Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 1.pdf

Скачиваний:

221

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Задание 8.5. Исследовать на непрерывность функцию, построить ее график (см. табл. 8.5):

Таблица 8.5

Номер

варианта

x +1, x ≤1,

− x, x < 0,

y =

+3, 0 ≤ x < 2,

2x2 , 1 < x ≤3,

, x ≥ 2;

1, x >3;

−1, x < 0,

−3, x < −1,

y =

2x +1, 0 ≤ x ≤1,

y =

−3 − x, −1 < x ≤1,

x >1;

x ≤ −1,

2x +5, x ≤ 0,

y =

+ 2, −1 < x < 0,

y =

+5, 0 < x ≤ 3,

, x

≥ 0;

1, x >3;

−

< −

−

y =

+1, − 2 < x <1,

y =

x, 1 < x < 3,

−3, x >3;

2x, x >1;

− 2, x < −1,

3 − 2x, x ≤ 0,

y =

+3, 0 < x ≤1,

2x −1, −1 < x <1,

x >1;

x, x < 0,

1, x < −1,

y =

3x2 , 0 ≤ x < 2,

y =

+1, −1 ≤ x < 2,

+1, x > 2;

2x −3, x > 2;

3, x < −1,

−3, x <1,

y =

2 +1, −1 ≤ x <1,

y =

−2, 1 < x < 2,

+1, x ≥1;

x ≥ 2;

+1, x ≤ 0,

y =

−x

, x

< −1,

1, 0 < x < 2,

2x −3, −1 ≤ x ≤ 2,

−1, x > 2;

4, x > 2;

133

Окончание табл. 8.5

x < −1,

−3, x ≤ −2,

y =

− x, −1 ≤ x < 0,

y = 2x + 4, − 2 < x ≤1,

− х, x >1;

3x + 2, x ≥ 0;

−1, x ≤ −2,

3x −1, x < 0,

y =

2 −1, 0 ≤ x ≤1,

2x +1, − 2 < x ≤1,

y = x

x >1;

x < 0,

x2 2,

x < −3,

y =

− x, −3 ≤ x <1,

x, 0 < x < 3,

y = 2

2x −3, x >3;

1, x >1;

+5, x ≤ −1,

−

2x, x

≤ −

y =

3x +1, −1 < x ≤ 2,

+3, − 2 < x ≤1,

y = x

7, x > 2;

2x + 2, x >1;

x −1, x ≤1,

+1,

x < −1,

y =

+3, 1 < x ≤ 2,

y = x +3, −1 ≤ x < 2,

x > 2;

4x −1, x > 2;

2x, x < −3,

− x, x ≤3,

y =

− x, −3 ≤ x ≤ 0,

y = 1, 3 < x ≤ 4,

3, x > 0;

2х−7, x > 4;

−1, x ≤ −1,

0, x ≤ 2,

y =

x +1, −1 < x ≤ 0,

y = 2x − 4, 2 < x ≤3,

x > 0;

x >3.

134

РАЗДЕЛ 4

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ТЕМА 1

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на некотором интервале (a, b) . Производной функции f (x) по независимой переменной x называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x , когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

lim	f (x + ∆x) − f (x)			= lim		∆y			′
									′
	∆x					∆x		= f (x) .
∆x→0	∆x				∆x→0	∆x
Если этот предел конечен, то функция									y = f (x) называется дифференци-
руемой в точке x . Если			′		то говорят, что функция y = f (x) имеет в
руемой в точке x . Если		f (x) = ∞,			то говорят, что функция y = f (x) имеет в
точке x бесконечную производную.								f ′(x) или dy .
Производная обозначается y′ = y′(x),								f ′(x) или dy .
									dx
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Число
f+′(x) = lim		f (x + ∆x) − f (x)
f+′(x) = lim			∆x
	∆x→+0		∆x
называется правосторонней производной в точке x . Число
f−′(x) = lim		f (x + ∆x) − f (x)					.
f−′(x) = lim							.
	∆x→−0		∆x
называется левосторонней производной в точке x .
	′	функции			y = f (x)				существует тогда и только тогда,
Производная f (x)		функции			y = f (x)				существует тогда и только тогда,
когда f−′(x) = f+′(x) .

Дифференцирование явно заданных функций

Основные правила дифференцирования

1)C′ = 0 , где C – постоянная величина;

2)(u(x) ±v(x))′ = u′(x)±v′(x);

135

3)(u(x) v(x))′ =u′(x) v(x)+v′(x) u (x);

4)(сu(х))′ = с(u(х))′, C – постоянная величина;

5)u(x) ′ = u′(x)v(x)(−)u2(x)v′(x), v(x) ≠ 0 ;v(x) v x

6) если функция u =ϕ(x) дифференцируема в точке x0 , а функция y = f (u) дифференцируема в точке u0 =ϕ(x0 ) , то сложная функция y = f (ϕ(x)) дифференцируема в точке x0 и y′x (x0 ) = yu′(u0 )u′x (x0 ) .

Таблица производных основных элементарных функций

y =C

y′ = 0

y = x

y′=1

y = xn

y′= nxn−1

y =un

y′= nun−1u′

y = x

y′ =

y = u

y′ =

u′

y = logах

y′=

y = loga u

y′=

u′

xln a

u ln a

y = lnх

y′=

y = ln u

y′ = u′

y = ax

y′ = ax ln a

y = au

y′ = au ln a u′

y = ex

y′ = ex

y = eu

y′ = eu u′

y =sin x

y′ = cos x

y =sin u

y′ = cosu u′

10.

y = cos x

y′= −sin x

y = cosu

y′= −sin u u′

11.

y = tgx

y′=

y = tgu

y′=

u′

cos2 x

cos2 u

y = ctgx

y = ctgu

u′

12.

y′= −

sin2 x

sin2 u

13.

y = arcsin x

y′=

y = arcsin u

y′=

′

1 − x2

1 −u2

14.

y = arccos x

y′= −

y = arccosu

y′= −

′

1 − x2

1 −u2

15.

y = arctgx

y′ =

y = arctgu

y′ =

u′

1 + x2

1 +u2

16.

y = arcctgx

y′ = −

y = arcctgu

y′ = −

u′

1 + x2

1 +u2

136

Производные высших порядков. Формула Лейбница

Если производная (n −1)

– го порядка функции y = f (x)

уже определена,

то производная n – го порядка определяется равенством y

(n)

(x) =

(n−1)

′

. В

(x)

частности y′′(x) =[y′(x)]′, y′′′(x) =[y′′(x)]′ и т.д.

Если u(x) и v(x) – n раз дифференцируемые функции, то

[c1u(x) + c2v(x)](n) = c1 [u(x)](n) + c2 [v(x)](n) ,

где c1, c2 – произвольные постоянные.

Для произведения u(x) v(x) справедлива формула Лейбница

(n)

v + nu

(n−1)

′

n(n −1)

(n−2)

′′

(n)

[u v]

v +

1 2

+... +uv

= ∑Cnku(n−k )v(k ) .

(4.1)

k =0

Верны следующие формулы:

1)(xm )(n) = m(m −1)...(m − n +1)xm−n ;

2)(ax )(n) = ax lnn a, (a > 0) , в частности (ex )(n) = ex ;

3)(ln x)(n) = (−1)n−1 (nx−n1)!;

4)	(sin x)	(n)			πn			(4.2)
				=sin x +			;
						2
5)	(cos x)		(n)			πn		(4.3)
				= cos x +		2	.

Дифференцирование обратных функций и функций, заданных неявно или параметрически

Пусть функция y = f (x) ( a < x <b ) дифференцируема и имеет однозначную непрерывную обратную функцию x = g( y) и y′x ≠ 0 , то обратная функция также дифференцируема и

x′y = 1 . y′x

В частности для производной второго порядка имеет место равенство

137

x′′yy = −	y′xx′	.
	( y′x )2

Пусть дифференцируемая функция задана неявно уравнением F(x, y) = 0 . Для вычисления производной надо продифференцировать уравнение F(x, y) = 0

по переменной x и полученное уравнение dxd F(x, y) = 0 решить относительно y′x .

