Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 1.pdf

Скачиваний:

221

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Примеры решения задач

Пример 2.1. Даны матрицы A и B . Найти матрицы A + B и 5A , если

	3		2			4		−5
А=	1		2			2 −1
А=	1		2	, В	=	2 −1			.
	5					−1		3
	5		−1			−1		3
Решение. По формуле (2.2) получаем
			3 2 4 −5 3 + 4 2 −5 7 −3
											1+ 2			2 −1	=	3 1
A + B =			1 2		+	2 −1				=	1+ 2			2 −1	=	3 1	.
						−1 3					5	−1		−1+3		4 2
			5 −1			−1 3					5	−1		−1+3		4 2
Из (2.3) следует, что
			3 2			5 3				5 2				15 10
5А=						5 1				5 2				5 10
5А=	5		1 2		=	5 1				5 2		=		5 10	.
						5 5								25 −5
			5 −1			5 5			5 (−1)					25 −5
Пример 2.2. Вычислить произведение матриц A и B , если
	2	3		6			−1			2		5
A =	2	3		6	B =			4		5 9			.
A =				,	B =			4		5 9			.
	4	2
	4	2		−1				1		−8		7
								1		−8		7

Решение. Так как размеры исходных матриц (2×3) и (3×3) соответственно, то матрицы A и B можно перемножать (заметим, что произведение BA не определено). При этом размер матрицы C = AB будет равен (2×3). Вычислим матрицу С.

	2	3		−1	2	5
			6	4	5	9	=
C = AB =	4	2
			−1	1	−8	7

2 (−1) +3 4 + 6 1					2 2 +3 5 + 6 (−8)	2 5 +3 9 + 6 7	=
=	(−1) + 2		4 + (−1) 1 4 2 + 2 5 + (−1) (−8) 4 5 + 2 9 + (−1) 7				=
4	(−1) + 2		4 + (−1) 1 4 2 + 2 5 + (−1) (−8) 4 5 + 2 9 + (−1) 7
16		−29	79
=	3	26	31	.
	3	26	31

Пример 2.3. Вычислить определитель

1	3	−1
1	3	−1
2	4	0	.
5	−1	3

Решение. Вычислим определитель по правилу треугольников:

	1	3	−1
	1	3	−1
∆ =	2	4	0	=
	5	−1	3

=1 4 3 +3 0 5 + 2 (−1) (−1) −5 4 (−1) − 2 3 3 −1 (−1) 0 =16.

Пример 2.4. Вычислить определитель

1	2	1	5
2	1	1	2	.
5	3	−1	1
1	4	−2	2

Решение. Для вычисления определителя используем формулу Лапласа (2.9) разложения определителя по элементам j -го столбца. Вычисления суще-

ственно упрощаться, если предварительно преобразовать определитель, получив в строке (столбце) нулевые элементы. При получении нулей в строке (столбце) удобно использовать любой элемент aik = ±1. Разложим определитель

по элементам первого столбца ( a11 =1). обратив предварительно элементы a21, a31, a41 в нули. Все элементы первой строки умножим на (–2) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки.

1	2	1	5
0	−3	−1	−8	.
5	3	−1	1
1	4	−2	2

Умножим элементы 1-ой строки на (−5) и прибавим к соответствующим элементам второй строки

1	2	1	5
0	−3	−1	−8	.
0	−7	−6	−24
1	4	−2	2

Теперь, умножив элементы 1-ой строки на (−1) , прибавим их к соответствующим элементам третьей строки

1	2	1	5
0	−3	−1	−8	.
0	−7	−6	−24
0	2	−3	−3

Полученный определитель раскладываем по элементам первого столбца

	1		2		1	5			1	2	1	5		−3	−1	−8
	1		2		1	5			1	2	1	5
	2		1		1 2				0	−3 −1 −8
∆ =	2		1		1 2		=		0	−3 −1 −8			=1 (−1)1+1	−7	−6	−24
∆ =	5	3		-1 1			=		0	−7	−6 −24		=1 (−1)1+1	−7	−6	−24
	1		4		-2 2				0	2	−3	−3		2	−3	−3
или окончательно	1		4		-2 2				0	2	−3	−3
или окончательно
∆ = (−1)3			3		1	8		=
			3		1	8
			7		6	24
			−2 3			3

= −(3 6 3 +1 24 (−2) + 7 3 8 −8 6 (−2) −1 7 3 −3 3 24) = −33.

Пример 2.5. Вычислить определитель методом приведения к треугольному виду:

1 1 3 4

2	0	0	8 .
3	1	0	2
4	4	9	5

Решение. Последовательно выполним следующие преобразования:

1.умножим элементы первой строки на (–2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки;

2.умножим элементы первой строки на (–3) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки;

3.умножим элементы первой строки на (–4) и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки;

4.от элементов третьей строки отнимем соответствующие элементы второй строки;

5.от элементов четвертой строки отнимем соответствующие элементы третьей строки.

1	1	3	4		1	1	3	4		1	1	3	4
2	0	0	8	=	0	−2 −6		0	=	0	−2	−6	0	=
3	1	0	2		3	1	0	2		0	−2	−9	−10
4	4	9	5		4	4	9	5		4	4	9	5

	1	1	3	4		1	1	3	4
=	0	−2	−6	0	=	0	−2 −6		0	=
	0	−2	−9	−10		0	0	−3	−10
	0	0	−3	−11		0	0	−3	−11

	1	1	3	4
=	0	−2 −6		0	=1 (−2) (−3) (−1) = −6.
	0	0	−3	−10
	0	0	0	−1

Пример 2.6. Найти обратную матрицу для матрицы A , сделать проверку,

если

	1	3	4
	3	1	3
А=				.
	5	3	6

Решение. Вычислим определитель матрицы A :

det А=	1	3	4
det А=	3	1	3	=1 1 6 +5 3 3 +3 3 4 −5 1 4 −3 3 6 −1 3 3 = 4.
	5	3	6

Поскольку det A ≠ 0 , то существует обратная матрица A−1 . Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A .

A	1+1		1			3		= −3;	A		= (−1)		2+1			3		4		= −6;
A	= (−1)							= −3;	A		= (−1)									= −6;
11			3			6			21							3		6
			3			6										3		6
A		1+2			3	3		= −3;	A		= (−1)			2+2			1	4			= −14;
		1+2			3	3								2+2			1	4
	= (−1)
12					5	6			22								5	6
					5	6											5	6
A		1+3		3		1	= 4;		A	= (−1)		2+3			1			3	=12;
		1+3		3		1						2+3			1			3
	= (−1)
13				5		3			23						5			3
				5		3									5			3

A		= (−1)3+1					3 4			= 5;				A	= (−1)3+2		1 4		=9;
31							1		3					32			3	3
							1		3								3	3
A		= (−1)3+3						1 3			= −8.
A		= (−1)3+3						1 3			= −8.
33								3	1
								3	1
Тогда				−3					−6			5
			1	−3					−6			5
A	−1	=	1		−3			−14				9
A		=	4		−3			−14				9	.
			4		4				12			−8
					4				12			−8
Сделаем проверку:
					1	−3 −6 5								1 3 4
A	−1	A =			1	−3 −14 9								3 1 3		=
A		A =			4	−3 −14 9								3 1 3		=
					4	4			12				−8	5	3 6
						4			12				−8	5	3 6

		1	−3 −18 + 25 −9 −6 +15 −12 −18 +30
=		1						−9 −14 + 27 −12 − 42 +54			=
=		4	−3 − 42 + 45					−9 −14 + 27 −12 − 42 +54			=
		4		4 +36 − 40				12	+12 − 24 16 +36 − 48
				4 +36 − 40				12	+12 − 24 16 +36 − 48
	1		4	0	0		1	0	0
=	1		0	4	0		0 1		0
=	4		0	4	0	=	0 1		0	= Е.
	4		0	0	4		0	0	1
			0	0	4		0	0	1

Пример 2.7. С помощью элементарных преобразований найти ранг мат-

рицы

	2	1	2	3	5
	−1	3	−3	4	1
А=						.
	1	4	−1	7	6

	3	−2	5	−1	4

Решение. Выполним элементарные преобразования матрицы, не изменяя ее ранга:

1.поменяем местами первую и третью строки матрицы;

2.к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки;

3.умножим элементы первой строки на (–2) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки;

4.умножим элементы первой строки на (–3) и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки:


2	1	2	3	5	1	4	−1	7	6	1		4	−1 7		6
−1	3	−3	4	1	−1 3		−3	4	1		0	7	−4 11		7
																.
1	4	−1	7	6	2	1	2	3	5		0	−7 4		−11	−7

3	−2 5		−1 4		3	−2 5		−1 4			0	−14 8		−22 −14

Затем прибавим к элементам третьей строки соответствующие элементы второй строки и к элементам четвертой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на 2.


1		4	−1 7		6	1	4	−1 7		6
	0	7	−4 11		7	0	7	−4 11 7
											.
	0	−7 4		−11	−7	0	0	0	0	0

	0	−14 8		−22 −14		0	0	0	0	0

Последняя матрица эквивалентна исходной и ее ранг равен 2, т.к. сущест-

вует не нулевой минор второго порядка, например,	1	4	и все миноры
вует не нулевой минор второго порядка, например,	0	7	и все миноры
	0	7

третьего порядка, очевидно, равно нулю. Следовательно, ранг исходной матрицы так же равен 2.

Пример 2.8. Найти ранг матрицы A методом окаймления миноров, если

	1	2	−1	3
	2	1	−3	5
A =					.
	5	4	−7	13

Решение. Выбираем любой ненулевой минор второго порядка, например,

минор 12 12 . Выписываем миноры третьего порядка, окаймляющие выбранный ненулевой минор второго порядка. Таких миноров два:

1	2	−1		и	1	2	3
1	2	−1			1	2	3
2	1	−3	= 0		2	1	5	= 0 .
5	4	−7			5	4	13

Так как оба минора третьего порядка равны нулю, то ранг исходной матрицы равен двум.

					Задания для самостоятельного решения
2.1.	Найти матрицы: 1) 2A +5B ; 2) 3B − 2A ; 3) AT																			− B ; 4) 2AT +5BT , если
		3		5				2			3
А=		4		1	,	В =		1		−2		.
		4		1				1		−2
2.2.	Найти матрицы: 1) 3A + 4B ; 2) 7B − 2A ; 3) AT −3B ; 4) AT																					+ 2BT , если
		1 0 −3						4 −1 7
									6			0 5
А=		5 4 −1				, В =			6			0 5		.
									−3 1 2
		2 3 0							−3 1 2
2.3.	Найти произведения AB и BA матриц A и B , если
			1 3 1						2 1 0									1 4 −1				−2 0
1) А=				2 0 4			, В	=		1		−1 2						1 4 −1				1 3	;
1) А=				2 0 4			, В	=		1		−1 2			; 2) А=						, В =	1 3	;
				1 2 3						3 3 1								2 0 −1				−1 1
				1 2 3						3 3 1												−1 1
			2 1 −3								3	0						2	1		−3 4 1
3) А=			2 1 −3								4 1										−3 4 1
3) А=				4 1 2		, В =					4 1		;			4) А= −3 2				, В =		.
				4 1 2							1							4	5		1 1 1
											1	−1						4	5
2.4. Даны матрицы
		3		2			3 −1				4					3	7 −1
		−1 0					3 −1				4					4 2		0
A =		−1 0			, B =		2	5				, C =				4 2		0	.
		4		5			2	5			−7					5	−1	4
		4		5												5	−1	4

Какие из произведений АВ; ВА; АС; СА; ВС; СВ определены? Найти их. 2.5. Даны матрицы

	4	−1			−1 1 0		1 4
	2	1			−1 1 0		1 4
A =	2	1		, B =		, C =		.
	0		3		3 −5 4		−2 5
	0		3
Определены ли произведения АВ; ВА; АС; СА; (ВА)С; С(ВА). Если да, то
найти их.								f (x) = x2 +3x − 4 и
2.6. Дана матрица А. Найти f ( A) , если								f (x) = x2 +3x − 4 и
1) А=			3	1			−1 2	3)	2 3
1) А=			4	;	2) А=		;	3)	А=	.
			4	1			1 3		−1 6
2.7. Дана матрица А. Найти						f ( A) , если		f (x) =3x2 −2x +5 .

