Из свойства 5 и формулы (1.6) следует, что длина вектора a ( х1 , y1 , z1 ) , заданного в координатной форме, равна

B

a

A

Проекцией вектора AB на ось l (обозначение прl AB ) называется число, равное длине вектора A′B′, взятой со знаком плюс, если направление вектора

A′B′ совпадает с направлением оси l , и со знаком минус – в противном случае. Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Свойства проекции вектора на ось

1. прl a = a cosϕ, где ϕ – угол между вектором a и осью l ;

2.прl (a +b) = прl a + прl b ;

3.прl (ka) = k прl a .

Учитывая это, скалярное произведение векторов можно записать в виде

5

Если α, β, γ – углы между вектором a ( х, y, z) и осями Ox, Oy, Oz , то их косинусы cosα, cos β, cosγ называются направляющими косинусами вектора

a и вычисляются по формулам

Из (1.10) следует, что cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Даны точки A(2, −3,1) и B(0, −4,5) . Разложить вектор AB по

ортам i, j, k .

Решение. Найдем координаты вектора AB , используя формулу (1.1):

AB = (0 − 2;− 4 +3;5 −1) = (−2;−1;4) .

Тогда AB = −2i − j + 4k .

Пример 1.2. Даны векторы a = (3, −2,1), b = (5,1, −3) . Найти 3a − 2b .

Решение. Из (1.3) следует, что

3a =3 (3,−2,1) = (9,−6,3); 2b = 2 (−5,−1,3) = (−10,−2,6) .

Отсюда и из (1.2) получаем

3a − 2b = (9, −6,3) + (−10,−2,6) = (−1,−8,9) .

Пример 1.3. Векторы a и b образуют угол ϕ = π4 . Найти длину вектора

c = 3a + 5b , если a =3, b = 2 .

Решение. Из свойства 5 скалярного произведения, следует, что длина вектора c равна c = с с . Тогда

с с = (3a + 5b)2 = 9 a 2 + 30a b + 25 b 2 =

6

Итак, прl (3a − b + 5c )= −4 .

Пример 1.6. Даны векторы a = (3, −2,1) и b = (4,0, −3) . Найти прb a . Решение. Используя формулу (1.8), получаем

Пример 1.7. Найти направляющие косинусы вектора a = (1,0, 3) . Решение. По формуле (1.4) определяем длину вектора a :

7