Пусть однозначная непрерывная функция от переменной x задана системой уравнений

y =u(t),	α <t < β,
	α <t < β,
x = v(t),

где u(t) и v(t) – дифференцируемые функции и v′(t) ≠ 0 . Тогда производная y′x также существует и определяется равенством

y′x = du	: dv	= ut′	=	yt′	.	(4.4)

dt	dt	vt′		xt′

Производные высших порядков вычисляются последовательно. В частности, производная второго порядка вычисляется по формуле:

y′′xx = xt′ytt′′ − xtt′′yt′ . (xt′)2

Примеры решения задач

Пример4.1. Найтиприращение ∆y функции y = x2 при x = 0 и ∆x = 0,001.

Решение. ∆y = (x +∆x)2 − x2 = 0,000001.

Пример 4.2. Исследовать дифференцируемость функции y = 3 x −1 в точ-

ке x =1.

Решение. При x =1 приращение функции имеет вид:

∆y = 3 (1 +∆x) −1 − 3 1 = 3 ∆x −1.

Тогда
lim	∆y	= lim	3 ∆x −1	= ∞.
	∆x		∆x
∆x→0		∆x→0

Следовательно, в точке x =1 функция y = 3 x −1 не имеет конечной про-

изводной.

Пример 4.3. Исследовать дифференцируемость функции y = arccos(sin x) .

138

Решение.

′

cos x

1 −sin2 x =

cos2 x

= | cos x | .

Следовательно,

y′=1,

если

cos x > 0 ;

y′= −1, если cos x < 0 . В точках

x = π

+πk , (k = 0, ±1,± 2,...) , где cos x = 0 , функция непрерывна, но не диффе-

ренцируема.

Пример 4.4. Пользуясь определением производной, найти производную

функции f (x) = x2

в точке x

=3.

Решение. Найдем приращение функции

f (x) = x2 в точке x =3:

∆y = f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x)2 −32 = 6∆x + (∆x)2 .

Тогда

lim

∆y

= lim 6∆x −(∆x)2

= lim

(6 + ∆x)= 6 .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Таким образом,

′

= 6 .

y (3)

Пример 4.5. Доказать, что (tgx)′

cos2 x

sin x

′

Решение. Так как tgx = cos x

, (sin x)

= cos x , (cos x) = sin x , то

′

sin x

(sin x) cos x −sin x(cos x)

(tgx) =

cos

cos x

cos2

x +sin2 x

cos2 x

cos2

Пример 4.6. Найти производные следующих функций:

1) y = x2 −

+sin x + log5 x ;

y =5x cos(2x +3) ;

3) y =		ex	;
	1	+ x3

Решение.

− 1

1)y′= x2 − 2x 2 +sin x + log5 x

2)y′=(5x cos(2x +3))′ = (5x )′

4)y =sin2 tg 1 .

′	= 2x + x	−	3	+ cos x +	1	;
			2
					xln 5

cos(2x +3) +5x (cos(2x +3))′ =

139

=5x ln 5 cos(2x +3) −5x sin(2x +3)(2x +3)′ =

=5x ln 5 cos(2x +3) −5 2x sin(2x +3) .

′

x ′

) −e

+ x

3 ′

) −

3) y′=

)

(1 + x

)

(1 + x

1 + x

(1 + x

)

(1 + x

)

ex (x3

−3x2 +1)

+ x3 )2

′

y′= sin

2sin

cos

−

cos

(1/ x)

sin (2tg(1/x)) = − x2cos2 (1/ x) .

Пример 4.7. Найти производную второго порядка для функции y = e−x2 . Решение. Находим производную первого порядка:

y′=(e−x2 )′ = e−x2 (−x2 )′ = −2xe−x2 .

Теперь находим производную второго порядка:

y′′ =(−2xe−x2 )′ = −2 x′ e−x2 + x (e−x2 )′ = −2

(e−x2 + x (−2xe−x2 ))=

(

)

(

= −2e

−x2

− 2x

= 2e

−x2

)

−1 .

Пример 4.8.

Применяя

формулу

Лейбница, найти y(20) для функции

y = x2 cos x .

Решение. Так как (x2 )(n) =0 при n ≥3 , то из (4.1) имеем

y(20) =(x2 cos x)(20) =(cos x)(20) x2 + 20(cos x)(19) (x2 )′+

+ 20219 (cos x)(18) (x2 )′′,

Отсюда и равенств (4.2), (4.3)

140

y	(20)	= x	2		π		π	+380cos		π	=
y		= x		cos x + 20		+ 40x cos x +19		+380cos	x +18		=
					2		2			2

= (x2 −380)cos x + 40xsin x .

Пример 4.9. Найти производную функции y = xcos x .

Решение. Первый способ. Так как y = eln xcos x = ecos x ln x , то

y′= e	cos x ln x		(cos x ln x)′ = e		cos x ln x	−sin x ln x +	cos x	=
y′= e			(cos x ln x)′ = e			−sin x ln x +		=
							x
= x		cos x cos x
= x				−sin x ln x .
		x

Второй способ. Рассмотрим логарифм заданной функции:

ln y = ln xcos x ln y = cos xln x .

Дифференцируя обе части по переменной x и считая, что функция ln y(x) является сложной функцией, получаем

1y y′ = cosx x −sin x ln x .

Следовательно,
cos x			= x	cos x cos x
y′= y	x	−sin x ln x	= x		x	−sin x ln x .
	x				x

Пример 4.10. Для функции

x =5(t −sin t),y =5(1 −cost),

заданной параметрически, найти производную первого порядка от y по переменной x .

Решение. Находим производные от y					и x по переменной t :
xt′ =5(1 −cost);		yt′ =5sin t .
Тогда из (4.4) следует, что
dy =	5sin t	= ctg	t	(t ≠	2πk, k = 0,±1,±2,...) .
	5(1 −cost)
dx		2

141

Задания для самостоятельного решения

4.1. Найти приращение функции y = x2 + 2 в точке x =1 при: 1) ∆x = 0,01; 2) ∆x = −0,3 .

4.2. Найти приращение функции y = x − x2 в точке x = 0 при: 1) ∆x = 0,001; 2) ∆x = −0,5 .

4.3.Пользуясь определением производной, найти производную функции

вкаждой точке ее области определения, если;

y = x3 ;

y = cos 2x ;

y =

x, x > 0 ;

y =sin 4x ;

y = x2 + x3 ;

y =

x −1, x >1;

y = x3 + 2 ;

y =

;

y = log2 x ;

x + 2

1 +1.

10) y =3x ;

11)

;

12) y =

4.4. Пользуясь определением, найти производную функции в заданной

точке x0 :

y = 2 − x, x =1;

2) y = x2

+ 2, x = 0;

y = x2 − x, x

=1;

y =sin 2x,

x =π / 4;

y = cos x,

=π / 2;

y = 2x

=1;

≥ 0,

y = ctgx,

x0 =π / 4;

x0 = 0.

y =

x < 0,

−x4 ,

4.5. Найти производные следующих функций:

		x3		x4	2
1)	y =		−		+ x	;
1)	y =	3	−	4	+ x	;
		3		4
3)	y = (1 + 2x)2 ;

5) y = 2x +3x − 4−x +3x 5x ;

7)	y =sin x + 4cos x −	1	;
		x
9)	y = 4x5 − 2x ;

2)	y =	x − 3 x + 4 x;
4)	y = (x + x)3 ;

6)y = ln x + log2 x −2log3 x ;

8)y = tgx +3ctgx ;

10) y = 1x − x12 − x13 ;

11)	y =5x		−log2 3x ;			12)	y = 5 x −cos(3x +1) + tg3x ;
13)	y = 2x		+ ln 4x −	1	;	14)	y = (1 + 2x)50 ;
13)	y = 2x		+ ln 4x −	2x	;	14)	y = (1 + 2x)50 ;
	4x			2x
15)	y = arcsin x −ex cos x ;					16)	y = ex sin x ;
17)	y = x	2	arcsin 3x ;			18)	y =	1		x +	1	2		x −	1	2	5
													−				;
									5				−				;
								x	5		x				x
								x			x				x
19)	y = (1 + x2 )ln(1 − x) ;					20)	y = 2x arccos 2x ;

142

21)

y = (x2 + x)cos(3x −1) ;

22)

y = 5

x2 log3 (x −1) ;

23)

y =

x2 ln x

;

24)

y =

;

+ x2

−

3 x

3x+1

25)

y = tgx −ctgx ;

26)

y =

arctgx

;

tgx + ctgx

2x + x2

27)

y =

x sin x

;

28)

y =

(1 + 2x)2

;

29)

y =sin2 2

+cos2

;

30)

y = ln

1 − x2

1 + x2 ;

31)

y =

−e−x

;

32)

y = ln tg

−cos xln tgx ;

+ e−x

33)

y = log

1 −sin 2x

;

34)

y = arctg

;

1 +sin 2x

1 − x2

y = ln (ex

1 + e2 x );

35)

36)

y = ex + ee

+ e

;

37)

y = 3

x + 3

x + 3 1 + x2

;

38)

y =

−arcctgx6 ;

y = arctg (x + 1 + x

);

1 + x

40)

y = ln

+ e

−x2

;

39)

arccos

41)

y =3log9 ( x2 +x+1) ;

42); y = x2 arcsin

x +

x2 cos

43)

y = arcsin

sin2

;

44)

y = ln

x +1 +5

+ ln

+ ln x .