					7	−1												2 1 −1																		4 1 0
					7	−1													0 3 1																−3 0 1
1) А=							;								2) А=				0 3 1								;		3) А=						−3 0 1						.
					2	3													−2 1 0
																			−2 1 0																	2 1 −1
2.8. Найти матрицы:
1) (3A − 2C) (3B + D);																						2) (3B + D) (3A − 2C) ;
3) (2AT −3B) (2C + DT );																						4) (2C + DT ) (2AT −3B) , если
				1	2						4 −1 0										3	4							−8 4 5
				3 −5							4 −1 0										0	−3	, D						−8 4 5
A =				3 −5		, B =										, C =					0	−3	, D				=		−1 −3 14						.
				4	0						2 2 −6										5	2							−1 −3 14
				4	0																5	2
2.9. Вычислить определители:
1)	1			2	;	2)				2	−3			;	3)		3		−2			;	4)			4			−12	;	5)					sinα −cosα							.
1)	1			2	;	2)				2	−3			;	3)		3		−2			;	4)			4			−12	;	5)					sinα −cosα							.
	3			4						7	1						0		9							2			0							cosα sinα
2.10. Вычислить определители:
			2 4 1									2 3 4												1 2							5								2 −3 3


1)			−1 3 5				;				1)		5 −2 1					;				3)			3 −4						7			; 4)			4			1 −2					;
			8 −2 6									1 2 3													−3 12 −15													−1 5 0

			4 −1 2					; 6)					1 −2 −4												4 −2 7														3 −1 5


5)			−3 3 5										3		0	7				;		7)			2 −8 6							;				8)			2 3 −7					.
			1 −7 0										−6 11 9												−11 3 14														6 15 0

2.11. Вычислить определители:
			2 0 1 0													2 −5 1 2																	1 0 6 3
			2 0 1 0													2 −5 1 2																	1 0 6 3
1)			1 2 0 1						;						2)	−3 7 −1 4											;		3)				−2 3 −3 −2									;
			0 1 3 4													5 −9 2 7																	−1 2 4 2
			1 0 1 1													4 −6 1 2																	−3 3 1 0
		3			0 2 6											4 −7 2 1																	1 −4 7 4
		3			0 2 6											4 −7 2 1																	1 −4 7 4
4)			−1 5 0 0								;				5)	−2 5						8 −4						;	6)				−3 5 9 1								.
		0			4 7 1											6				3 −2 9													5 −2 0 4
		2			1 3 −1											−4 8 7							2										−7 3 5 10

2.12. Дана матрица A . Найти обратную матрицу. Выполнить проверку,

если


	3	2 2				3 −1 0						−1 3 −2
	1					−2 1 1				;		2 −1 3		;
1) А=	1	3 1 ;			2) А=	−2 1 1				;	3) А=	2 −1 3		;
	2					2 −1 4						2 −3 4
	2	1 −1				2 −1 4						2 −3 4
1 −1 2						1	4 2					2 2 1
				;		3	−1 4		;			3 3 1
4) А= 1 1 −2				;	5) А=	3	−1 4		;		6) А=	3 3 1	;
						2	−5 3					2 −1 0
1 1 4						2	−5 3					2 −1 0
	1	2 1				4	2 1
	1		;			2	1 5
7) А=	1	0 1	;		8) А=	2	1 5	.
	2					1	−1 3
	2	−1 1				1	−1 3

2.13. Найти обратную матрицу для матрицы A . Сделать проверку.
		1 1 1 1										1 2 3 5									2 3 1 1

1) A = 1 1					−1		−1			; 2) A =			2 1 4 1					; 3) A = −1 −2 0 2								.
				−1 1									3 5 7 9								1 0 4 1
		1		−1 1			−1						3 5 7 9								1 0 4 1
		1 −1 −1 1											1 −1 2 −2								1 −1 1 5
2.14. Решить матричные уравнения:
1)	1 −1				0 −4						;					2) X		1 −1 1 5						;
1)	2 3			X =							;					2) X				=				;
	2 3				5 7													1 2 7 8
3) X		5 −3 4 −3														4) X		1 −1 0 0						;
3) X				=							;					4) X				=				;
		2	−1 15 −8															1 2 0 0
5)	2 4			X	−1 2					12 6					;		2 7			−7 −8
5)				X		3					=				;	6) X		3 5		=			;
	3 −1					3		−1 −17 9										3 5			2 18
	−1 5 3									18 17 12							1 2 1 7 5 7
7)	2 −3 1					X =				−1 1 −3					;				2 1 2			3 6 3
7)	2 −3 1					X =				−1 1 −3					;	8) X			2 1 2		=	3 6 3			;
																			1 2 1			3 9 3
	−4 2 −1									−3 −2 −1									1 2 1			3 9 3
	1 1 −2							−1 −2 2								−1 1 1
9)	−1 −1 3					X			1
9)	−1 −1 3					X			1			1 −1		=		1 0 −3 .
									0 −3 2							−1 0 3
	1 2 −4								0 −3 2							−1 0 3
2.15. Вычислить:
1)	1	−1 3				2)		2		−3		4		3)		sinα	−cosα			n		4)	−2		3	n
1)	2	3		;		2)		1			4	;		3)			sinα			;		4)			2	.
	2	3						1			4					cosα	sinα						1		2

2.16. Матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA. Найти все матрицы перестановочные с матрицей A , если

1)	1		0	;	2)	1		3	;	3)	1		2	;	4)	1		2
	A =	2	1			A =	0	1			A =	2	1			A =	3	4	.

2.17. Найти ранг матрицы методом окаймления миноров:


1		1 2		−1					1	2	3	4			3	5	7
	2	0 1				;			2	4	6	8	;		1	2	3	;
А=	2	0 1		2		;		2) А=	2	4	6	8	;	3) А=	1	2	3	;
	4	0 3		1					3	6	9	12			1	3	5
	4	0 3		1					3	6	9	12			1	3	5
			1 2		3	−5			1	−2 5 −4					4	2	−1
4) А=			−5 7		0	4	;		2	3		6	0		5	3	0
4) А=			−5 7		0	4	;	5) А=	2	3		6	0	; 6) А=	5	3	0	.
			3 1		5	1			3	−6 15 −12					1	1	1
			3 1		5	1			3	−6 15 −12					1	1	1

2.18. При помощи элементарных преобразований найти ранг матрицы:

															1		2	−1
		−1 2 5							3 5 −1 2 4						2		4 −2
		−1 2 5							3 5 −1 2 4						2		4 −2
1) А=		4 3 8					2)			−1 2 0 1 5		;	3)		4		8 −4		;
1) А=		4 3 8			;		2)			−1 2 0 1 5		;	3)		4		8 −4		;
		−5 2 3								1 9 −1 4 14					5	10 −5
		−5 2 3								1 9 −1 4 14					5	10 −5
															6	12		−6
															6	12		−6
		1	3		2	2	4				2 2		−1	4		7
		−1 3			5 −1 3						2 2		−1	4		7
		−1 3			5 −1 3						3 −2		4 −3 2
4) A =		2 −1						;		5) A =	3 −2		4 −3 2
4) A =		2 −1			4 5 −1			;		5) A =	1 5		4 −1 9				.
		1	2		9	4	2				3 −3 4 −2 2
		3	8	11		6	6				3 −3 4 −2 2
		3	8	11		6	6
2.19.	Определить ранг матрицы
a		1	1
	1	a	1
А=	1	a	1
	1	1	a
	1	1	a

взависимости от числа a .

2.20.Показать, что если A и B – квадратные матрицы одного порядка и

AB ≠ BA, то

1)(A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2 ;

2)A2 − B2 ≠ (A + B)(A − B).

Задания для индивидуальной работы № 5

Задание 5.1. Даны матрицы (табл.5.1). Найти матрицы:

1) (2А−3С) (В−2СТ ); 2) ( А− ВТ ) (2В−СТ ); 3) ( АТ − В) (2С − А).

										Таблица 5.1

Номер			A					B		C
варианта

1		3 6 4					5	1	3	−3 4
							−4 3

		2	−2 1				2	7	4	5 6

2		−3 6 −1			−2			3	1 0 3
							1	2
			2 3							−
	1					−1		4	4		5 2

3	7		−1 2			2		−1	1	−3 3
					1			5
		3
			1 4			3		7	5	− 4 2

4	5 4 0					5		2	5 1		− 4
						2		−1
										2
	−1 2 −3					3		7	3		1

5	−3 1 4				−3			1	6	−3 5
						4		2
										−
	2 0 −1					−1		7	0		1 6

6	3 − 2 −7				2			−1	3	−3 4
						−5		2
	2		1 3			0		5	4	5 6

7	3 0 − 2					2		−3	3 1 4
							0	5
										−
	1		−5 4			7		− 4	7		5 2

8		−7 1 −2			−2			3	1	−2 3
						4		1
		5
			1 −4			0		7	7	4 0

9	−5 − 2 0				−5			2	5 1		− 4
			3			3		−1		2
	1			4				9	3		1
					1
10	−3 1 −5				−3			3	−6		5 4
						−5		2
		2 10 −1							0	1 6
						−1		0
11		1 6 3			1			4	3	7	2
							2	−3
		2 0 1					2	7	5	−1 6

Продолжение табл. 5.1

12	3		− 4 0	−2			1	−1	2 3
						1	2

	1		2 −1		−5		3	4	5 7

13	0		−1 −2	1			−1	7	−3 −1
					−2		5

	3		2 4		3		0	0	−4 2

14		−5 1 4		1			9	5	−1	4
						−5	2

	1		3 −3			3	7	4	0	5

15	3 1 − 4			−3			1	5	−3 5
						1	3

	2 2 −1				−7		7	1	− 4 9

16	5 2 −7				2		−1	3	−3 4
					5		−3

	1		1 3		0		4	4	5 6

17		3	−6 4			2	1	1	−3 −5
						−4	3

		2 −2 1				2	8	4	6 6

18	3		−6 1	−2			2	1	4 5
					7		−3

	2		2 4				0	−4 0 2
				−1
19	2		−1 2		2		−1	1 3 −3
				1			3

	−1		1 4		3		−7	4 4 0

20		−5 4 0			2		2	4 1		− 4
				1			−1

	3 −2 3				3		−8	3	−3	1

21	3		1 −5			3	1	6	−3 0
						−4	2

	−2 0 −1							2	−1 4
				1 8
22	1		−2 −7		2		−1	3	−3 1
					3		− 2

	2 −5 3				0		5	−4	4 6

23	3		7 − 2		2		−3	2 1 0
					1		3

	−1		−5 1					7	−4 2
				7			− 2

Окончание табл. 5.1

24	7 1 − 2						−2			0		1	−2 7
	7 1 − 2							5		1		1	−2 7
								5		1
	1				−1 3			0		7		2	4 0
	1				−1 3			0		7		2	4 0
25	5				− 2 −1		−5			−3		5 1		0
	5				− 2 −1			2		−1		5 1		0
								2		−1
	4				3	4				9		−3	2		2
	4				3	4	1			9		−3	2		2
26		−3			−3 5		−3			0		−6	5 4
		−3			−3 5				4	2		−6	5 4
									4	2
	4 1 −1							−1 7				−2	0 6
	4 1 −1							−1 7				−2	0 6
27		5 6 −3					1			4		−3	7		4
		5 6 −3							−2	3		−3	7		4
									−2	3
		2 1 1							2	5		5	−3 6
		2 1 1							2	5		5	−3 6
28	3				−1 0		−2			1		−1	2 1
	3				−1 0				2	7		−1	2 1
									2	7
	−1				2 −3			−5		3		8	5 7
	−1				2 −3			−5		3		8	5 7
29	0				−1 −5			9		−1		1	−3 −1
	0				−1 −5			−2		7		1	−3 −1
								−2		7
	3				3 4				4	0		0	−5 3
	3				3 4				4	0		0	−5 3
30			−5 2 6				1			3		5	−1 1
			−5 2 6						−5	2		5	−1 1
									−5	2
	1				1 −3				3	4		0	4	5
	1				1 −3				3	4		0	4	5
Задание 5.2. Найти матрицу, обратную для матрицы A (табл. 5.2). Сде-
лать проверку.													Таблица 5.2
													Таблица 5.2

Номер						A	Номер					A
варианта							варианта
1			2 7 0						16		−3 7 0
				4 4 −5								4 −5	−1

