

(

x

0)

/k

!) +

o

(k

x

k

n

,

x

→ 0

называется

)

a

a

a11

. . .

a1m

ные миноры 1 = a11,

=

, . . . ,

=

. . .

. Тогда:

1) D(u)

2

a11

a12

m

21

22

a

. . . a

m1

mm

строго положительно определена в Rm

> 0, . . . ,

> 0; 2) D(u) строго

1

m

Rm

m

отрицательно определена в

1 < 0,

2 > 0, . . . , (−1)

m > 0.

A C

Пусть D(u) = Au12 + 2Cu1u2 + Bu22. Тогда: 1) если

2 = C B = AB − C2 < 0, то D(u)

не определена; 2) если

> 0, то D(u) определена:

при A >

положительно, при

2

A < 0 отрицательно; 3) если

2 = 0, то квадратична форма полуопределена, как

зависит от A.

Пусть f C2(B(x0)), x0 стационарная точка

∂f

(x0) = 0 k = 1, m . Тогда: 1) если

∂xk

матрица квадратичной формы дифференциала второго порядка в точке x

0

строго