4.6. Пользуясь логарифмическим дифференцированием, найти производные следующих функций:

y = x1/ x ;

y = logx 2 + logx2 (x2 +1) ;

y = xcos x ;

y = xxx ;

y = (cos x)sin x ;

y =(

tgx )x+1 ;

y = 3

x3 (x2 +1)

;

y = 3

sin 2x

;

5 − x

1 −sin 2x

y =

x + 2

;

10) y =

7 x3 4

x −1

(x2

+ 2x)3

, x >1.

3 (x

−1)2 (x + 4)3

x +1

4.7. Исследовать на дифференцируемость функции:

y = 1 −

1 − x2 ;

y =| x | sin x ;

y = x | sin x |;

y = x2 | x |;

143

0 , x ≥ 0,

y =

;

y =

≤ 0;

x2 , x < 0.

x4 ,

4.8. Найти правую и левую производные в точке x0 :

y =| x +1|,

= −1;

y = x2 −1,

x = 2 ;

y =

x, x ≥ 0,

x0 = 0;

ex , x ≥ 0,

x0 = 0;

x < 0,

y =

5x,

cos x, x < 0,

y =| sin x |,

x0 =π ;

y =| x | −| x +1|,

x0 = 0 ;

y =| x2 − x |,

=1;

y =

sin2 x −sin x,

x =π ;

y = tgxctgx,

x0 =π / 4 ;

10)

y = arcsin(sin x),

x0 =π / 2 .

4.9. Подобрать коэффициенты a и b так,

чтобы функция

f (x) была не-

прерывной и дифференцируемой в точке x = x0 , если

x ≤ x ,

+bx +1,

x ≥ x ,

f (x) =

x0 = 0.

ax +b,

x > x ;

+ a)e−bx ,

x < x

4.10. Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных по-

рядков для функций:

y = уx (x2 +1),

y = x2 sin x,

найти y(25) ;

найти y(20) ;

y = x3 cos x,

найти y(10) ;

y = e−x cos x,

найти y(5) ;

y = (2x2

−1)sin x, найти y(6) ;

y = (1 −e−x )sin x, найти y(10) .

4.11. Найти производные второго порядка следующих функций:

y =

−

−5x2 +

;

y = 1 + x2 ;

x +3

y =

cos3x

;

y = (sin 2x + cos5x)

x ;

2 −ln x

y = arcsin x ;

y = e−x2 ;

1 − x2

y =3x arcsin 2x ;

y = x3 cos 2x ;

y =

;

10)

y =5 x ;

sin 3x

11) y =5etg5x ;

12)

y = ln3 (x +1) .

4.12. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти

указанные производные:

y = 4 x,

найти

y′x ;

y = arccos

найти y′x ;

y = ln

1+ x,

найти

y′x ;

y = 2x3 +3x2 ,

найти x′y ;

y = cos x + 2x,

найти

x′′yy ;

y = x2 + e2 x ,

найти

x′′yy .

4.13. Дляфункций, заданныхпараметрически, найтиуказанныепроизводные: 1) x =5sin t +sin 5t , y =5cost −cos5t , найти y′x ;

144

x = e2t ,

y = e−2t ,

найти y′x ;

x = 2cos3 t,

y = 2sin3 t ,

найти y′x′x ;

x = et cost,

y = et sin t ,

найти y′x′x ;

x = e−t ,

y =t3 ,

найти y′x′′xx ;

x = arcsin t,

y =

1 −t2 ,

найти y′xx′ ;

x =t2 −3,

y =t3 −t ,

найти y′xx′ ;

x = ln(1 +t2 ),

y =t −arctgt ,

найти y′x .

4.14. Для неявно заданных функций найти y′x :

1) x2 + xy + y2 = 0 ;

2) x3 − y2 − 4x +5y −3 = 0 ;

ln x +e

−

xy + x + y − 2 = 0 ;

x =5 ;

+ y

sin x + e

cos y = 0 ;

arctg

= ln

;

arctgy − y + x2 = 0 ;

+ x = ey + y ;

x − y = ex+y ;

10) ey + xy = e .

ТЕМА 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Если приращение функции ∆y может быть представлено в виде:

∆y = f (x +∆x) − f (x) = A(x)∆x +α(x,∆x)∆x ,

где lim α(x,∆x) = 0 , то функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке

∆x→0

x . Главная линейная часть A(x)∆x называется дифференциалом функции и обозначается df (x) или dy . Дифференциал функции существует тогда и только тогда, когда существует конечная производная y′ = A(x) . Дифференциал функции можно записать следующим образом:

∆y = y′dx = f ′(x)dx .

Если ∆x достаточно мало, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем ∆x , справедлива приближенная формула ∆y ≈ dy . Кроме

того, из (4.5) следует, что ∆x = x .

Дифференциалы высоких порядков последовательно определяются по формулам:

d 2 y = d(dy), d3 y = d(d 2 y),..., d n y = d(d n−1 y) .

145

		Примеры решения задач
Пример 4.11. Найти дифференциал функции							у = ln(x2 +3x +3) +sin 2x .
Вычислить dy при x = 0 , ∆x = 0,01.
Решение.
	2		′			2x +3
dy =(ln(x		+3x +	3) +sin 2x)	dx =				+ 2cos 2x dx .
dy =(ln(x		+3x +	3) +sin 2x)	dx =	2	+3x +3		+ 2cos 2x dx .
				x		+3x +3
Подставив x = 0 и dx = ∆x = 0,01, находим
dy =(1 + 2) 0,01 = 0,03.
Пример 4.12.		Найти	приращение		и		дифференциал функции

y =3x2 − 2x +5 в точке x =1 при ∆x = 0,1. Найти абсолютную и относительную

погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение. По определению

∆y = y(x + ∆x) − y(x) = 3(x + ∆x)2 − 2(x +∆x) +5 −(3x2 − 2x + 5) =

=3∆x2 +6x∆x − 2∆x

dy = y′(x)dx = (6x − 2)dx = (6x − 2)∆x .

Тогда

∆y −dy =3∆x2 + 6x∆x − 2∆x −6x∆x + 2∆x = 3∆x2 .

При x =1 и ∆x = 0,1 получаем ∆y = 0,43 , dy = 0,4, ∆y − dy = 0,03 . Следовательно, абсолютная погрешность | ∆y − dy |= 0,03, относительная погрешность

∆y − dy

= 0,03 ≈ 0,07 или 7%.

∆y

0,43

Пример 4.13. Найти приближенно sin 29 .

Решение. Так как ∆y = y(x +∆x) − y(x)

и ∆y ≈ dy , то y(x + ∆x) ≈ y(x) + dy .

Пусть y =sin x , x =30

и ∆x = −1 . Тогда dy = cos xdx = cos30

3π

−

= −

360

180

sin 29 = sin(30 −1 ) ≈ 1 −

3π

= 0,485 .

360

146

		Задания для самостоятельного решения
4.15. Найти дифференциалы от функций:
1)	y = x2 +	1	;	2)	y =	1 + x	;	3)	y = ln x −cos 2x ;

		x2				x2 + x
4)	y = cos2 x −3x +1;			5)	y = ex arcsin 2x ;			6)	y =5x cos3x .

4.16. Найтидифференциалыизначениядифференциаловфункций y = f (x) :

1)y =sin3 2x . Найти df (x), df (π /8), df (π /8) dx=0,1 ;

2)y = ln(1 + x2 ) . Найти df (x), df (2), df (2) dx=0,01 .