				8 −3 1							1 −3 1
2			3 7 3						17		−2 7 5
					4 1 4							3 −4	−1

					0 −3 1						1 7 1
3			0 9 3						18		−3 7 −4
					4 5 1							6 −4	−1

					7 −3 1						1 8 1

Окончание табл. 5.2


4	3 −7 3					19	−2 6 9
			2 10 5					2 −4 −1
			−1					−1 7 4
				−3 1
5	2 2 −3					20	5				4 5
			4	−1 4				3 −4 −1
				−3 −4				−1 7 3
	1
6	3 7 −1					21	−3 −1 0
		−4 4 −5							3 5 −1
				−3 2					2 0 5
	8
7	3 7 4					22	2				3 7
	5 −2 5							3 −4 −1
				−3 3				−1 9 4
	1
8	3 9 3					23	3 7				4
			4 8 2						0 −5 −1
		0
				−3 −1			1 8 7
9	−3 −7 3					24	1				6 9
		2		− 2 6					2 −4 1
		−1		−3 4					−3 7 5

10	2 2 −3					25	5				4 5
			7	−1 4				3 −4 −1
				−3 −4				−1 7 3
	1
11	5 7				4	26	−3 7 7
			4 −3 2						−4 5 −2
				−3 1
	1						1 −3 0
12	−3 6 3					27	0 7				5
			5 2 −4						3 −5 −1
			0	−3 1
							1 7 3
13	0 9 2					28	3 6 −4
			5 −5 1						6 −5 −1
			7	−3 0
							1 0 9
14	3 −7 3					29	−2 0 9
			4 10 −5						3 −4 −1
			−1	−3 1					−1 1 4

15	0 2 −3					30	1			4 −5
		5 −1 2						−3 −4 −1
		3		−3 −4				−2 0 6

Задание 5.3. Найти ранг матрицы A (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Номер			Номер					A
варианта			варианта
1		−1 5 8 1 2	16	1 3 −7 1 9
		4 4 1 2 1				5 6 −16 4 10

		3 9 −9 3 1				4 3 −9 3 1

		3 9 9 3 3				6 9 −23 5 19
2		1 4 3 1 2	17	2 −3 5 3 9
		−1 5 0 4 7			3 −6 7 6 14

		3 4 −9 0 1			1 −3 2 3 5

		−2 1 −3 3 5			4 −6 −10 6 18
3		5 −4 8 3 2	18		1 −3 2 1 8
		2 −1 5 2 7					5 3 6 4 1

		7 −5 13 5 9
							7 1 3 3 −1
	−3 4 1 3 2						6 0 8 5 9
4	−1 2 8 3 2		19	3 −1 7 2 9
						7 0 16 2 10
		5 4 7 2 −1
		4 6 15 5 1				4 1 9 0 1

	−2 4 16 6 5			11 1 25 2 11
5		1 3 2 −1 2	20	−1 2 −7 3 9
		4 12 6 −4 5
						−2 3 6 1 −1
		2 6 4 −2 4					2	1 −3 1 1

		5 9 4 −3 3					4	9 −3 5 9
6		2 1 −3 1 2	21		1			2 −7 1 8
		1 −4 1 5 1					4	6 6 4 0

		3 −3 −2 6 3					5	8 −1 5 8

		3 7 9 4 3					6	8 −8 6 16
7		3 −2 1 1 2	22		1 −3 7 3 0
		1 6 −3 4 7					3	0 9 7 5

		3 −4 9 0 1					2	3 2 4 5

		6 −6 10 1 3					2	−6 14 6 0

Окончание табл. 5.3

1 −3 2 1 2

2 −3 2 1 7

5 4 6 0 1

6 −7 3 4 11

3 1 2 3 −5

5 −4 1 3 9

6 −7 3 4 11

6 −2 4 4 16

1 3 8 4 2

3 1 −5 2 0

2 4 5 −1 3

2 0 1 −1 10

3 7 13 3 3

1 0 −14 1 1

4 10 21 7 5

5 1 −4 1 10

−1 2 −3 −1 2

1 −2 5 1 9

4 1 5 −4 0

2 −3 4 0 −1

3 3 2 −5 2

3 −5 9 1 8

7 4 7 −9 2

5 −8 13 1 7

2 0 −2 0 5

−2 2 4 3 1

1 −5 4 5 2

4 −2 7 4 3

−3 −2 5 2 7

−5 7 −1 −5 4

3 3 −6 −3 3

7 8 9 2 7

1 −2 3 5 2

1 −3 7 3 0

−2 5 −3 2 7

3 0 9 7 5

−1 3 0 7 9

2 3 2 4 5

−3 8 −3 9 16

2 −6 14 6 0

2 −1 7 1 3

−1 5 −3 1 5

5 −5 9 4 −4

6 4 2 −5 1

3 −4 2 3 −7

4 1 −2 1 −5

2 −1 7 1 3

3 6 −5 2 0

2 3 −7 4 2

−5 1 3 2 0

5 4 1 −1 3

1 −2 4 −1 10

3 7 13 0 3

−4 −1 7 1 10

7 7 −6 3 5

6 1 −4 3 10

−1 5 0 −1 2

2 −2 5 −1 3

3 1 −2 −4 0

2 1 4 0 −1

2 6 −2 −5 2

4 −1 9 −1 2

6 7 −4 −9 2

1 −8 0 1 −7

Задание 5.4. Вычислить определитель матрицы A (табл. 5.4).

Таблица 5.4

Номер			A		Номер				A
варианта					варианта
1	1	2	−5 2		16		−2 1 −1 0
	−2 1 −4 −2							2	−3 5 4
	−2 1 −4 −2							2	−3 5 4
	0	2	2	−2				7	1 −3 3
	0	2	2	−2				7	1 −3 3
	−1 −2 0 2							1	−1 2 1
2	3	2	−5 2		17			5	1 0 0
	−2 1 −4 −7						−3 −3 5 4
	−2 1 −4 −7						−3 −3 5 4
	0	2	0 −2					7	2 −3 1
	0	2	0 −2					7	2 −3 1
	−1 −2 0 9							1	−1 4 1
3	3	−2 −5 4			18	5			1 −1 0
	−2	1	−4 −2					2	−2 5 4
	−2	1	−4 −2					2	−2 5 4
	5	1	2 −2					7	1 7 3
	5	1	2 −2					7	1 7 3
	−1 −2 0 1							1 −1 2 4
4	7	3 −5 −1			19		−2 1 −1 5
	−2 1 0 −2							3 0 5 4
	−2 1 0 −2							3 0 5 4
	1	5 2 −2					−1 1 −3 2
	1	5 2 −2					−1 1 −3 2
	−1 −2 0 2							1 −1 2 1
5	1	2	−5 2		20		−2 1 −1 0
	−2 1 −4 −2							2	−3 5 4
	−2 1 −4 −2							2	−3 5 4
	0	2	2 −2					7	1 −3 3
	0	2	2 −2					7	1 −3 3
	−1 −2 0 2							1	−1 2 1
6	1 4		−5 −1		21		−1 0 −1 3
	3 1		−3 −2					2	−3 7 4
	3 1		−3 −2					2	−3 7 4
	0 −2 1 −2							0	4 −3 3
	0 −2 1 −2							0	4 −3 3
	−1 −2 0 3							1	−1 2 1
7	0	−2 6 2			22		−6 1 4 0
	−2	1	−4 −7				−3 −3 5 4
	−2	1	−4 −7				−3 −3 5 4
	3	1	5 −1					0	7 −2 1
	3	1	5 −1					0	7 −2 1
	−1 3 0 7							1 −1 5 1

8	−3			−2	5	4	23
			2	1	−4	2

			0	1	1	3

			−1	−2	0	1
9	−1			3	2	−1	24
			−2	1	0	1

			1	0	4	2

			−1	−2	7	9
10			3	2	−5	2	25
			−2	1	5	3

			1	0	2	1

			−1	−2	0	2
11			1	0	−5	7	26
		−2		1	−4	2

			0	3	5	−2

		−1		−2	0	3
12			3	2	5	2	27
		−5		1	−4	−7

			4	2	0	2

		−1		−5	0	1
13	−7			−2	0	4	28
		−2		1	−2	−2

			5	3	2	−2

		−1		−2	0	1
14			0	3	4	1	29
			−2	1	5	−2

			1	5	2	−2

			−1	−2	0	3
15			3	2	−5	7	30
		−2		1	4	−2

			1	0	2	−1

			1	−2	0	2

Окончание табл. 5.4

−5		1	−1	4
	0	−2	−3	4

	7	5	7	3

	1	−1	2	2
−2		1	−1	5
	3	0	5	4

	−1	1	−3	2

	1	−1	2	1
−2		1	−5	3
	−1	−3	5	4

	7	1	0	3

	1	−4	2	1
−2		1	3	0
	1	0	1	4

	7	1	−5	3

	1	−1	2	7
−2		1	0	3
	−3	2	5	4

	−1	2	−3	1

	1	−1	4	7
	5	1	−3	0
	−2	−2	5	4

	7	4	7	1

	1	−1	3	4
−3		1	−1	3
	3	0	7	4

	−2	1	−3	2

	1	−1	0	4
−2		1	−1	0
	0	−7	5	4

	7	5	3	3

	1	−1	2	4

Тема 2

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система

вида

а х	+ а х		+... + а х			= b ,
11 1	12 2			1n n		1
а21х1 + а22 х2 +... + а2n хn = b2							,	(2.11)
.............................................								(2.11)

а х	+ а	х	2	+... + а	х = b .
m1 1	m2		2		mn	n	m

Система уравнений (2.11) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

Множество всех решений системы (2.11) называется ее общим решением. Решить систему – значит найти ее общее решение.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Рассмотрим матрицы

a11	a12 ...
a	a		...
А= 21		22

... ... ...
am1	am2 ...

a1n

a2n , Х

...

amn

х1

=х...2 , B

хn

b1
b	,	(2.12)
= 2	,	(2.12)

...
bm

где A – матрица коэффициентов системы (или матрица системы); Х – матрица (вектор – столбец) неизвестных переменных;

B – матрица (вектор – столбец) свободных членов.

Тогда систему (2.11) можно записать следующим образом:
АХ = В.	(2.13)

Уравнение (2.13) называется матричной формой записи системы линейных уравнений (2.11).

Матрица вида

a11

a12

...

a1n

...

А =(А

B)=

(2.14)

... ...

...

называется расширенной матрицей системы.

Исследование совместимости систем

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (2.11) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A системы равен рангу расширенной матрицы (А В). Если, кроме того, r( A) = r( АВ) = n, т.е. ранг

матриц A и (А В) равен числу неизвестных переменных системы, то система имеет единственное решение. Если же r( A) = r( АВ) < n, то система имеет

бесконечное множество решений, причем значения n − r неизвестных можно выбрать произвольно.

Пусть система (2.11) совместна, т.е. r( A) = r( А В) = r . В матрице A нену-

левой минор порядка r называется базисным. Если n = r , то все неизвестные переменные определяются единственным образом. Если n > r , то r переменных, коэффициенты при которых входят в базисный определитель, называются базисными. Оставшиеся n − r переменных, называются свободными. Значения свободных переменных выбираются произвольно. Если свободные переменные выбраны, то базисные переменные можно выбрать единственным образом. Если свободные переменные равны нулю, то соответствующее решение системы уравнение (2.11) называется базисным.

Методы решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

а	х +	а х		2	+... + а		х	=b ,
11	1	12		2		1n	n	1
a21x1 + а22 х2 +... + а2n хn = b2 ,										(2.15)
.............................................										(2.15)

a	x +	а	х			+... + а	х	= b .
n1 1		n2		2		nn n		n
						Метод Крамера
Если матрица		A				коэффициентов системы				(2.15) невырожденная
( det A ≠ 0 ), то система имеет единственное решение, которое имеет вид:
х =	∆1 ,	х		=		∆2 ,..., х		= ∆n	,	(2.16)
1	∆	2				∆	n	∆

где ∆ – определитель матрицы A коэффициентов системы и определители ∆i , (i =1,2,..., n) получены из определителя ∆ заменой i-го столбца столбцом сво-

бодных членов.

Формулы (2.16) называются формулами Крамера.

Метод обратной матрицы

Если матрица коэффициентов A системы (2.15) невырожденная, то для нее существует обратная матрица A−1 . Умножив обе части уравнения (2.13’)

слева на матрицуA−1 , получим
A−1 AX = X −1B ,
откуда
X = A−1B .	(2.17)

Таким образом, если матрица A коэффициентов системы (2.15) невырожденная, то система имеет единственное решение, которое можно вычислить по формуле (2.17).

Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений вида (2.11) заключа-

ется в последовательном исключение переменных. Согласно этому методу, сис-

тема уравнений (2.11) с помощью элементарных преобразований приводится к специальному виду, который позволяет определить неизвестные переменные. После преобразований по методу Гаусса в каждом уравнение системы имеется неизвестная переменная, входящая в это уравнение с ненулевым коэффициентом, а в остальные уравнения системы эта переменная входит с нулевым коэффициентом. Эти неизвестные являются базисными. Остальные переменные (если такие есть) – свободные.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений назы-

ваются:

1)перестановка уравнений;

2)умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное

нулю;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже произвольное число.

