Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 2

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

Продолжение таблицы 17.1

∞

n −1

∞

∑n=1 n2 + 2n − 4

∑n=1 3n (n2 −1)

∞

∑

+ ln n

n=1 n

n=1

−1

∞

2n −3

∑n=1

ln 2n +3n2

∑n=1 (n +1)!

∞

n + 4

∞

n2 −3

∑

+3n −1

n=1

∞

(n −3)

∑

+ ln(e

+1)

(2n −1)!

n=1

∞

n +1

∞

∑

+ 2n

−5

(n + 2)!

n=1

∞

∑n=1

n2 + 2n +1

∑n=1 2 +9n

∞

∑

∑n

+ 2

n=1

ln e +3n

n 1

∞

n3 +1

∞

5n (n2 + 2)

∑

+ 2n

+3n

(2n +1)!

n=1

∞

∑

+ ln n

(2n +3)

n=1

∞

n3 − 2

∑n=1

n4 + ln(en −1)

∑n=1 5n + 7n

∞

n 3n

∑n=1

n4 +3n −1

∑n=1 5n + 7n

∞

∑

∑n

+ 2n

+ ln n

n=1

(n + 2)!

∞

(n +5)

∑

n +3

(2n −1)!

n=1

∞

∑

+3n

n=1

∞

n +1

∞

∑

n +3

(2n −1)!

n=1

∞

3n2

∑

(2n +1)!

n=1

+ 2n

n=1

198

Окончание таблицы 17.1

∞

n2 +1

∞

∑n=1

∑n=1 n!

n5 −3n2

∞

−5

∑

4n3 + ln n

n=1

+ 7

∞

n − 2

∞

∑

+ 2n

−1

+ 2n −5)

n=1

∞

n3 − 4

∞

5n +1

∑n=1

n6 −5n4 +1

∑n=1 (2n −1)!

∞

n −3

∞

∑

− 2

n=1

+ 2n − 4

n=1

∞

∑n=1

n3 − 2n

∑n=1 5n (n3 +3)

∑

∞

∑

∞

n=1 n!

n=1

n + 2n

∞

n +1

∑n=1

ln(en + 7)

∑n=1 5n +3n

∞

n +1

∞

∑n=1

n3 + 2n +3

∑n=1 5n +3

Задание 17.2. Найти интервал сходимости степенного ряда (табл. 17.2):

Таблица 17.2

Номер

варианта

∞

∑

3 х

n=1

2n +1

∞

∑

(−1)

n=1

+ n

∞

хn

∑n=1

6n (2n3 +

∞

(−1)

∑

n=1

∞

2n хn

∑n=1

3n2 −3

∞

(−1)

∑

n2 + 2n

n=1

∞				n			х	n
∑	(−1)2						х
n=1	5n			+ n
∞				х	n
∑				х
∑	9	n	(3n + 4)
n=1	9		(3n + 4)
∞			х	n
∑			х
∑			2	+1
n=1	3n			+1
∞	(−1)n хn
∑	3		n	+ 2			n
n=1	3			+ 2
∞	(−1)				n		х		n
∑	(−1)						х
∑	n					2	+ 2)
n=1	5 (3n						+ 2)
∞				х	n
∑				х
∑	7	n	(2n +1)
n=1	7		(2n +1)

199

Окончание таблицы 17.2

∞

(−n1)

∑

(3n +1)

n=1

3 (n +1)

∞

(−1)

∑

3 2n2 + n

n=1

−3

n=1

∞

(−1)

∞

∑

n3 + 7n

n=1

∞

(−1)n хn

∞

хn

∑

25. ∑

5n +3

n=1

∞

(−1)n хn

∞

(−1)n хn

∑

n2 +1

∑

n=1

∑

(−1)

3 3 х

∞

3 х

∑

∞

n=1

3n +1

n=1

2n +1

∞

(−1)

∑

n3 +1

n=1

3 (3n +5)

n=1

∞

(−1)

∑

+ 2

+ 7)

n=1

2 (5n

∞

(−1)2

∞

∑

+ n

2n +1

n=1

Задание 17.3. С помощью разложения в ряд Маклорена подынтегральной функции, вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл (табл. 17.3):