4.17. Найти дифференциалы второго порядка:


1)	y = 2−x2 ;		2)	y = x2 −1 ;	3)	y = ln2 x + x ;
4)	y =sin2 (x +1) ;		5)	y −ln(cos x) ;	6)	y = 3 x +5 .
4.18.		Найти приращение и дифференциал функции y = x + 2 при x = 2
и ∆x = 0,01.		Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые
допускаются при замене приращения ее дифференциалом.
4.19. Найти приращение				∆y и дифференциал	dy функции y = arctge2 x

при x = 0 и ∆x = 0,02 . Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые допускаются при замене приращения ее дифференциалом.

4.20. Вычислить приближенно:
1)	3 27,01 ;	2)	lg10,03;		3)	arccos0,01;
4)	tg31°;	5)	′		6)	5	33 .
			sin 44°57	;

ТЕМА 3

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Касательная

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f (x) в точке M0 (x0 , y0 ) , где y0 = y(x0 ) , имеет вид

y − y0 = y′(x0 )(x − x0 ) .			(4.6)
Углом между двумя кривыми y = f (x) и y = g(x) в точке их пересечения
называется угол между двумя касательными к их графикам в этой точке.
Уравнение нормали в точке M0 (x0 , y0 ) имеет вид
y − y0 = −	1	(x − x0 ), y′(x0 ) ≠ 0 .	(4.7)
	y′(x0 )

147

Правило Лопиталя

Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 . Если

lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim f (x) = lim g(x) =∞,
x→x0		x→x0		x→x0	x→x0
то	f (x)		f ′(x)
lim		= lim		,	(4.8)
	g(x)		g (x)
x→x0		x→x0
			′

приусловии, что предел lim f ′(x) существует (правилоЛопиталя). Приэтомточка

x→x0 g′(x)

x0 можетбытькакконечной, такинесобственнойточкойравной +∞ или −∞ .

Примеры решения задач

Пример

4.14.

Найти

уравнение

касательной и

нормали

кривой

y = x2 + x в точке x

=1.

′

Решение. Так как y0 = y(x0 ) = 2 ,

=3 , то из (4.6) полу-

y (x) = 2x +1 и y (1)

чаем уравнение касательной

y − 2 =3(x − 2) или y =3x − 4 ,

а из (4.7) – уравнение нормали

y − 2 = −1

(x − 2) или y − 2

= −1 x + 8 .

Пример 4.15. Найти наименьший угол между кривыми

f (x) =5x −6

g(x) = x2 .

Решение. Найдем точки пересечения графиков данных функций:

5x −6 = x2 x2 −5x + 6 = 0 .

Отсюда абсциссы точек пересечения x1 = 2 и x2 =3 . Тогда точки пересе-

чения имеют

координаты

M1(2;4)

M2 (3;9) . Кроме того,

′

f (x) =5

′

= 6 . По формуле (1.19) нахо-

g (x) = 2x , т.е.

f (2)

= f (3) =5 и g (2) = 4 , g (3)

дим угол между касательными:

tgϕ =

5 − 4

= arctg

;

tgϕ

6 −5

= arctg

1 +5 4 21

+5 6 31

148

Пример 4.16. Найти lim ln x .

x→∞ x

Решение. Имеем неопределенность вида ∞ . Для ее раскрытия восполь-

∞

зуемся правилом Лопиталя (4.8):

ln x

∞

(ln x)′

lim

( x )′

= lim

= 0 .

x→∞

∞ x→∞

x→∞ x

2 x

x→∞

Пример 4.17. Найти lim ex −e−x . x→0 ln(1 + x)

Решение. Имеет место неопределенность вида 0 . Используем правило

⎩0

Лопиталя:

lim

ex −e−x

= lim

(ex −e−x )′

= lim

ex + e−x

= 2 .

ln(1 + x)

x→0

(ln(1 + x))′

x→0

1 + x

Пример 4.18. Найти lim

e2 x −1

x→0 sin2 3x

Решение. Раскрываем неопределенность вида

используя правило

Лопиталя:

lim

e2 x − x

= lim

(e2 x − x)′

= lim

2e2 x −1

sin2 3x

(sin2 3x)′

6sin 3xcos3x

x→0

Опять получили неопределенность вида

. Применяем повторно пра-

вило Лопиталя. При этом, т.к. lim6cos3x = 6 , то получаем

x→0

lim

2e2 x −1

= 1 lim

(2e2 x −1)′

1 lim

4e2 x

4 =

2 .

6sin 3xcos3x

(sin 3x)′

3cos3x

x→0

6 x→0

Пример 4.19. Найти lim

ln x .

x→+∞

Решение. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем:

149

lim	ln x		∞	= lim	(ln x)′	= lim	1	= 0 .
lim	x	=		= lim	′	= lim	x	= 0 .
	x	∞			′		x
x→+∞				x→+∞		x→+∞

Пример 4.20. Вычислить lim(ex + x) x .

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида {1∞}. Обозначим искомый пре-

дел через A , т.е. A = lim(ex + x) x . Прологарифмируем обе части последнего ра-

x→0

венства и вычислим полученный предел:

ln A = ln lim(ex +x→0

	0	= lim	(
=		= lim
0		x→0

Значит A = e2 .

1		1	= lim
x) x	= lim ln(ex + x) x		= lim
	x→0		x→0

ln(ex + x))′	= lim	ex +1			= 2 .
′
			x
x	x→0	e		+ x

ln(ex + x) = x

Задания для самостоятельного решения

4.21. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции

y = f (x) в точке с абсциссой x0 .

f (x) = x3 ,

= 2;

f (x) = cos x, x =π / 4 ;

f (x) = ex ,

=1;

f (x) = x2 − 2x +5,

= 0,5;

f (x) = x2 +1, x = 2 ;

f (x) = 0,5sin2 (4x −π / 3), x

=π / 6 ;

f (x) = x−1, x = −1;

f (x) = xln x, x = e.

y = f (x)

4.22. Написать уравнения касательных к графику функции

точке с абсциссой x0 . Построить кривые и касательные:

f (x) =

+ 2, x = 2 ;

f (x) = 1 − x2 + 2, x = 0 ;

f (x) = x2 + x +1, x = 0 ;

f (x) = x2 − x, x = −1.

4.23. Под каким углом пересеваются кривые;

f (x) = x,

g(x) = 1 − x2 ;

2) f (x) = x3 − x,

g(x) =

;

f (x) = x,

g(x) = x−1 ;

4) f (x) = x,

g(x) = x2 ;

f (x) = x,

g(x) = 1 − x2 ;

6) f (x) =sin x,

g(x) = cos x .

4.24. Найти угол между касательными к графику функции

y = f (x)

точках с абсциссами x = −1 и x =1:

150

1) f (x) = x2 −1;	2) f (x) = x3 − x .
4.25. К кривой	y = x4 − 2x2 +3x −1 провести касательные параллельные
прямой 3x − y +1 = 0 .

4.26.Найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции

y = ex + e−x .

4.27.Найти координаты точки пересечения двух касательных, проведен-

ных к графику функции

y =

в точках с абсциссами x = −2 и x = 4 .

−3

4.28. Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:

πx

lim e

3 x

− 4x −1

;

2) lim

;

sin2 5x

x→0

x→1

ln (1 − x)

lim

ln (x −1)

;

4) lim sin 3x ;

x→1

ctgπx

x→0

lim

6) lim

e2 x −1

;

−

;

−1

sin 3x

x→0

1 −cos5x

lim(1 +sin2 x)

tg2 x

;

8) lim

;

x→0

1 −cos3x

lim

(sin x)tgx ;

10) lim

x −sin x

;

x→0

11) lim

(sin(2x −1) tgπx); 12) lim tgx −sin x

;

x→1

x→0 x −sin x

				1
13)	lim (ln 2x)					;
13)	lim (ln 2x)				ln x	;
	x→+∞
14)	lim	ln2 x		;
14)	lim	3	x	;
	x→∞	3

15)	lim	ln cos(4x2 −3x)						;
15)	lim		sin 5x2					;
	x→0	xk	sin 5x2
17)	lim	xk	;
17)	lim	ax	;
	x→0	ax
19)	lim xln x ;
	x→0
21)	lim	1					;
21)	lim		−ctgx				;
	x→0	x
23)	lim(ln ctgx)tgx ;
	x→0

13)

lim

(cos x)ctg2 x ;

x→0

14)

lim

ln x

;

ctgx

x→0

16)

lim

(π− x)tg

;

x→0

18)

lim

−

;

ln x

x→0

20)

lim

ex + e−x − 2

;