Метод Жордана – Гаусса

Метод Жордана – Гаусса является модификацией метода Гаусса. В этом случае расширенную матрицу исходной системы приводят к диагональному виду, исключая неизвестные не только из последующих, но и из предыдущих уравнений.

Общее решение систем линейных уравнений

Пусть для системы уравнений (2.11) справедливо равенство r (A)< n , т.е. система имеет бесконечное множество решений. Неизвестная переменная xk называется разрешенной, если одно уравнение системы содержит xk с коэффи-

циентом равным единице, а во всех остальных уравнениях с коэффициентом равным нулю. Система уравнений называется разрешенной, если все ее уравнения содержат разрешенные переменные. Общим решением совместной системы линейных уравнений (2.11) называется равносильная ей разрешенная система, в которой разрешенные переменные выражены через свободные. Если в общем решении свободным переменным придать какие-либо числовые значения, то полученное решение называется частным.

Общее решение системы можно найти с помощью формул Крамера или метода Гаусса.

Построение общего решения с помощью формул Крамера

1)Выяснить, является ли совместной данная система уравнений.

2)Выбрать один любой ненулевой минор M матрицы A системы уравнений, порядок которого равен рангу матрицы A .

3)Выписать все уравнения системы, содержащие строки минора M . В этих уравнениях в левой части оставить только те неизвестные переменные, коэффициенты при которых являются столбцами минора M , остальные неизвестные переменные перенести в правую часть.

4)Составленную в пункте 3. систему уравнений решить по формулам Крамера (2.16).

Построение общего решения методом Гаусса

1)Проверить, является ли система уравнений разрешенной. Если система разрешенная, то построить общее решение, разрешая неизвестные переменные через свободные.

2)Найти в системе уравнение, не содержащее разрешенной переменной.

Спомощью элементарных преобразований получить в этом уравнение неизвестное с коэффициентом единица и исключить эту переменную из остальных уравнений системы.

3)Вычеркнуть в системе все тривиальные уравнения, если такие есть.

4)Перейти к пункту 1. Через конечное число шагов процесс остановиться и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.

Системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим однородную систему уравнений

а х + а х +... + а х = 0,
11 1	12 2	1n n
а21х1 + а22 х2 +... + а2n хn = 0,			(2.18)
.............................................			(2.18)

а х	+ а х	+... + а х = 0.
n1 1	n2 2	nn n

Система (2.18) всегда совместно, т.к. всегда имеет нулевое решение x1 = 0 , x2 = 0 ,…, xn = 0 , которое называется тривиальным. Согласно теореме

Кронекера – Капелле, если r = n , то однородная система имеет только тривиальное решение. Если r < n , то система (2.18) имеет n − r решений, отличных от тривиального. Следовательно, однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда det( A) = 0 .

Пусть система (2.18) имеет n − r ненулевых решений, тогда ее можно записать в виде:

а11х1 + а12 х2 ...+ + а1r хr = −а1r+1хr+1 −... − а1n хn ,
а х + а х ...+ + а			х = −а	х	−... − а		х ,
	21 1	22 2	2r r	2r+1 r+1			2n n	(2.19)
..........................................................................								(2.19)
				х	− − а		х .
а х + а х ...+ + а х = −а				х	− − а		х .
	r1 1	r 2 2	r n r	rr+1 r+1		r n n

Рассмотрим произвольный определитель

	c1,r+1	c1,r+2	c1,n
∆ =	c2,r+1	c2,r+2	c2,n	≠ 0 .
	cn−r ,r+1	cn−r,r+2	cn−r ,n

Взяв элементы i -ой строки определителя ∆ в качестве значений свободных переменных и подставив их в систему (2.19), получим n − r решений системы уравнений в виде xi1, xi2 ,..., xir ,cir+1,...,cin , i =1,2,..., n −r . Такая система решений однородной системы уравнений (2.18) называется фундаментальной. Любое решение однородной системы уравнений (2.18) можно представить в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений. Общее решений системы (2.11) равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующей однородной системы уравнений (2.18).

Примеры решения задач

Пример 2.9. Решить систему уравнений.

х1 − х2 + х3 = 6,х1 − 2х2 + х3 = 9,х1 − 4х2 − 2х3 = 3

методом Крамера и матричным способом.

Решение. Составим определитель матрицы коэффициентов системы

−1

1+1

−1

∆ =

−2

−1

= (1)

−3

= 3.

−4

−2

−3

Т.к. ∆ ≠ 0 , то данная система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (2.16) или формуле (2.17).

1. Решим систему методом Крамера. Для этого вычислим определители ∆1, ∆2 , ∆3 , заменяя в определителе ∆ соответствующие столбцы столбцом из

свободных членов:

	6	−1 1		= −3 , ∆2 =	1	6	1		1	−1 6		=12 .
	6	−1 1			1	6	1		1	−1 6
∆1 =	9	−2	1		1	9	1	= −9 , ∆3 =	1	−2	9
	3	−4	−2		1	3	−2		1	−4	9

Согласно формулам (2.16), получаем

х =

∆1

−3

= −1,

х =

∆2

−9

= −3,

х =

∆3

= 4.

∆

2. Решим систему матричным способом. Так как определитель матрицы

A системы отличен от нуля, то существует обратная матрица A−1 . Вычислим алгебраические дополнения и найдем обратную матрицу.

−2 1

=8,

= −

−1 1

= −6,

−1 1

=1,

−4 −2

−2 1

= −

1 1

=3,

1 1

= −3,

= −

1 1

= 0,

−2

1 1

1 −2

= −2,

= −

1 −1

= 3,

1 −1

= −1,

−4

1 −2

−6

−1

−3

−2

−1

Тогда из (2.17) получаем

			1	8	−6	1	6		1	−3		−1
Х = А	−1	В =	1	3	−3	0		=	1	−9		−3
Х = А		В =	3	3	−3	0	9	=	3	−9	=	−3	.
			3				3		3	12		4
				−2 3 −1			3			12		4

Следовательно, x1 = −1, x2 = −3, x3 = 4 .

Сделаем проверку. Для этого найденные значения неизвестных переменных подставим во все уравнения исходной системы.

х	− х	+ х = 6,	−1 +3 + 4 =			6,	6 = 6,
1	2	3		− 2	(−3)	+ 4 = 9,		= 9,
х1	− 2х2 + х3 = 9, −1						9
х1	− 4х2 − 2х3 = 3,			− 4	(−3)	− 2 4 = 3,		= 3.
			−1				3

Ответ: x1 = −1, x2 = −3, x3 = 4 .

Пример 2.10. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х + 2х − х + x = 2,
	1	2	3	4
2х1 − х2 + х3 −5x4 = −1,
−x		+ 4x	+ x	− 4x	= −3,
	1	2	3	4
	х	+3х	+ х	+ 2x	= 5.
	1	2	3	4

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

3	2	−1	1	2

2	−1	1	−5
				−1	.
−1	4	1	−4	−3


1	3	1	2	5

Приведем расширенную матрицу к трапецеидальной форме с помощью элементарных преобразований, выполняемых над ее строками. Для этого последовательно выполним следующие действия:

1.поменяем местами первую и четвертую строки;

2.умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим их к соответствующим элементам второй строки;

3.к третьей строке прибавим первую строку;

4.умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки;

5.элементы второй и четвертой строк умножим на (-1);

6.от третьей строки отнимем второю строку;

7.от четвертой строки отнимем второю строку;

8.умножим третью строку на (-3) и прибавим ее к четвертой строке;

9.четвертую строку разделим на 29.

						1 3 1 2	5				1 3 1 2						5
						1 3 1 2	5				1 3 1 2						5
2	−1 1 −5										0 −7 −1			−9
2	−1 1 −5						−1				0 −7 −1			−9			−11
−1 4 1 −4							−3				−1 4 1			−4			−3
−1 4 1 −4							−3				−1 4 1			−4			−3

3 2 −1 1							2				3 2 −1 1						2
3 2 −1 1							2				3 2 −1 1						2
1	3 1 2					5					1 3 1			2		5
1	3 1 2					5					1 3 1			2		5
0	−7 −1 −9										0 −7 −1			−9
0	−7 −1 −9					−11					0 −7 −1			−9		−11
0	7 2 −2					2					0 7 2			−2		2
0	7 2 −2					2					0 7 2			−2		2

3	2 −1 1					2					0 −7 −4			−5		−13
3	2 −1 1					2					0 −7 −4			−5		−13
1	3	1	2	5				1		3 1 2		5
1	3	1	2	5				1		3 1 2		5
0	7	1	9					0 7 1 9				11
0	7	1	9	11				0 7 1 9				11
0	7	2	−2	2				0 0 1 −11				−9
0	7	2	−2	2				0 0 1 −11				−9

0	7	4	5	13				0 0 3 −4				2
0	7	4	5	13				0 0 3 −4				2
1	3	1	2		5				1 3 1 2				5
1	3	1	2		5				1 3 1 2				5
0	7	1	9		11				0 7 1 9				11
0	7	1	9		11				0 7 1 9				11		.
0	0	1	−11		−9				0 0 1 −11				−9		.
0	0	1	−11		−9				0 0 1 −11				−9

0	0	0	29		29				0 0 0 1				1
0	0	0	29		29				0 0 0 1				1

Поставим в соответствие полученной расширенной матрице систему, эквивалентную исходной:

х +3х + х + 2x = 5,
1	2 3	4
	7х2 + х3 +9x4 =11,
	х3 −11x4 = −9,
	х3 −11x4 = −9,
		x4 =1.
		x4 =1.

Последовательно, начиная с последнего уравнения, находим неизвестные переменные. Из последнего уравнения полученной системы получаем x4 =1. Из

третьего уравнения находим х3 = −9 +11x4 = −9 +11 1 = 2 . Из второго уравнения

– 7х2 =11 − х3 −9x4 =11− 2 −9 1 = 0 или х2 = 0 . Наконец, из первого уравнения – х1 =5 −3 0 − 2 − 2 1 =1. Таким образом, решение исходной системы уравнений

x1 =1, x2 = 0, x3 = 2, x4 =1.

Для проверки правильности решения подставим полученные значения x1, x2 , x3 , x4 в исходную систему уравнений:

3 1 + 2 0 − 2 +1 = 2,			2 = 2,
	1 −0 + 2 −5 1 = −1,			= −1,
2			−1
		+ 2 − 4 1 = −3,		= −3,
−1 + 4 0			−3
	1 +3 0	+ 2 + 2 1 = 5,
			5 = 5.

Ответ: x1 =1, x2 = 0, x3 = 2, x4 =1.

Пример 2.11. Методом Жордана – Гаусса найти решение системы уравнений

3х1 + 2х2 − х3 =1,2х1 − х2 + 2х3 = 3,−х1 +3х2 − х3 = −4.

Решение. Выпишем расширенную матрицу система:

3		2	−1	1

	2	−1	2	3
					.
	−1	3	−1	−4

Третью строку умножим на (-1) и поменяем ее местами с первой строкой. Полученную первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей строке. Получим:

3	2	−1	1	1	−3	1	4	1	−3 1	4

2	−1 2		3	2	−1	2	3	0	5 0	−5
											.
−1 3		1	−4	3	2 −1		1	0
									11 −4	−11

Вторую строку разделим на пять. Затем умножим вторую строку на (-11) и прибавим ее к третьей строке. Вторую строку умножим на три и прибавим к первой строке.

1	−3 1	4	1	−3 1		4	1	0	1	1

0	1 0	−1	0	1	0		0	1	0
						−1				−1 .
0			0	0	−4	0	0	0	−4	0
	11 −4	−11

Третью строку разделим на (-4). Отнимем третью строку от первой. В результате получим:

1	0	1	1	1	0	0	1

0	1	0		0	1	0
			−1				−1 .
0	0	1	0	0	0	1	0

Отсюда находим решение x1 =1, x2 = −1, x3 = 0 .

Ответ: x1 =1, x2 = −1, x3 = 0 .

Пример 2.12. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследовать методом Крамера совместность системы уравнений

х1 + 2х2 +3х3 + x4 =5,2х1 +5х2 + 2х3 − 2x4 =1,3х1 +7х2 +5х3 − x4 = 6.

и найти ее общее решение и любое частное решение.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

1	2	3	1	5	1 2 3 1					5	1 2 3				1	5

2	5	2	−2	1		0	1	−4	−4	−9		0	1	−4 −4		−9
																	.
3	7	5	−1	6		0	1	−4	−4	−9		0	0	0	0	0

Ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадают и равны r( A) = r( А В) = r = 2 . Следовательно, система совместна. Так как число пере-

менных n = 4 и n > r , то система имеет бесконечное множество решений, причем две переменных можно выбрать произвольно.

Выберем произвольный ненулевой минор M второго порядка, например,

M = 12 52 . Этот минор составлен из коэффициентов при переменных x1 и x2

первого и второго уравнений исходной системы.

Выпишем первое и второе уравнения исходной системы. В этих уравнения оставим в левой части неизвестные x1 и x2 , а остальные переменные пере-

несем в правую часть:

х1 + 2х2 = 5 −3х3 − x4 ,2х1 +5х2 =1 − 2х3 + 2x4.

Полученную систему решим по формулам Крамера:
			1			2	=1,
∆ =			1			2	=1,
			2			5
∆ =					5 −3х3 − x4				2		=5(5 −3х	− x	) −2(1−2х	+2x	) = 23 −11х	−9х	,
∆ =					5 −3х3 − x4				2		=5(5 −3х	− x	) −2(1−2х	+2x	) = 23 −11х	−9х	,
1				1−2х				+2x	5	3		4	3	4	3	4
						3		4
∆	2	=			1	5 −3х3 − x4					=1−2х +2x		−2(5 −3х − x ) = −9 +4х +4			х .
∆		=			1	5 −3х3 − x4					=1−2х +2x		−2(5 −3х − x ) = −9 +4х +4			х .
					2	1−2х3 +2x4					3	4	3	4	3	4
					2	1−2х3 +2x4

Итак, общее решение системы имеет вид

x1 = 23 −11х3 −9х4 ,

x2 = −9 + 4х3 + 4х4.

Переменные x3 и x4 – свободные переменные. Пусть x3 = 2 и x4 = 0 . Тогда из общего решения находим x1 = 23 −11 2 −9 0 =1, x2 = −9 + 4 2 + 4 0 = −1.

Следовательно, x1 =1,			x2 = −1, x3 = 2 , x4 = 0 – частное решение системы.
Пример 2.13. Найти методом Гаусса общее решение и одно частное ре-
шение системы
х1 +3х2 + 2х3 + x4 − x5 = 5,
2х1 + х2 − х3				+17x4 − 2x5 =15,
	х	+ 4х	+ х	− 2x	+3x = 4,
	1	2	3	4	5
		х2	− 2х3 +5х4 + 2x5 = 3.
		х2	− 2х3 +5х4 + 2x5 = 3.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

1	3	2	1	−1	5

2	1	−1	17	−2	15

1	4	1	−2	3	4	.

0	1	−2	5	2	3

Первое уравнение не содержит разрешенной переменной. Переменная x1 входит в это уравнение с коэффициентом единица. Исключим x1 из других уравнений с помощью элементарных преобразований:

1		3	2	1	−1	5

	0	−5	−5	15	0	5

	0 1		−1 −3 4				.
						−1
	0	1	−2	5	2	3

В полученной системе ни одно уравнение кроме первого, не содержит разрешенного неизвестного. Третье уравнение содержит переменную x2 с ко-

эффициентом единица. С помощью элементарных преобразований исключим переменную x2 из остальных уравнений:

1		0	5	10	−13	8

	0	0	5	0	−10	0

	0 1		−1 −3		4	−1	.

	0	0	1	−8	2	−4

Вчетвертое уравнение переменная x3 входит с коэффициентом единица.

Спомощью элементарных преобразований исключим переменную x3 из остальных уравнений:

1		0	0	50	−23	28

	0	0	0	−2	1	−1

	0	1	0	−11	6	−5

	0	0	1	−8	2	−4

Полученная система не является разрешенной, т.к. второе уравнение не содержит разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований исключим переменную x5 из первого, третьего и четвертого уравнений:

1			0	0	4	0		5

	0		0	0	−2	1	−1
										.
	0		1	0	1	0		1


	0		0	1	−4	0	−2

В результате получена разрешенная система вида
		х			+ 4x				=5,
		1				4
					− 2x4 + x5 = −1,
				х2	+ x4					=1,

					х3 − 4х4					= −2.

В этой системе x1 ,					x2 ,	x3 , x5			– разрешенные (базисные) переменные, x4 –

свободная переменная. Общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

х1 =5 −4x4 ,x5 = −1 + 2x4 ,х2 =1 − x4 ,

х3 = −2 + 4х4.

Пусть x4 =1. Тогда х1 =5 − 4x4 =1, х2 =1 − x4 = 0 , х3 = −2 + 4х4 = 3, x5 = −1 + 2x4 =1. Следовательно, (1;0;2;1;1) – частное решение системы уравне-

ний.

Пример 2.14. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений

х1 + 4х2 −5х3 + 2x4 − x5 = 0,3х1 −6х2 +3х3 +5x4 + 2x5 = 0,4х1 − 2х2 − 2х3 + 7x4 + x5 = 0,х1 −14х2 +13х3 + х4 + 4x5 = 0.

Решение. С помощью линейных преобразований найдем ранг матрицы A коэффициентов системы:

1	4 −5 2	−1	1	4 −5 2 −1
3	−6 3 5	2	0	−18 18 −1 5
3	−6 3 5	2	0	−18 18 −1 5
4	−2 −2 7	1	0	−18 18 −1 5
4	−2 −2 7	1	0	−18 18 −1 5
1	−14 13 1	4	0	−18 18 −1 5
			1	4	−5	2	−1
			0	−18 18 −1			5
			0	−18 18 −1			5	.
			0	0	0	0	0
			0	0	0	0	0
			0	0	0	0	0

Итак rang( A) = 2 . Оставим в исходной системе уравнений только первые два уравнения. В этих уравнения оставим в левой части неизвестные x1 и x2 , а остальные переменные перенесем в правую часть:

х1 + 4х2 =5х3 − 2x4 + x5 ,3х1 −6х2 = −3х3 −5x4 − 2x5.

Общее решение системы находим по формулам Крамера:

∆ =	1		4		= −18,
	3		−6
∆1 =			5х3 −2x4 + x5				4	=
			5х3 −2x4 + x5				4
		−3х		−5x		− 2x	−6
			3		4	5

= −6(5х3 − 2x4 + x5 ) − 4(−3х3 −5x4 − 2x5 ) = −18х3 +32х4 + 2x5 ,

			1	5х − 2x	+ x
			1	5х − 2x	+ x
∆	2	=		3	4 5	=
	2		3	−3х3 −5x4 − 2x5
			3	−3х3 −5x4 − 2x5

= −3х3 −5x4 − 2x5 −3(5х3 − 2x4 + x5 ) = −18х3 + х4 −5х5.

Тогда общее решение исходной системы имеет вид:

x1 = х3 −169 х4 − 19 x5 ,

x2 = х3 −181 х4 +185 х5.

Для того чтобы найти фундаментальную систему решений, надо выбрать произвольный ненулевой определитель порядка n − r =5 − 2 = 3 . Как правило, выбирают определитель единичной матрицы соответствующего порядка, т.е. в

1 0 0

нашем случае это определитель 0 1 0 . Выбираем в качестве значений сво- 0 0 1

бодных переменных ряды выбранного определителя. Получаем три решения, образующие фундаментальную систему решений

		16		1				1		5
(1;1;1;0;0);	−		;−		;0;1;0	;	−		;		;0;0;1	.
		9		18				9		18

Задания для самостоятельного решения

2.19. Решить системы уравнений методом Крамера и матричным спосо-

бом:

		2х −3х + х = 5,					2х +3х + х =1,
		1		2	3			1	2	3
1)		х1 + 4х2 − х3 = −3,				2)	3х1 − х2 + 2х3 =1,
	3х1 + 2х2 +3х3 =1,						х1 + 4х2 − х3 = 2,
	х1 − 2х2 + х3 = 0,						3х1 + х2 + х3 = 2,
3)		2х1 − х2			=1,	4)		х1 − 2х2 + 2х3 = −1,
	3х1 + 2х2 − х3 = 4,						4х1 −3х2 − х3 = 5,
	4х + х				=3,			2х + х − x =5,
		1	2					1	2	3
5)	3х1			+ 2х3 = 4,		6)		х1 − x2 +3х3 = −8,
		х +	х +	2х	= 2,		−х +		3х	− 2х = 5,
		1	2	3				1	2	3

3х −2х + x = 2,

7)−5х1 + x2 −3х3 = −12,х1 + 4х2 −7х3 = −12,1 2 3

х1 +3х2 − 4x3 = 5, 9) 3х1 − 2x2 +3х3 = 0,

−х1 + х2 +5х3 = −6,

2.20. Решить системы методом Гаусса:

х1 − 2х2 +3x3 = 6, 1) 2х1 −3x2 + 4х3 =8,

−3х1 + 4х2 − х3 = 2,

3х1 + 4х2 − 2x3 =1, 3) 2х1 +3x2 − х3 = 0,

−5х1 + 6х2 − 2х3 = −9,

=−7,

5)4х1 +13x2 + х3 =−21,−2х1 +5х2 −3х3 =−15,х1 +3х2 −2x3

7)х1 − 2х2 +3x3 − x4 = −3,3х1 −5x2 +5х3 + 2x4 = 0,−5х1 + 2х2 − х3 +3x4 = −1,4x1 + 2x2 −3x3 + x4 =8,

9)3х1 + х2 + 2x3 + x4 = 7,−2х1 − 4x2 − х3 − x4 = −8,−х1 −6х2 − х3 +3x4 = −5,−x1 − 4x2 +3x3 + 2x4 = 0,

11)х1 +3х2 − 2x3 + x4 = −1,−2х1 −5x2 + 4х3 − 2x4 = 2,3х1 − 2х2 + х3 −3x4 = 4,−x1 + 2x2 −3x3 + x4 = −4,

−2х1 + 7х2 + 4x3 = −4, 8) х1 − 2x2 +5х3 = 20,

4х1 + х2 +3х3 =11,

−х1 +5х2 − 2x3 = −7, 10) 3х1 − x2 + 7х3 =8,

−4х1 + 2х2 − х3 = −3.

2х1 −5х2 + 4x3 = −2,
2)	−3х1 + 2x2 −5х3 =1,
	х	− х	+3х = −3,
	1	2	3

=−7,

4)2х1 + x2 −6х3 =17,−3х1 + 2х2 − х3 = 7,5х1 − 2х2 +3x3

3х +5х −2x = −6,

6)2х1 +3x2 −4х3 = −6,

5х1 −2х2 + х3 =15,1 2 3

8)4х1 −3х2 − 2x3 + x4 =9,3х1 −2x2 − х3 + 2x4 = 5,

2х1 +3х2 − 2х3 +3x4 =11,

5x1 + x2 − 2x3 + x4 =8,

10)	−х + 4х			+ x			= −3,
		1	2	3
		− 4x2 −3х3 + 2x4 = −5,
	−	х		− 4х		+ 4x = −1,
		1			3		4
		x	+3x	− x		+ 2x	= 5,
		1	2	3		4
12)	3х1 + 4х2 − x3						= 7,
	2x1 +3x2 + х3 − 2x4 = 7,
	5	х	+3х			− x = 6,
		1		3		4
	3x		−2x	− x		− 4x	= 5.
		1	2	3		4

2.21. Решить системы методом Жордана-Гаусса:

х1 +3х2 + x3 = 0,

1)2х1 + 7x2 − 2х3 = 4,−2х1 +3х2 + х3 = −3,

х1 − 2х2 +3x3 = −12,

3)3х1 −7x2 + х3 = −14,−2х1 − х2 +3х3 = −13,

5) х1 + 2х2 − 4x3 + 2x4 = 6,

−2х1 +5x2 +3х3 − x4 = 2,2х1 + х2 − х3 + 2x4 = 2,

3x1 + x2 − 2x3 − x4 = 3,

2х1 −3х2 −3х3 + 2х4 =10,

7) х1 + 4х2 +3х3 − 2х4 = −8,

3х1 − х2 + 2х3 + 2х4 = 4,

4х1 + 2х2 −5х3 +3х4 =10,

6х1 +5х2 +3х3 + 2х4 = −5,

9) х1 − 2х2 − х3 −3х4 = −6,4х1 + 2х2 − х3 − 2х4 = −7,

4х1 +3х2 + 2х3 +5х4 = 4,

4х +5х − 2x = −9,

2)3х1 +3x2 − 4х3 = −11,−2х1 − х2 +3х3 = −5,

3х1 − 2х2 + x3 =5,

4)−2х1 +3x2 − х3 = −3,

4х1 − 2х2 +3х3 =5,1 2 3

6)2х1 +3х2 + 4x3 + x4 = 2,x1 + 2x2 +3х3 + x4 =1,−х1 + x2 + 2x4

x1 + x3 − 2x4 = 4,= −4,

х1 + х2 + 2х3 +3х4 = 4,

8)2х1 +3х2 − 2х3 − х4 =5,5х1 + х2 − 2х3 −3х4 = −10,х1 + 2х2 +3х3 − х4 =1,

−2х1 + х2 −3х3 + 2х4 = −2,

10)3х1 − 4х2 + х3 +5х4 = 5,х1 +5х2 − 2х3 −3х4 =1,5х1 − х2 +3х3 + 4х4 =11.