1 −cos 2x

x→0

22)

lim

sin x

;

x→+0

24)

lim

x − x

ln 1 +

x→0

151

	Задания для индивидуальной работы № 9
Задание 9.1. Найти первые производные функций (см. табл. 9.1):
						Таблица 9.1
Номер
варианта
1	y = 3 (x + 2)2 + e−x				y =sin 2x ln x
	y =	32 x			y = arcsin 2cos(5 x+1)
2		cos(3x −1)
2	y = cos3x +ln			x	y = 27 x tg3x
	y =	x3			arccos x
	y =	sin(x −3)			y =3	5
3		sin(x −3)				x
	3 (2х−1)2 + tg(x2 +1)					x
	3 (2х−1)2 + tg(x2 +1)				y =sin 2x e3
		x2				2 x+1
4	y = cos x				y = arctg3
4	y = ctg2x + log2 x3				y = 3 x cos 2x
	y =	sin 2x			y =3arcsin	x
5	y =	ex			y =3arcsin	x
5	y =sin x2 +53x				y = ln(2x +3) (x +1)3
	y =	x +3			y = arccos tgx3
6		cos3x
6	y = log3 2x + tg(2x −1)				y =32 x	3x −1
	y = sin x +1				y = 3 cos2 2x
7		x	x
			x		y = tg3x (x −1)2
	y = ctg 3 2x +33				y = tg3x (x −1)2
	y =	x2 + cos 4x			ln 5 2 x−3
	y =	32 x			y =3
8		32 x			y = ctg(2π − x) 5		x
8	y = 3 5x −1 + arctg(x − 2)				y = ctg(2π − x) 5		x
	y =	2x + x			y =sin arctg2−x3
9		cos 2x			y = arcsin 3x e−2 x
9	y = cos		x + ln(2 − x)		y = arcsin 3x e−2 x
	y =	3x + ln x			y =3arcctg 3 x2
10		4 x −1
10	y = tgx3 +3 x +1				y = log3 3 2 − x
	y =	(3 + x)2			y = arccosln 5 x2
		2x
				152

					Продолжение табл. 9.1
11	y = 5 (1 − 2x)3 + tg2x				y =3x2 sin 2x
	y =	3x2 + x			y = log5 sin 22 x
12		cos 2x			y = arctgx x3
12	y = log3		x + 2sin x		y = arctgx x3
	y =	x +	x		y = arccosln(x2 + x)
13	y =	sin 5x		1
13	y = ctg(2x −1) +			1	y = tg3x 3−x			2
	y = ctg(2x −1) +			2x	y = tg3x 3−x
	y = cos(3π − x)				y = earcsin x3
14			x3
14	y = 3 (1 − 2х)2 + 2−2 х				y = arctg(x2 +1) 3x
	y =	32 x			y = cosln 2x
15		x − 2x2
15	y = ctg2x + 2sin x				y = arctgx				2x
	y = ln(2x −1)				y = ln sin2 (x + 2)
16		3	x
16	y =	3 + ecos x			y =sin2 x x2
	y =	3 + ecos x			y =sin2 x x2
		х5
	y =	3x +1			y = tg7sin 3x2
17		cos(2 − x)
	y =	sin x + 2−2 x					2
	y =	sin x + 2−2 x			y = tg3x x3
	y =	sin 3x +1			3	x	2
18	y =	4x			y =5sin	x
18	y = log9 sin x + 3			x2	y = ctgx2 (ln x +1)
		cos3x			y =sin arctg				x
19	y = x + ln x
19	y = 2 3 х2		+ e2 x		y = cos3 x 23x
	y =	3x −1			y = arcctgsin(x2 −5)
20	y =	sin 2x
20	y = ln3 (2 + x) +32 x				y = ctg5x 2 x
	y = x2 +sin 3				y =sin log2 x2
21		2x			y = tg3 x ln 3x
21	y = 2x2 − x + e3x				y = tg3 x ln 3x
	y =	3x			y = log5 arcsin x2
		x2 +1
				153

Окончание табл. 9.1

2 x

y =sin

2x + 2x −1

y =10

y = sin (π − 2x)

y = earcctg

y = log3 sin x + 22 x

y =sin x2 3

y =

3x2 +sin x

y =sin 7 x

y = cos(2x −1) +

y = 3 (2x −1)2 sin 3x

y = log5 2x

y = ctg2cos 3x

sin x

y = cos2 2x

y =54

х5 +sin 2x

y =

y = arcsin 3 2x2 − x

52 x

y = e2 x−1 sin x2

y = 5 2х2 − х + log32 x

y =

cos(3x +1)

y =5

arcctg

23x

y =sin2 x + 2x2

y = tg (π − x) x5

y = ln x + x

y = log

sin

x2 − x

y =

+ esin x

y = 3

2x2 −1 sin x

3х−

y =

3x5

y = tg

ln(x +1)

sin(1 − x)

y =sin x3 + 2−x

y = ctgx2 3

y =

3x2 + cos x

y =sin 2tgx2

ln x

y =

+ cos ex

y = cos2 x 5x

2)5

(х+

y =

3x+1

y = ctg log3

sin 3x

Задание 9.2. Вычислить производную второго порядка (см. табл. 9.2):

Таблица 9.2

Номер		Номер
варианта		варианта
1	y =sin 2x + x2	16	y = 23х + ln x

154

Окончание табл. 9.2

2		y = е−2 x +						x +5					17	y = cos(2x −3) + 2x
3		y = 5 2х+3 + log2 x											18	y =10−х				+(х−3)2
4		y = tg3x +32 x−1											19	y =3х5 −sin 3x
5		y = 3 х2				+ ln(2x +3)							20	y = cos5x −e−2 x+1
6		y = 2х2 −12sin x											21	y = 3 х + ln x2
7		y = 2sin (3π + x)+ x−3											22	y = 2 3		х−1 + ln 3x
8		y =10− 5				+ 7		х4					23	y = 2х+3 −5е−х
					x

9								π				3	24		1
		y = cos x −								+				y =	1		+32 x−1
		y = cos x −								+		4 x3		y =	2x3		+32 x−1
								4				4 x3			2x3
10													25
			x											y =3		х−3 + 2sin 5x
		y = 7	7	+3log2 x										y =3		х−3 + 2sin 5x
11			2						x				26	y = arctg2x
		y = 3х−1 +3												y = arctg2x
		y = 3х−1 +3
12		y = e	−2 x			1							27	3		+sin (6π − x)
						+								y =
							3x2
							3x2								5х
13		y =3х2 − 2х+1+ 23х											28	y = 3 (3х+1)2 + cos 2x
14		y = (5х−1)10 + е−5 x											29	y = 2ln 3x +sin(2 − x)
15		y = log3 x +							1				30					π			x
15									1				30	y = cos				π	−3x	+ e5
																		3
								2 x
								2 x
	Задание 9.3. Вычислить приближенно (см. табл. 9.3):																		Таблица 9.3
																			Таблица 9.3

	Номер											Номер		Номер
	варианта										варианта			варианта
	1	sin 290										11	cos610	21					tg610
	2	log2 2,02										12	3 8,02	22					cos 440
	3	cos 460										13	log3 2,98	23					log2 1,99
	4	tg290										14	sin 310	24					sin 440
	5	3,99										15	cos310	25					3 7,99
	6	sin 590										16	tg590	26					tg310
	7	log3 3,01										17	cos590	27					log3 2,99
	8	сtg310										18	tg460	28					cos 290
	9	sin 460										19	sin 610	29					log5 4,99
	10	tg440										20	4,02	30					3 7,98

155

Задание 9.4. Найти пределы, используя правило Лопиталя (табл. 9.4):

Таблица 9.4

Номер

варианта

lim sin x − x

lim

tg3x

2x −1

x→0

lim

ln(2 +3x )

lim

ln(1 + x)

x→∞ x2 + 2x +5

x→0

lim

x − tgx

lim

5х

−1

x→0

x→0 arc tgx

lim

2 x

−cos х

lim cos x −2

x→0

sin 3x

x→0

sin x − x

lim

arc tgx

lim

3х

x→0

x→∞ x

lim ln(1 + x)

lim

sin x2 + x

x→0

1 −ex

x→0

lim

−1

lim

3х

−1

arcsin 2x

x2 +7х

x→0

2 x

−1

lim

tgx

ех

x→0

x→∞

lim

arcsin x

1 −e

2 x

ех

x→∞

x→0

2 x

−1

lim

ln(1 + x)

x→0

x→∞ ln(1+ x2 )

lim

ln(1 + 2x)

lim

−1

x→∞

x→0 sin 3x

lim arcsin x

lim tg3x + x

x→0

sin x

lim

−cos x

lim

+3х−1

sin x

е2 х

x→0

x→∞

lim

tgx − x

lim

х2

x→0

−cos 2x

x→0

lim sin x + x

lim sin x − x

x→0

arc tgx

x→0

tg2x

156

ТЕМА 4

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧЕСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Признаки монотонности функции

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и f (x) дифференцируема на интервале (a;b) . Тогда:

1)функция f (x) является неубывающей (невозрастающей) на [a;b] тогда и только тогда, когда f ′(x) ≥ 0 ( f ′(x) ≤ 0 ) для всех x из (a;b) ;

2)функция f (x) является убывающей (возрастающей) на [a;b] тогда и только тогда, когда f ′(x) > 0 ( f ′(x) < 0 ) для всех x из (a;b) .