2.22. Найти все базисные решения уравнений:

х1 + х2 + x3 = 4,

3х1 + 2х2 − x3 = −2,

1) 2х1 − x2 + х3 =1,

2) 2х1 +3x2 −5х3 = −4,

+ х

+3х = 9,

− х

+ 4х

= 2,

х1 + 2х2 −4x3 = −5,

3х1 −2х2 + x3 =5,

3) 2х1 − x2 +5х3 =8,

4) 4х1 + x2 − 2х3 = 7,

+3х

−

3х

= −2,

+3х

−3х

= 2,

5) 2х1 + х2 − 4x3 − x4 = −2,

6) 2х1 + 4х2 + x3 +3x4 = 9,

х1 + 4x2 + 2х3 − 2x4 = 5,

5x1 + 4x2 + 6х3 − x4 =8,

5х1 +3х2 −6х3 −5x4 = −3,

−2х1 + x2

+3x4 = 2,

3x + 2x

−

− 4x = −1,

+5x

−4x = −1,

	2х1 + х2 −2х3 + 4х4 =11,											3х1 − х2 +5х3 −3х4 =8,
7)	2х1 + х2 −3х3 + х4 = 4,										8)	2х1 + х2 −3х3 + 4х4 = 2,
		4	х	+ 2х		−	5х +5х			=15,			х	− 2х	+8х		−7х			= 6,
					2				4
			1					3					1	2		3	4
	2		х	+ х	−7х			+9х	= 25,			5х			+ 2х		+1х		=10,
			1	2			3	4						1		3	4
	2х1 + 2х2 −3х3 + х4 = −2,											х1 +3х2 − 4х3 +3х4 =1,
9) х1 − х2 + 7х3 + х4 = 6,											10)	3х1 − х2 + 2х3 −5х4 = 7,
	3х1 + х2 + 4х3 + 2х4 = 4,											5х1 +5х2 −6х3 + х4 = 9,
	5х			+3х		+	х	+3х	= 2,			2х − 4х			2	+ 6х −8		х		= 6.
			1	2			3	4						1			3		4

2.23. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ :

1) 2х1 +5х2 + x3 +3x4 = 2,								2) 2х1 +3х2 + x3 + 2x4 = 3,
4х1 + 6x2 +3х3 +5x4 = 4,								4x1 + 6x2 +3х3 + 4x4 = 5,
4х		+14	х		+	х	+ 7x = 4,	6х		+9x	+5х +			6x =		7,
	1		2			3	4		1	2			3		4
2x		−3x	2	+3x			+λx = 7,	8x		+12х		+ 7x +λx = 9,
	1		2			3	4		1	2			3		4
λх1 + х2 + x3 =1,								(1 +λ)х1 + х2 + x3 =1,
3)	х1 + λx2 + х3 =1,							4)	х1 + (1 + λ)x2 + х3 =λ,
	х + х +λх					=	1,		х + х + (1				+λ)х		=λ2.
	1	2			3				1	2			3

2.24. Найти фундаментальную систему решений для систем уравнений:

1) х1 +5х2 + x3 − x4 = 0,									2) 2х1 + 2х2 + 4x3 −3x4 = 0,
3х1 − 4x2 + 7х3 −5x4 = 0,									x1 + x2 +8х3 −6x4 = 0,
2	х		+ 7	х		+ 4х	−3x	= 0,	2		х		+ x	+3х	− 2x	= 0,
		1			2	3	4					1	2	3	4
5x			−3x		2	+3x	− 4x	= 0,	2x				+ х	−5x	+ 4x	= 0,
		1			2	3	4					1	2	3	4
3) х1 +5х2 +5x3 +3x4 = 0,									4) х1 + 6х2 + 4x3 −3x4 = 0,
3х1 − 4x2 − 2х3 − 2x4 = 0,									3x1 − 2x2 +8х3 +3x4 = 0,
2	х		+ 2	х		+ х −6x = 0,				х		−3x		+ х + 2x = 0,
		1			2	3	4			1			2	3	4
x		+3x			+ x −6x =			0,	4x				− х	+5x	+ x = 0.
1			2			3	4					1	2	3	4

Задания для индивидуальной работы № 6

Задание 6.1. Дана система уравнений (табл. 6.1), найти ее решение методом Крамера и методом обратной матрицы:

														Таблица 6.1

Номер		Система уравнений					Номер		Система уравнений
варианта		Система уравнений					варианта		Система уравнений
варианта							варианта
1	x + 2x −3x = −4,						16	3x − 2x + x = 2,
	1		2	3					1		2		3
	3x1 + x2 + 4x3 =17,							x1	+ 2x2					=5,
	−2x + x +3x					= 9,		2x + x			+		3x	=13,
			1	2	3				1	2			3
2	x +3x −3x = −2,						17	2x + x −2x = −2,
	1		2	3					1	2			3
	2x1 − 2x2 + 4x3 =10,							x1	+ 2x2 +x3 =8,
	−3x + x + 2x					= 5,		−3x +		3x			+ 4x =15,
			1	2	3				1		2			3
3	2x − x			− 4x		= −12,	18	2x − 2x				+ x		=1,
		1	2	3					1		2		3
	x1	+ 2x2 + 4x3 =17,						x1	+3x2 + 4 x3 =19,
									+ 2x2 −5x3 = −10,
	3x1 +5x2 +5x3 = 28,							x1	+ 2x2 −5x3 = −10,
4	3x + 2x − 4x = −5,						19	2x − 2x + 2x = 4,
		1		2	3				1		2			3
	x1	+ x2 +5x3 =18,						x1	− x2 + 2 x3 = 5,

	2x1 +3x2 + 6x3 = 26,							3x1 + 6x2 − 4x3 =3,
5	x − 2x + 4x = 9,						20	2x + 4x −3x =1,
	1		2	3					1		2			3
	3x1 +3x2 −2x3 =3,							−3x1 +5x2 − 2x3 =1,
	2x		+ x	−3x	= −5,			x	−3x		+	3x		= 4,
		1	2	3				1	2				3
6	−3x + 2x + x = 4,						21	x + 2x −3x = −4,
			1	2	3			1		2			3
	x1	+3x2 −3x3 = −2,						2x1 − x2 −3x3 = −9,
	4x		+ x	−2x		= 0,		−2x +		2x				= 2,
		1	2	3					1		2
7	2x − x −3x = −9,						22	−x + 2x −3x = −6,
		1	2	3					1		2			3
	x1	+3x2 − 4x3 = −5,						4x1 + 2x2 − 4 x3 = −4,
				+3x3 =15,
	4x1 + x2			+3x3 =15,				3x1 + x2 − 2x3 = −1,
8	−3x + 2x + 2x = 7,						23	2x + 2x −3x = −3,
			1	2		3			1		2			3
	x1	− 2x2		− 4x3 = −15,				x1	−3x2 + 4 x3 = 7,
			3x2	+3x3 =15,
			3x2	+3x3 =15,				3x1 − 2x2 + x3 = 2,

Окончание табл. 6.1

9	−3x + 2x −3x							= −8,		24	x + 2x + 2x						=11,
		1				2	3					1		2	3
	2x1 − x2 −3x3 = −9,										3x1 + x2 −3 x3 = −4,
	x	+ x − 2x = −3,									−2x			+ 4x + x				= 9,
	1		2			3							1		2		3
10	4x − 2x −3x = −9,									25	x + 2x −3x = −4,
		1			2	3						1		2	3
	x1	− x2 + 2x3 = 5,									−3x1 − x2 + 4x3 = 7,
															−3x3 = −7,
	3x1 +3x2 + x3 =12,										2x1				−3x3 = −7,
11	5x + 2x −3x = 0,									26	2x + 2x −3x = −3,
		1			2	3						1		2			3
	x1	+3x2 − 4x3 = −5,									−3x1 +3x2 − 2 x3 = −3,
	−2x − 2x +3x							= 3,			x + x + x =					6,
		1				2	3					1		2	3
12	x + 2x −3x = −4,									27	x + 2x −3x = −4,
	1			2		3						1		2	3
	3x1 + x2 + 4x3 =17,										3x1 + 4x2 −3x3 = 2,
	−2x		+ x			+3x		= 9,			−2x			+ x	−1x			= −3,
		1			2	3							1	2		3
13	x + 2x + x =8,									28	x + 2x −3x = −4,
	1			2		3						1		2	3
	−3x1 +3x2 + 2x3 = 9,										−2x1 + x2 +3x3 =9,
													+ 2x2		− x3 = 4,
	−2x1 − 4x2 +3x3 = −1,										3x1		+ 2x2		− x3 = 4,
14	3x + 2			2	+3x = −2,					29	2x + 2x +3x = −3,
		1		2		3						1		2			3
	x1	+3x2 + 4x3 = −5,									3x1 + x2 + 2x3 = −7,
	−2x		+ x			+3x		= 9,			−2x			+ x	+ x		= 3,
		1			2	3							1	2	3
15	−3x + 2x + 2x = 7,									30	2x + 2x −3x = −3,
		1				2		3				1		2			3
	x1	− 2x2 − 4x3 = −15,									x1 −3x2 + 4 x3 = 7,
		3x2 +3x3 =15,											− 2x2		+ x3 = 2.
		3x2 +3x3 =15,									3x1		− 2x2		+ x3 = 2.
Задание 6.2. Используя метод Гаусса решить систему уравнений (табл. 6.2).
																		Таблица 6.2

Номер		Система уравнений								Номер		Система уравнений
варианта										варианта
1	2x + x					+3x =1,				16				x − 2х +3x = −1,
		1		2				4						2	3			4
	3x1 − x2 + 2x3 − 4x4 = 5,										−2x1 − x2				+5x4 = 7,
	2x +3x					−5x	+ x		= 7,		7x		−3x		+ x		+ x = −4,
		1			2	3		4				1		2	3			4
	x	− 4x +3x + 4x							= −11,		4x		− 4x		+3x			− 4x = −2,
	1			2		3		4				1		2			3	4

Продолжение табл. 6.2

2		2х +x								+3x =1,								17		х + x								+3x = 4,
		1			2									4						1				2									4
	3x1 − x2 + 2х3 − 4x4 =12,																				−2x2 + 2х3 +3x4 = 7,
	2x		+3x				−5x						+ x		= −2,				2x			+3x				−5x				+ x					=1,
		1			2						3			4							1			2				3					4
	x − 4x				2	+		3x				−3x			=8,				−x			+ 2x					+ 2x					− 4x						= −11,
		1			2				3					4							1				2			3							4

3	−3х1 +x2												+ x4 = −13,					18	−3х1 +x2 + 2х3 +3x4 = 0,
			+ 2x2 + 2х3 +3x4 =18,																			− x2 +5х3 − 4x4 =8,
	4x1		+ 2x2 + 2х3 +3x4 =18,																4x1			− x2 +5х3 − 4x4 =8,
	2x						−5x						+ x = −2,						2x			+3x						+ x =								5,
		1								3				4							1			2									4
	x −3x					+		3x			− 2x				=13,				x		− 4x				+		3x + 4x							4	= 0,
		1		2					3					4						1				2				3						4

4		х +5 x					− 2х						−3x				= 5,	19	− 2х +x							2		+ 4х					+3x			4			=13,
		1			2					3				4										1		2			3							4
	−2x1 − x2 + 2х3 + 2x4 = 2,																		3x1			− 2x2 + 2х3 − 2x4 = −13,
			+3x2										+ x4 =9,
	3x1		+3x2										+ x4 =9,						x1 +3x2 −5x3 + x4 =8,
	x + 4x					+		3x				+ 4x				=18,						4x +3x −								4x					= −4,
		1			2				3					4										2				3					4

5		3х	+	x		+		2х				+		3x		= −		20		х	+			x				+	3x					= −					2,
		3х		x				2х						3x			8,			х				x					3x										2,
		1			2				3					4						1				2									4
	x1 − x2 + 2х3 +5x4 = −8,																				2x2 + 2х3 − 2x4 = −2,
	2x				− x				+ x					= −5,					−2x					+3x				+5x					+ x					= −13,
		1						3					4									1				2				3					4
	−2x −				4x				+	3x				− 4x = 4,					3x			− 4x				+3x				+3x							=14,
			1				2						3				4				1			2				3							4

6	− х +x + 4х +3x = 7,																	21	−3х +x + 4х +3x = 7,
			1		2						3			4										1	2				3						4
	3x1		+ 2x2 − 2х3 − 4x4 = −6,																2x1			+3x2 + х3 − 2x4 =10,
	2x		+3x				+3x						+ x		= 6,				x		− 2x							+ x =									0,
		1			2						3			4						1				2									4
			− 4x					+ x					+ 4x				= 3,		−x			−4x					+3x				+ 4x							= 3,
						2				3				4							1				2			3							4
7	−2х +x + х +3x = −5,																	22	−2х +x							2				+3x = 5,
			1			2				3				4										1		2									4
	3x1		+ 2x2 + 2х3 + 2x4 =11,																3x1			− 2x2 + 2х3 − 4x4 = −5,
	2x		+3x										+ x			= 3,			x		+		4x		−		5x + x							=1,
		1			2									4						1				2				3					4
	4x		+3x				−3x						+ 4x				= 3,		4x			−3x				+3x				+ 4x							= −7,
		1			2						3			4							1			2				3							4

8	− х +x						+ 4х						−3x				= −6,	23	−2х +x							2		−5х					+3x					= −10,
			1		2						3			4										1		2			3						4
	2x1		− x2 + 2х3 + 2x4 = 2,																					2x2 + 2х3 − 4x4 =8,
			+3x2									+ x4 = 6,										+3x2 −5x3 + x4 = −16,
	3x1		+3x2									+ x4 = 6,							2x1			+3x2 −5x3 + x4 = −16,
	−4x +				5x				+3x					=14,					x		− 4x				+		3x + 4x							4	= 3,
			1				2						3							1				2				3						4

Окончание табл. 6.2

9		3х + 2 x													+3x = −1,							24		х + 2x − 4х +3x = 2,
			1							2							4							1				2						3				4
	−2x1 − x2 +3х3 − 4x4 = 5,																						3x1 − x2 + 2х3 − 4x4 = 5,
	2x			+3x						2	−5x					+ x			= −8,				2x			+3x			2						+ x			= 7,
			1							2					3		4								1				2								4
	−x			− 4x							+3x					+ 2		х		= 7,			−3x −					4x					+	3x			+	4x				= −15,
			1							2					3					4						1				2					3					4

10	−2х1 +x2 + 4х3 +3x4 = −5,																					25	−2х1 +x2 +3х3 +3x4 = 21,
				+3x2 + 2х3 − 4x4 = −2,																																				=13,
	3x1			+3x2 + 2х3 − 4x4 = −2,																			3x1 + 2x2 + 2х3																	=13,
	2x			− x						− x			+ x				=1,									3x			+ x					+ x			=13,
			1			2						3				4												2					3			4
	x		− 4x							+3x					+ 2x					=	6,		x		− 4x			2	+3x						+	4x		4		=18,
		1				2						3					4							1				2					3					4

11		2х + x						2						+3x = −3,								26	−2х + x + 4х + 2x = −3,
			1					2									4									1			2						3					4
	x1 − x2 + 2х3 − 4x4 = 3,																						x1		+5x2 + 2х3 − 4x4 = −11,
							+ 6x3 + x4 =12,																			3x2								+ x4 = −9,
	3x1						+ 6x3 + x4 =12,																			3x2								+ x4 = −9,
	−2x					−	3x				2			+		4x		=1,					4x			− 2x					−3x				− 2x					=11,
				1							2						4								1				2					3						4

12		3х +x + х −3x = −6,																				27	−4х −x + 2х +3x = −1,
			1				2					3					4									1			2						3					4
	−2x1 − x2 + 2х3 + 2x4 = 9,																						2x1 +5х2 + 2х3 −5x4 =5,
	−4x										−5x					+ x			= −7,				x		+3x										+ x				= −1,
				1											3		4							1			2										4
	2x			− 4x							+3x					+ 4x				=14,			−3x +					2x			2		+	3x			+	2x				=1,
			1							2					3				4							1					2				3					4

13		5х − 2 x														+ x			=17,			28		3х +2x							+ х				+3x					=8,
			1							2							4								1				2					3				4
	−x1 − x2 + 2х3 −3x4 = 2,																						−2x1 − x2 + 4х3 +3x4 = 9,
				−3x2							−5x3 + x4 = 4,
	2x1			−3x2							−5x3 + x4 = 4,												5x1 +3x2 −5x3 + x4 = 2,
	4x			+3x						2	+ x				+ 4x					=	5,		x		+ 4x									+ 4x					=		5,
			1							2		3					4							1				2									4

14		−	2х			+		4 x				+			3х		+	3x			= −	29	4х			+	x		+				2х		+	3x				=		7,
			2х					4 x							3х			3x			9,		4х				x						2х			3x						7,
					1						2					3				4					1			2						3				4
	3x1 − x2 + 2х3 −4x4 =17,																						−3x1 + 2х2											−3x4 = −2,
	−3x1 +3x2 + x3 + x4 = −6,																						2x			+3x			2	−5x					+ x					= 7,
																									1				2					3			4
	x +				2x				+		3x				+	4x = −8,								x	− 4x				+3x						+	5x				=	6,
		1				2						3					4							x	− 4x			2	+3x						+	5x				=	6,
																								1				2					3				4

15	− 2х1 +x2													+3x4 = 7,								30	−3х1 +x2 − х3 −3x4 = −4,
				− x2 +3х3 + 4x4 = −6,
	3x1			− x2 +3х3 + 4x4 = −6,																			−2x1 +5x2 + 2х3 − 4x4 = 0,
			− 4x							+5x					+ x			= −7,					2x			+3x			2								+ x				= 7,
						2							3				4								1				2											4
	x		+3x							+ 2x					+ 2x					=	9,		x		− 4x			2	+			3x			+ 4x			4		=3.
		1				2						3					4							1				2					3					4

Задание 6.3. Используя теорему Кронекера – Капелли, исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

(табл. 6.3).

																			Таблица 6.3

Номер			Система уравнений							Номер			Система уравнений
варианта			Система уравнений							варианта			Система уравнений
варианта										варианта
1	−3x + 2x + 2x + х =1,									16	2x − x +3x + х = 4,
				1	2	3			4				1		2	3				4
	x1		−3x2 − 4x3 + х4 = −5,								x1		− x2 − 2x3 + х4 = 3,
		х1	−3x2 +3x3			+ х4 =11,										+3x3 + х4 =10,
		х1	−3x2 +3x3			+ х4 =11,					3х1 + x2					+3x3 + х4 =10,
2	x + 2x + x − х = 2,									17	4x + 2x − x +3х = 2,
		1		2	3	4							1			2	3			4
	2x1 − x2 −5x3 +3х4 = 3,										5x1					− 4x3 + х4 = 3,
		х	+ 4x		+3x	+ х	= 9,					х	−3x			+ 2x			−	х = 4,
		1		2	3	4						1			2	3				4
3	3x + 4x +					+ х = −1,				18	2x − x +3x + х = 2,
			1		2		4						1		2	3				4
	−2x1 + x2 − 4x3 + х4 = 5,										−x1					−4x3 + х4 = −1,
	−х			+ 4x +3x					= 7			х	+5x			+3x		−		х = 3,
			1		2	3						1			2	3				4
4	x				+3x + х = 4,					19	−x + 4x								+ х =1,
		1			3	4							1			2				4
	2x1 − 4x2 + x3 + х4 = 2,										2x1 − x2 −3x3 + 4х4 = 5,
						х4 = −3,
	−3х1 + x2 +					х4 = −3,					3х1 + 2x2 +3x3 + х4 = 7,
5				2x − x +3х = 3,						20	3x − x						+ 2х = 2,
				2	3	4							1		2					4
	3x1 + 2x2 − x3 + х4 = 4,										2x1 +3x2 − 4x3 + х4 = −3,
		х	−3x			+ х		= 5,			−х			− x		+ 2x			+	4х =5,
		1		2		4							1		2		3			4
6	x + x + 2x + х = 2,									21	−x + 2x + x −3х = 2,
		1		2	3	4							1			2	3			4
	3x1 + x2 − 4x3 − х4 =3,										5x1 −3x2 − 2x3 − х4 = −3,
	−2х				+3x	+ 2х			= 7,						3x +5x				+ х =10,
				1	3		4									2		3		4
7	−2x + 2x					+ х =3,				22	3x − x + 2x + х = 3,
				1	2	4							1		2	3				4
	−x1 + x2 − 4x3 + х4 =11,										2x1 −5x2 − 4x3									= −5,
		х	−3x		+ 4x	−5х			= −2,		−3х				+3x +		3x			− х = 5,
		1		2	3	4							1			2			3	4
8	2x + x + 2x − х = 3,									23	3x + 2x + x − х = 3,
			1	2	3	4							1			2	3			4
	−3x1				− 4x3 + 2х4 = 5,						2x1 − x2 + 2x3 − х4 =1,
		х	−2x		+3x	+ х = 9,					−х					+3x			+ х =5,
		1		2	3	4							1				3			4

Окончание табл. 6.3

9	3x +			x − х = −2,				24	−4x −3x + x − х = −1,
		1				3	4				1	2		3	4
	−2x1 − x2 + 4x3 + х4 =1,								2x1		+ x2			+3х4 =13,
			+ 4x2 +3x3 − 2х4 = 6,								− 4x2 +3x3 + х4 = 2,
	−х1		+ 4x2 +3x3 − 2х4 = 6,						3х1		− 4x2 +3x3 + х4 = 2,
10	−5x + x −3x + х = 3,							25	6x + 2x +3x − х = 5,
			1	2		3	4			1		2		3	4
	4x1		− x2 −5x3 + 2х4 = 5,						2x1 − x2 − x3 + 2х4 = 4,
			+ 2x2			+ х4 = −2,						+3x3 + х4 = −3,
	3х1		+ 2x2			+ х4 = −2,			−х1			+3x3 + х4 = −3,
11	x + 2x + x − х = −3,							26	3x +5x + x − х = −1,
		1	2	3			4			1		2	3	4
	−x1 − x2				+3х4 = 2,				2x1 − x2 − x3 +3х4 = 5,
			+5x2 − x3 + х4 = 4,								+ 2x2			− х4 =8,
	3х1		+5x2 − x3 + х4 = 4,						−х1		+ 2x2			− х4 =8,
12	−5x − x + x −3х =1,							27	3x − x + x − х = 4,
			1	2	3		4			1	2		3	4
	3x1		− x2			+ 2х4 = 5,			−2x1 − x2 − 4x3 +3х4 = 6,
	2х		+ x	+3x		−	х = 6,		−х			+3x +			2х = 9,
		1	2	3			4			1				3	4
13	6x + 2x + x −3х = 4,							28			x + 2x −3х = 6,
		1		2	3		4				2		3		4
			− x2 + 4x3 − 2х4 = −3,						3x1		− 2x2 − x3 + 2х4 = −3,
		х + 4x		− x + 2х = 6,					−х + 2x +				4x + х = 5,
		1	2	3			4			1		2		3	4
14	x −3x + x − х = 7,							29	x −3x + x − х = 5,
		1	2	3			4			1	2		3	4
	−3x1 − x2				+ х4 = 5,						− x2 + x3 −3х4 = 4,
	2х		+ x	+3x		+	х =9,			х + 2x		−3x		+ х	=12,
		1	2	3			4			1	2		3	4
15	x +3x − 2x − х =1,							30	7x + 2x					− 2х = 2,
		1	2	3			4			1		2			4
	−2x1 − x2 −5x3						= 4,		2x1 − x2 −5x3 + х4 = 4,
		х + 4x		+ 2x		+	х = 5,			х +3x		− 2x		+ х	= −3.
		1	2		3		4			1	2		3	4

Задание 6.4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений (базисное решение) для систем уравнений (табл. 6.4).