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и f (x) дифференцируема на интервале (a;b) . Функция f (x) является постоянной на (a;b) тогда и только тогда, когда f ′(x) = 0 всех x из (a;b) .

Экстремумы функции

Точка x0 называется точкой минимума (максимума) функции f (x) , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки x ≠ x0 этой окрестности f (x) ≥ f (x0 ) (соответственно f (x) ≤ f (x0 ) ). Значение функции f (x0 ) называется минимумом функции (соответственно максимумом функции).

Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.

Точка x0 из области определения функции f (x) называется критической точкой, если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и f ′(x) = 0 , или f (x) не дифференцируема в точке x0 .

Необходимое условие экстремума.

Если x0 – точка экстремума функции f (x) , то x0 – ее критическая точка.

Достаточные условия экстремума.

1.Пусть функция f (x) непрерывна в некоторой окрестности критической

точки x0 . Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак «+» на «–», то x0 – точка максимума; если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак «–» на «+», то x0 – точка минимума; если при переходе через точку x0 производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.

2.Пусть в критической точке x0 функция f (x) дважды дифференцируе-

ма. Если при этом		f	′′		, то в точке	x0	функция достигает максимума;
				(x) < 0
f	′′	x0		функция достигает минимума.
	(x) > 0 , то в точке

3. Пусть функция f (x) задана параметрически: x =u(t), y = v(t) ,

157

где функции u(t) и v(t) в некотором промежутке изменения аргумента t	имеют
′
производные первого и второго порядка, причем u (t) ≠ 0 . Пусть при t =t0
v′(t) = 0 . Тогда если v′′(t0 ) < 0 , то функция y = f (x) при x = x0 =u(t0 )	имеет

максимум; если v′′(t0 ) > 0 , то функция y = f (x) при x = x0 =u(t0 ) имеет минимум; если v′′(t0 ) = 0 , то вопрос о наличие экстремума остается открытым. Точки, в которых v′′(t) = 0 требуют специального исследования.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее (наименьшее) значение функции, непрерывной на отрезке [a;b] , достигается или в критических точках функции или на концах отрезка.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке [a;b] надо вычислить значение функции во всех критических точках на отрезке

[a;b] , значения f (a) , f (b) на концах отрезка и выбрать наибольшее (наименьшее) из полученных значений.

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Пусть функция	y = f (x) определена и дифференцируема на интервале
′′	в интервале (a;b) , то в этом интервале кривая		y = f (x)
(a;b) . Если f (x) < 0
выпукла, т.е. ее график лежит ниже любой своей касательной; если f			′′
			(x) > 0 в
интервале (a;b) , то в этом интервале кривая		y = f (x) вогнута, т.е. ее график
лежит выше любой своей касательной.
Если f ′′(x0 ) = 0	или не существует, но	f ′(x0 ) существует и вторая произ-
′′			f (x0 )) яв-
водная f (x) меняет знак при переходе через точку x0 , то точка (x0 ,

ляется точкой перегиба кривой y = f (x) .

Асимптоты

Пусть M (x, y) − некоторая точка графика функции y = f (x) . Говорят, что

точка M удаляется в бесконечность по графику, если она движется по графику так, что или x → ±∞, или y → ±∞.

Прямая линия называется асимптотой графика функции y = f (x) , если

расстояние от точки M , лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки M вдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Если

lim f (x) = ∞,

x→a

158

то	прямая	x = a	является	вертикальной	асимптотой	графика	функции
y = f (x) . Вертикальная асимптота параллельна оси Oy .
	Если
		lim	f (x) = c ,
		x→±∞
то	прямая	y = c	является	горизонтальной	асимптотой	графика	функции

y = f (x) (правая при x → +∞ и левая при x → −∞). Горизонтальная асимптота

параллельна оси Ox .

Если существуют пределы

k = lim	f (x)	и b = lim ( f (x) − kx) ,
	x
x→±∞		x→± ∞

то прямая y = kx +b – наклонная асимптота. Заметим, что горизонтальную асимптотуможнорассматриватькакчастныйслучайнаклоннойасимптотыпри k = 0.

Общее исследование функции и построение ее графика

Общее исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

1)найти область определения функции;

2)найти точки пересечения графика с осями координат;

3)исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

4)исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов;

5)найти точки экстремума функции, вычислить экстремальные значения функции, установить интервалы монотонности функции;

6)найти точки перегиба графика функции, исследовать функцию на направление выпуклости;

7)найти асимптоты графика функции;

8)построить график функции.

График функции можно строить в следующей последовательности.

1)нанести точки пересечения с осями координат;

2)начертить все асимптоты;

3)нанести точки экстремума;

4)нанести точки перегиба;

5)при необходимости исследовать поведение функции при x →±∞;

6)начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение графика вблизи асимптот и при x → ±∞;

7)полученный эскиз сравнить с результатами исследования: проверить промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.

159

Примеры решения задач

Пример 4.21. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x + x42 .

Решение. Область определения функции x (−∞;0) (0;+∞) . Найдем

производную данной функции и точки, в которых производная равна нулю или не существует:

		′			8 x3 −8			3
	y		=1				= 0 x −8 = 0 x = 2 .
				− x3 = x3
				− x3 = x3
Точка	x0 = 2			– критическая точка,					она разбивает область определения
								рассматриваемой функции на три интерва-
+						+		ла (рис. 4.1). В каждом из этих промежут-
0			−	2			х	ков	′
0			−	2			х	ков	производная y (x) сохраняет знак

(знак производной отмечен на рис. 4.1.). Рис. 4.1. Тогда данная функция возрастает на про-

межутках (−∞;0) и (2;+∞) и убывает на промежутке (0;2) . Пример 4.22. Найти экстремумы функции y = (x −1)2 (x +1)2 .

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем ее критические точки. Так как

y′ = 2(x −1)(x +1)2 + 2(x −1)2 (x +1) = 4x(x −1)(x +1) ,

то критические точки – x1 = 0, x2 =1, x3 = −1. Составим таблицу знаков производной на интервалах между критическими точками:

Интервалы

x < −1

−1 < x < 0

0 < x <1

x >1

′

−

Знак y

(x)

Тогда

x = −1

x =1

–

точки

локального

минимума

ymin = y(−1) = y(1) = 0 .

Точка x = 0

– точка

локального

максимума

ymax = y(0) =1.

Пример 4.23. Исследовать на экстремум функцию

y = 2x,

x > 0,

−3x − 4,

x ≤ 0.

Решение. Несложно заметить, что точка x = 0 – точка разрыва функции. Производная данной функции

2, x > 0, y = −3, x < 0

160

существует для всех x ≠ 0 . Тогда x = 0 – критическая точка. При переходе через точку x = 0 производная меняет знак «+» на «−», но максимума здесь нет, т.к. в этой точке нарушается непрерывность функции.

Пример 4.24. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y = x2 + 2x −3 − 32 ln x

на отрезке [0,5;1] .

Решение. Данная функция определена для x > 0 и имеет производную в каждой точке этого множества. Так как

y	′	= 2x + 2		3		4x2 + 4x −3		(2x −1)(2x +3)	,
			− 2x		=	2x	=	2x

то x1 = 0,5 и x2 = −1,5 – критические точки. При этом x2 [0,5; 1] . Находим зна-

чения исходной функции на концах заданного отрезка и в критической точке x1 = 0,5 .

y(0,5) = −1,75 +1,5ln 2 ,

y(1) = 0 .

Так как y(0,5) < 0 , то yнаим = у(0,5) = −1,75 +1,5ln 2 и yнаиб = у(0) = 0 .

Пример 4.25. Найти наименьшее значение функции y =1 +xx2 на проме-

жутке [−1;+∞) .

Решение. Для всех x > −1 данная функция дифференцируема и ее производная

y′ =

1 − x2

(

+ x

)

Критические точки x1 = −1 и x2 =1. Так как

y(−1) = −1

, y(1) = 1

и lim

= 0 ,

+ x2

x→∞1

то наименьшее значение функции на интервале [−1;+∞)

наим

= − 1

Пример 4.26.

Найти

промежутки

выпуклости

вогнутости функции

y =5x3 −3x2 + 4 .

Решение. Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем вторую производную:

y′ =15x2 −6x, y′′ =30x −6 .

161

Отсюда

y′′ = 0 x = 0,2 . Так как

y′′< 0 ,

если

x < 0,2

и y′′ > 0 ,

если

x > 0,2 , то исследуемая функция выпукла при x < 0,2

и вогнута при x > 0,2 .

При этом точка x = 0,2 – точка перегиба.

Пример 4.27. Найти асимптоты кривых:

1) y =

;

2) y =

2x2

−1

Решение. 1) Кривая имеет вертикальную асимптоту x =1, так как

lim

= −∞;

lim

= +∞

x −

x −1

x→1−0

x→1+0

(точка x =1 является точкой разрыва второго рода).

Находим наклонные асимптоты:

k = lim

= lim

=1,

(x −1)x

x→∞ x

x→∞

b = lim( y − kx)

= lim

− x

= lim

=1.

x→∞

x −1

x→∞

x −1

Итак, прямая y = x +1 – наклонная асимптота.

2) Кривая имеет горизонтальную асимптоту y = 2 , так как

lim

2x2

= 2 .

→∞ x2 +

Пример 4.28. Провести полное исследование функции

y =

и по-

x2 −1

строить ее график.

Решение.

1)Область определения функции x (−∞;−1) (−1;1) (1;+∞) .

2)Находим точки пересечения с осями координат. Если x = 0 , то y = 0 , т.е. график функции пересекает оси координат в точке (0;0) .

3)Так как


y(−x) =	(−x)3		= −	x3		= −y(x) ,
	(−x)2	−1		x2	−1

то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию в промежутке [0;+ ∞) .

Функция не является периодической.

162

4) Исследуемая функция непрерывна в области допустимых значений. Точки x =1 и x = −1 являются точками разрыва. Исследуем характер точек разрыва.

lim

= −∞;

lim

= +∞;

x2 −1

−1

x→−1−0

x→−1+0

lim =

= −∞;

lim =

= +∞.

x2 −1

x→1−0

x→1+0

5) Исследуем функцию на монотонность. Находим точки экстремума:

y′ =	3x2	(x2	−1) − 2x x3				x2 (x2 −3)
					2	=					.
		(	x2 −	)	2	=	(	x2	)	2	.
			x2 −	1				x2	−1

Тогда y′ = 0 x = 0 и x = ± 3 и в точках x = ±1 производная не существует. Разбиваем область определения функции на интервалы знакопостоянства производной: (−∞;− 3) (− 3;−1) (−1;0) (0;1) (1; 3) ( 3;+∞) . Опреде-

ляем знаки производной в этих интервалах, при этом, как было сказано выше, рассматриваем только промежуток [0;+ ∞) . Результаты для удобства записыва-

ем в таблицу

Интервалы

(0;1)

(1; 3)

(

3;+ ∞)

′

−

Знак y (x)

Монотонность y(x)

убывает

возрастает

Тогда точка x =

3 – точка минимума и ymin = y(

3 )=

≈ 2,6 .

6) Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости, вогнуто-

сти. Вторая производная исследуемой функции равна

−3)

′

2x(x

+3)

y′′ =

(x2 −1)3

(x2 −1)2

она обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x = ±1. Определяем знак второй производной, результат записываем в таблицу:


Интервалы	(0;1)	(1;+ ∞)
′′	−	+
Знак y (x)	−	+
y(x)	выпукла	вогнута

7) Находим асимптоты графика.

163

Вертикальные асимптоты x = −1 и x =1 (см. п. 4). Наклонная асимптота:

k = lim

= lim

=1,

x→∞ x

x→∞

(x2 −1)x

b = lim( y − kx)

= lim

− x = lim

= 0 .

x→∞

x→∞ x

−1

x→∞ x

−1

Итак, прямая y = x является наклонной асимптотой.

8) Строим график исследуемой функции для

x [0;+∞) и отображаем

симметрично относительно начала координат (см. рис 4.2.).


Рис 4.2. График функции y =	x3		с асимптотами
Рис 4.2. График функции y =	x2	−1	с асимптотами
	x2	−1

Задания для самостоятельного решения

4.29. Найти промежутки возрастания и убывания функции:


1)	y = 2x2 −8x +15;				2)	y = x3 −8x2 ;
3)	y = x2ex ;				4)	y = xln x ;
5)	y =	x	− 3	x ;	6)	y =	x2	−1	;
		3					x2

164

165

4) y = x2e−x .

2) 3 2x3

7) y = x(3 x −1);

8) y = 2ex +3e−x ;

9) y = x3 −8x ;

10)

y = x +

;

−

11)

y = x2 ln x ;

12)

1 +

;

x2 −1

y = xe−2 x ;

13)

14)

y =5x ;

15)

y = ln2 x

;

16)

y = xx ;

17)

y = x2 −ln x2 ;

18)

y = (x +1)

x2 −1 .

4.30. Найти экстремумы функции:

1) y =

− x2 ;

2) y = ln x

;

3) y = xe−x ;

4) y = x2 (1 − x) ;

5) y = 2x3 +3x2 −12x +8;

6) y = (x − 2)2 (x + 4) ;

7) y = x + 5 − x ;

8) y = x2 +

;

9) y = x +

;

10)

y = (2x −1)e3x ;

11)

y = x3 −3x ;

12)

y =

+ x3 ;

13)

y =

;

14)

y = x(x −1)3 ;

−

15)

y = x3 (1 − x) ;

16)

y =

;

17)

y = e−x2 ;

18)

y = ex .

4.31. Найти экстремум функции

−5t

− 20t +5,

(−2

<t < 2).

= 4t3 −

3t2 −18t −5,

4.32. Найти максимумы и минимумы функций:

1) y = x24+x 4 ; +3x2 −36x + 4 ; 3) y = xsin x ;

4.33. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на за-

данном промежутке, если:
1)	f (x) = x3 −3x2 +3x + 2, x [−2;2] ;			2)	f (x) = x4 −8x2 −9, x [−1;3] ;
3)	f (x) =3x4 + 4x3 +1, x [−2;1];			4)	f (x) =	x	+	2 ,	x [1;6] ;

					8			x
5)	f (x) =	x	+ 3 , x [−5;−1] ;	6)	f (x) =			4		, x [−3;3];

	3		x				x2 +16
7)	f (x) =		x(10 − x), x [0;10] ;	8)	f (x) = x3 − x,				x [0;4] ;
9)	f (x) = x − 2ln x, x [1;e];			10)	f (x) =			x	, x [−4;0];
							x2	+ 4

11)		f (x) = ln x − x,					x (0;+∞) ;
13)		f (x) =		−x		,	x [−5;0) ;
13)		f (x) =	x2 +		1	,	x [−5;0) ;
			x2 +		1
15)		f (x) = xln x − xln 5, x (1;5] ;
4.34. Найти интервалы выпуклости
дующих функций:
1)	y = x + 1			;
		x
3)	y =3x3 − 2x2 ;

12) f (x) = −3 x2 − x, x [1;+∞) ;

14)f (x) =1 +1x2 , x (−∞;+∞) ;

16)f (x) = 4 − x2 , [−1;1].