														Таблица 6.4

Номер		Система уравнений					Номер			Система уравнений
варианта		Система уравнений					варианта			Система уравнений
варианта							варианта
1	−3x + 2x − x + х = 0,						16	3x +3x − 2x							= 0,
			1	2	3	4				1		2	3
	2x1		−5x2 − 4x3 + х4 = 0,					−2x1 + x2 − 4x3 − х4 = 0,
	−х		− 2x +			х = 0,		4х			− x			+ х		= 0,
		1		2		4				1	2			4
		х −3x		+3x	+ х	= 0,			х	+ 2x		+3x		+ 2х		= 0,
		1	2	3		4			1		2	3		4

Продолжение табл. 6.4

2	3x +3x − x +3х = 0,																			17	5x +3x − x + х = 0,
				1			2			3						4							1			2		3					4
				−6x2 + 4x3 − х4 = 0,																	2x1 − 4x2									− х4 = 0,
	−х				− 4x			+ x				+ х					= 0,				−3х − x						+ 4x					+ 2х = 0,
				1			2			3					4									1		2				3						4
	2		х		+ 2x			− x				+ 2х					4	= 0,			4х			+3x			+3x								= 0,
				1			2			3							4						1			2			3
3	−2x + x − 2x − х = 0,																			18	x + 2x − x															= 0,
					1		2					3					4					1			2		3
	3x1				−5х2 − 4x3 + х4 = 0,																2x1 + 4x2 − 4x3 + 2х4 = 0,
	−х				+3x			+3x						−	2		х	= 0,			−3х − x						+ 4x					+		х		= 0,
				1			2					3					4							1		2				3					4
					−5x					− x			+ 4			х		= 0,				х −3x				+ 2x				−			х		= 0,
							2				3						4					1		2				3					4
4	5x + 2x −3x − 2х = 0,																			19				2x − x −3х = 0,
				1			2					3					4									2		3						4
	−2x1 + x2 − 4x3 − х4 = 0,																				3x1			− x2 + 2x3 − х4 = 0,
					− 2x2 + 4x3												= 0,							+ 2x2 + x3 − х4 = 0,
	3х1				− 2x2 + 4x3												= 0,				−х1			+ 2x2 + x3 − х4 = 0,
	−х				−3x			+ 2x						+	х		= 0,				2х			−3x			+ x			+			х		= 0,
				1			2					3					4						1			2		3					4
5	3x + 2x −5x + х = 0,																			20	−3x + x − 2x −5х = 0,
				1			2					3				4								1		2				3						4
	−2x1 −5x2 − 4x3 +3х4 = 0,																				x1 −5x2 − 4x3 + х4 = 0,
					− x2 + 4x3 + х4 = 0,
	5х1				− x2 + 4x3 + х4 = 0,																−2х1 + x2 +3x3 − х4 = 0,
		х		−3x			+ x −						2х			=		0,				х + x +3x						+			2		х	4	= 0,
		1			2					3				4								1		2			3							4
6	3x + x − 2x + х = 0,																			21	5x + x −3x + х = 0,
				1		2				3					4								1	2				3					4
	2x1 +5x2 −3x3 + 2х4 = 0,																				x1 −5x2 − x3 + 2х4 = 0,
	−2х − x							+ 4x						−	х			= 0,			−х			+3x			+3x					−		х		= 0,
					1		2					3					4						1			2				3				4
					−3x					−3x				+		х		= 0,			2х			− 4x			+ 2x					+		х		= 0,
							2						3				4						1			2				3					4
7	−3x + 2x − 4x + х = 0,																			22				2x −3x + х = 0,
					1		2							3			4									2				3					4
	x1 −5x2 − 4x3 −3х4 = 0,																				−3x1 + x2 + 2x3 − х4 = 0,
	−2х −					2x		2		+ x				+	2х			= 0,				х	− 2x			+3x				+			х		= 0,
					1			2				3					4					1		2				3					4
	5		х							−3x				+ х = 0,								х	−3x			+ 4x				+			2	х		= 0,
				1									3				4					1		2				3						4
8	3x + 2x − x − 2х = 0,																			23	3x + 2x − x − х = 0,
				1			2			3						4							1			2		3					4
	−2x1 + x2 −3x3 + х4 = 0,																				−2x1						− 4x3 + х4 = 0,
	−х				−3x			+ x									= 0,					х − 2x				+ x		+				х = 0,
				1			2			3												1		2			3						4
	3х				+ x	2	−		2x			+ х			4		=	0,			2х			−3x			+3x					+ 2			х	= 0,
				1		2				3					4								1			2			3						4
9	5x + 2x − x +5х = 0,																		24		−2x + 2x + x + х = 0,
				1			2			3						4								1			2			3					4
	−2x1 −5x2 − 4x3 + х4 = 0,																				3x1			−5x2 − 4x3												= 0,
					− 2x2 + x3 −3х4 = 0,																			− 2x2 +3x3 + х4 = 0,
	3х1				− 2x2 + x3 −3х4 = 0,																5х1			− 2x2 +3x3 + х4 = 0,
		х		+3x		2	−		2x								= 0,				−х			− 2x			+ x			−			х = 0,
		1				2				3													1			2		3						4

Окончание табл. 6.4

10	x + 2x − x +3х = 0,													25	3x + 2x − x +3х = 0,
		1	2			3	4										1			2			3		4
	2x1 −5x2 + x3 + х4 = 0,														−2x1 + 7x2 − 4x3 + х4 = 0,
	−3х − 2x + 4x −									х			= 0,			х	− 2x							− 2х = 0,
			1		2		3				4					1			2							4
		х + 2x					+ х				= 0,				−3х				− x		+	2x +			х = 0,
		1	2						4								1			2				3		4
11	−3x + 7x − 2x − х = 0,													26	4x + 2x − x −6х = 0,
			1		2		3				4						1			2			3		4
	2x1		−5x2 − 4x3 + х4 = 0,												−2x1 −5x2 + 4x3 + х4 = 0,
			2x	−3x			+5х				= 0,					х	−	2x						− х		= 0,
			2			3		4								1			2						4
		х −3x		+ 2x			+ х		=			0,				х	+	3x		− 2x				+ х		= 0,
		1	2			3	4									1			2				3	4
12	5x + 2x − x + 7х = 0,													27	−5x + 2x + x − х = 0,
		1		2		3			4								1				2			3		4
	−2x1 −5x2 − 4x3 − х4 = 0,														4x1 −5x2 − x3 + х4 = 0,
	−3х + x				−	2x +		х			= 0,					х	+ x −3x						+ х = 0,
			1	2			3		4							1			2		3			4
	4х		−3x		+	2x					= 0,					х	−3x			+ 2x				+ х		= 0,
		1	2				3									1			2				3	4
13			x − 2x +3х = 0,											28	3x + 2x − x											= 0,
			2			3			4								1			2			3
	3x1		− x2 − 4x3 + 2х4 = 0,												−2x1 −5x2 − x3 + х4 = 0,
	−х		− 2x		+ x		− х			=			0,			х	− 2x			+5x				+ 2	х	= 0,
		1		2		3	4									1			2				3		4
		х − 2x		+5x			+ х			=			0,		2х − x					+3x				− х		= 0,
		1	2			3	4										1		2				3	4
14	5x +6x − 2x + х = 0,													29	3x + 2x					2				+ х = 0,
		1		2			3		4								1			2						4
	−2x1 − x2						+3х4 = 0,								−2x1 −5x2 − 4x3 + х4 = 0,
			+3x2 + 4x3 − х4 = 0,													х1	− x2 + 4x3 +3х4 = 0,
	3х1		+3x2 + 4x3 − х4 = 0,													х1	− x2 + 4x3 +3х4 = 0,
		х − 4x		+3x			+ х		=			0,				х	− 2x			+5x				− 2	х	= 0,
		1	2			3	4									1			2				3		4
15	5x −3x − x + 2х = 0,													30	−3x + 2x − 2x + х = 0,
		1	2			3			4								1				2			3		4
	2x1 −7x2 − 4x3 − х4 = 0,														x1		−5x2 −3x3 + х4 = 0,
			− x2				+ х4 = 0,
	5х1		− x2				+ х4 = 0,								−2х1 − 2x2 +5x3 − х4 = 0,
	−х		+ x	+3x			+ 2	х			= 0,				4х +3x					2	− x			+ 2	х	= 0.
		1	2			3			4								1			2			3		4

ТЕМА 3

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Упорядоченная совокупность n действительных чисел x1, x2 ,..., xn называется n-мерным вектором или вектором в n -мерном пространстве и обозначает-

ся x = (x1, x2 ,..., xn ) .

Числа x1, x2 ,..., xn называются координатами вектора. Количество координат определяет размерность вектора. Суммой (разностью) двух векторов n - мерных векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) и y = ( y1, y2 ,..., yn ) называется вектор вида

z = x ± y = (х1 ± y1, х2 ± y2 ,..., хn ± yn ) .

Умножение вектора х = (х1, х2 ,..., хn ) на число k определяется равенством

kх = (kх1, kх2 ,..., kхn ) .

Множество всех n -мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется арифметическим векторным про-

странством и обозначается Rn .

Скалярным произведением двух n -мерных векторов х = (х1, х2 ,..., хn ) и y = ( y1, y2 ,..., yn ) называют число, определяемое формулой

х у = х1 у1 + х2 у2 +... + хn уn .


Пусть а1, а2 ,..., ак – n -мерные векторы и λ1,λ2 ,...,λk								– некоторые числа.
Вектор		= λ1а1 + λ2а2 +... + λk аk называется				линейной	комбинацией векторов
	b
а1, а2 ,..., аk . Векторы а1, а2 ,..., аk B называютсяB					линейно независимыми, если равен-
ство λ1а1 + λ2а2 +... + λk аk = 0				справедливо		тогда и	только		тогда, когда
λ1 = λ2 =... = λk			= 0. В противном случае вектора а1, а2 ,..., аk					называются линейно
независимыми.			Векторы	n -мерного		пространства		а1 = (а11,а12 ,...,а1n ) ,
а2 = (а21, а22 ,..., а2n ) ,...., аn = (аn1, аn2 ,..., аnn ) линейно независимы,									тогда и только

тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, т.е.

	а11	а12	...	аn1
∆ =	а12	а22	...	аn2	≠ 0 .
	... ... ... ...
	а1n	а2n	...	аnn

Любая система n -линейно независимых векторов n -мерного пространст-

ва образует базис этого пространства. Любой вектор b n-мерного пространства можно единственным образом разложить по векторам произвольного базиса

а1, а2 ,..., аn этого пространства: b = ха1 1 + х2а2 +... + хnаn . Коэффициенты этого

разложения являются координатами вектора b в этом пространстве, т.е. b = (х1, х2 ,..., хn ) .

Пример 2.15.

Показать, что

векторы a1 = (3,1,−1), a2 = (1,0,−2),

a = (2,1,2) образуют базис в пространстве

R3 . Найти координаты вектора

= (8,3,1) в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы B а ,а ,а

образуютB

базис в R3 . Составим

определитель из координат векторов

∆ =

0 1

= −4 −1+ 6 − 2 = −1.

−1 −2 2

Так как ∆ = −1 ≠ 0 , то векторы а1, а2 , а3

– линейно независимы, следова-

тельно, образуют базис в R3 . Вектор

не принадлежит этому базису, поэтому

его можно единственным образом разложить по базисным векторам а1, а2 ,а3 ,

b = х1а1 + х2а2 + х3а3 = х1(3,1,−1) + х2 (1,0,−2) + х3 (2,1,2) = (8,3,1) .

Из последнего равенства получаем систему линейных уравнений

3х1 + х2 + 2х3 =8,х1 + х3 =3,−x1 − 2х+ 2х3 =1.

Решим систему методом Гаусса.


	3 1 2	8			1 0 1				8	1	0 1			3
	3 1 2	8			1 0 1				8	1	0 1			3
	1 0 1	3			3 1 2				3	0	1 −1
	1 0 1	3			3 1 2				3	0	1 −1			−1
	−1 −2 2	1			−1 −2 2				1	0	−2 3
	−1 −2 2	1			−1 −2 2				1	0	−2 3			4
			1		0	1		3
			1		0	1		3
				0	1	−1
				0	1	−1	−1 .
				0	0	1
				0	0	1		2
								2					= а1 + а2 + 2а3
Тогда x3 = 2, x2 = −1+ x3 =1, x1 =3 − x3 =1.								Таким образом,
Тогда x3 = 2, x2 = −1+ x3 =1, x1 =3 − x3 =1.								Таким образом,				b

и значит, в базисе а1,а2 ,а3 вектор b имеет координаты (1,1,2) .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20154.9 Mб207Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156.31 Mб221Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20157.85 Mб238Практикум по высшей математике_часть 2.pdf