ивогнутости и точки перегиба сле-

2)y = (1 + 2x2 )ex ;

4)y = x2 + x ;

x2 +1

y =

x +1

;

6) y = x2 ln x ;

+ x +1

y =

;

8) y = 3 x(1 + x) ;

ln x

y = xex−1 ;

10)

y = x3 −3x.;

11)

y =

;

12)

y =

−9

;

13)

y =

;

14)

y = e−x2 ;

x2 +

15)

y = x5 −5x3 +30x2 − 4 ;

16)

y =

x −5

;

x + 4

17)

y = x2 −

;

18)

y = 4 − 3

x +3 ;

166

19) y =

;

20) y = x

x −8x + 4 .

x2 −

4.35. Найти асимптоты кривых:

y =

x2 +1

;

y =

;

− 2

−

y = xe−x ;

y = xln x ;

y =

5x2

;

y =

−1

−

4.36. Провести полное исследование функции и построить ее график:

y =

;

y =

−

;

−1

y =

;

y =

;

+ x)3

y =

x2 +1

;

y = x2 ln(x + 2) ;

x2 + x +

y = x3 −3x2 −9x ;

y =

x2 +1

;

x2 −1

y =

+ x3 ;

10)

y = 2x2 −9

;

x + 2

11)

y = 3

x2 −1;

12)

y = (x +1)2

;

x − 2

2x2

13)

y =

;

14)

y =3x ;

x +1

15)	y = x −		x ;
17)	y =	x4		;
		x3 − 2

19) y = (x +1)(x − 2)2 ; 21) y = x + e−x ;

23) y = x −ln(x +1) ;

16)	y =	x3		;
16)	y =	x +1		;
		x +1
18)	y = 2 +				x3		;
18)	y = 2 +				x −	6	;
					x −	6
20)	y = 3 x2		−1;

=5(x − 2)

22)y x2 ;

24)y = x + lnx .

167

Задания для индивидуальной работы № 10

Задание

10.1. Найти

наибольшее и наименьшее

значения функции

y = f (x) на заданном промежутке (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Номер

y = f (x)

промежуток

варианта

y =

+ 2−x

x [−1;2)

ln x

x [0,14;1)

y = e2 x−1 + 2e1−2 x + 7x −3

y = 2 23x

−9 22 x +12 2x

x [−1;1]

y = log22 2x −log2 8x

x 1/ 2;2

x [0;π]

y = cos

2 sin x

y =3x2 +2 x−1

x [−2;0]

x [1;4]

y = 2 xln x − xln 2

x [−2;4]

y = (x −3)ex+1

y = (x −3)2 ex

x [−1;4]

x [1;e]

y = x2 ln x

y = x +33

x [0;8]

y = xe−x

x [0;+ ∞)

y =

130 − x2

x [−7;8]

y = arctgx −

1 ln x

;

y =

x −1

x [−∞;4]

x +1

y = x

+ x

x [2;+ ∞)

−

2 −ln x

x −1

x [0;1]

arctg x +1

y =

x [1;+ ∞)

1 + x

y = 3 (x2 − 2x)2

x [0;3]

x2 +1

x [0;+ ∞)

y = x2 + x +1

168

						Окончание табл. 10.1

21	y = (x −3)ex+1						x [−2;4]
22	y =3x2 +2 x−1						x [−2;0]
23		1					x [1;4]
	y = 2 xln x − xln 2						x [1;4]
	y = 2 xln x − xln 2
24	y =sin 2x − x						x [0;π]
25	y =			x −1			x (−∞;+ ∞)
	y =	x	2	−3x +	3		x (−∞;+ ∞)
		x	2	−3x +	3
26	y = 23 x2						x [−8;−1]
27		x2 + x +1					x (−∞;+ ∞)
	y =		x2 +3				x (−∞;+ ∞)
	y =		x2 +3
28	y = −3			x2 − x			x [1;+∞)
29	y =			x −1			x (−∞;+ ∞)
	y =	x	2	−3x +	3		x (−∞;+ ∞)
		x	2	−3x +	3
30	y = (x −3)2 ex						x [−1;4]

Задание 10.2. Провести полное исследование функции и построить ее график (табл. 10.2).

Таблица 10.2

Номер

варианта

y =

− 4

y =

2(2+x)

2(2 + x)

y =

1 − 2x3

y =

4 + x2

y =

e2( x−1)

y =

4 − x2

2(x −1)

y =

x3 −32

y = 1

y =

y = ln

x + 2

1 − x2

y =

e3−x

y =

1 − x2

3 − x

y =

x + 2

y =

(x −1)2

−1

169

Окончание табл. 10.2

y =

12x

9 − x2

1 − x2

y =

2x −1

y =

12x

(x −1)2

9 + x2

y =

2−x

x2 −1

2 − x

y = x2 +

y = x2 −ln x2

1 − x2

y =

y = x + x

y =

1 + x2

x −1

y =

(x −1)

y =

x +1

y = x2е−x

y =

4x2 +

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

	СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1. Аналитическая геометрия		3
Тема 1. Элементы векторной алгебры		3
1.	Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведе-
ние векторов		3
2.	Задания для самостоятельного решения	8
3.	Задания для индивидуальной работы № 1	12
Тема 2. Линия на плоскости		15
1.	Простейшие задачи аналитической геометрии	15
2.	Прямая линия на плоскости	15
3.	Задания для самостоятельного решения	22
4.	Задания для индивидуальной работы № 2	26
Тема 3. Кривые второго порядка		29
1.	Задания для самостоятельного решения	33
2.	Задания для индивидуальной работы № 3	36
Тема 4. Плоскость и прямая в пространстве		39
1.	Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости	39
2.	Уравнения прямой в пространстве	41
3.	Задания для самостоятельного решения	44
4.	Задания для индивидуальной работы № 4	47
Раздел 2. Линейная алгебра		51
Тема 1. Матрицы и определители		51
1.	Действия над матрицами	51
2.	Определители	52
3.	Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей n-
го порядка		54
4.	Обратная матрица	55
5.	Ранг матрицы	55
6.	Задания для самостоятельного решения	62
7.	Задания для индивидуальной работы № 5	66
Тема 2. Системы линейных уравнений		74
1.	Исследование совместимости систем	75
2.	Методы решения систем линейных уравнений	76
3.	Общее решение систем линейных уравнений	77
4.	Системы линейных однородных уравнений	78
5.	Задания для самостоятельного решения	88
6.	Задания для индивидуальной работы № 6	91
Тема 3. Векторы в пространстве		99
1.	Задания для самостоятельного решения	101
2.	Задания для индивидуальной работы № 7	102
Раздел 3. Основы математического анализа		103
Тема 1. Функция		103
1.	Понятие функции. Основные свойства функции	103
2.	Задачи для самостоятельного решения	105

182

Тема 2. Предел числовой последовательности		107
1.	Понятие числовой последовательности и ее предела	107
2.	Бесконечно малая величина и ее свойства	108
3.	Бесконечно большая величина. Связь между бесконечно большой и
бесконечно малой величинами		108
4.	Предельный переход при арифметических операциях	108
5.	Задания для самостоятельного решения	111
Тема 3. Предел функции		113
1.	Понятие предела функции. Односторонние пределы	113
2.	Техника вычисления пределов	114
3.	Раскрытие неопределенностей	114
4.	Эквивалентные бесконечно малые	115
5.	Задания для самостоятельного решения	119
Тема 4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация		124
1.	Задания для самостоятельного решения	126
2.	Задания для индивидуальной работы № 8	128
Раздел 4. Дифференцирование функций		135
Тема 1. Производная функции		135
1.	Понятие производной	135
2.	Дифференцирование явно заданных функций	135
3.	Производные высших порядков. Формула Лейбница	137
4.	Дифференцирование обратных функций и функций, заданных неявно
или параметрически		137
5.	Задания для самостоятельного решения	142
Тема 2. Дифференциал функции		145
1.	Задания для самостоятельного решения	147
Тема 3. Приложения производной		147
1.	Касательная	147
2.	Правило Лопиталя	148
3.	Задания для самостоятельного решения	150
4.	Задания для индивидуальной работы № 9	152
Тема 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию
функции		157
1.	Признаки монотонности функции	157
2.	Экстремумы функции	157
3.	Наибольшее и наименьшее значения функции	158
4.	Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба	158
5.	Асимптоты	158
6.	Общее исследование функции и построение ее графика	159
7.	Задания для самостоятельного решения	164
8.	Задания для индивидуальной работы № 10	168
Ответы		171

183

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20154.9 Mб207Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156.31 Mб221Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20157.85 Mб238Практикум по высшей математике_часть 2.pdf