Таблица 17.3

Номер						Номер
варианта						варианта
	0,3	sin x	2				1	1
1	∫	sin x		dx		16	∫	1					dx
1	∫	x		dx		16	∫	1 +		х	8		dx
	0	x					0	1 +		х
	0,9						0,6	1 −cos9x2 dx
2	∫е−0,4 х2 dx					17	∫	1 −cos9x2 dx
	0						0			x
	1						0,7			−3х
3	∫1 −cos5xdx					18	∫	1 −е					dx
	0	x					0	х
4	0,6 ln(1 + x2 )				dx	19	0,5 sin 2x					2	dx
4	∫	х			dx	19	∫	x	2				dx
	0	х					0	x
	0,7	1					0,7	1 −е−7 х
5	∫0			dx		20	∫0						dx
5		1 + х4		dx		20		х					dx
		1 + х4						х

200

	0,7		sin 3xdx
6	∫		sin 3xdx
	0		3x
7	0,7		е−х4	dx
7	0,1∫		х	dx
	0,1∫		х
	0,8
8	∫cos 4x2dx
	0
9	0,9		1 −е−5 х		dx
9	∫0		5х		dx
	∫0		5х
	0,7 1 −е−3х
10	∫0		х		dx
10					dx
	0,8		sin 22x3 dx
11	∫		sin 22x3 dx
	0		2x
12	0,2 ln(1 + x4 )					dx
12	∫0			х2		dx
	∫0			х2
	0,3		sin x2 dx
13	∫		sin x2 dx
	0		x
	0,5
14	∫cos x2dx
	0
15	∫1	е−8 х3 dx
	0

	Окончание таблицы 17.3
21	0,6	1 −cos7x				dx
21	∫	2x		2		dx
	0	2x
	0,3
22	∫	1 + х5 dx
	0
23	0,1 ln(1		+ x5 )		dx
23	∫0	х3			dx
	∫0	х3
	0,7	sin 3x3 dx
24	∫	sin 3x3 dx
	0	x
	0,7
25	∫ е−х2 dx
	0
	0,7	ln(1 + x3 )dx
26	∫	ln(1 + x3 )dx
	0		х
	0,7
27	∫ cos3xdx
	0
	0,4
28	∫ е−х5 dx
	0
	0,7	1
29	∫0	1		dx
29		1 + х4		dx
		1 + х4
	0,7	1 −cos x2 dx
30	∫	1 −cos x2 dx
	0		x

201

ПРИЛОЖЕНИЕ

Комплексные числа. Число вида

z = a +ib , a, b R ,

где i2 = −1 и a, b − действительные числа, называется комплексным числом. Число i называется мнимой единицей, причем i = −1 .

Квадратное уравнение. Уравнение вида ax2 +bx +c = 0 (a ≠ 0) называется квадратным

уравнением. Величина D = b2 −4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

1) Корни квадратного уравнения. Если D ≥ 0 , то уравнение имеет два действительных корня (при D = 0 корни совпадают):

x	= −b ± D .
1,2		2a

Если D < 0 , то уравнение имеет два комплексных корня (действительных корней нет), вычисляемые по формуле

x	= −b ±i D .
1,2		2a

Таблица простейших интегралов

∫xα dx =

xα+1

+C,

(α ≠ −1);

∫dx

α +1

= ln

+C;

∫ax dx =

+C,

(a > 0,

a ≠1);

ln a

∫ex dx = ex +C;

∫

= arcsin

(a ≠ 0); .

− x

∫

= a arctg

+C,

(a ≠ 0); .

a2 + x2

7.∫sin xdx = −cos x +C;

8.∫cos xdx = sin x +C;

9.∫cosdx2 x = tgx +C;

10.∫sindx2 x = −ctgx +C;

∫

x −a

+C,

11.

≠ 0);

x2 −a2

x +a

∫

±а

+C,

(a ≠ 0);

12.

= ln

x +

x ±а

+ a2

17.

∫

a2 − x2 dx = 1 x

− x2

arcsin

+C, (a ≠ 0);

202

ОТВЕТЫ

5.1. 1) D ={(x, y) R2 : x2 4 + y2 16 ≤1}, часть плоскости, ограниченной эллипсом x2 4 + y2 16 =1 вместе с границей; 2) вся плоскость R2 ;

3)D ={(x, y) R2 :x > 0, y > 0 }, внутренние точки первого координатного угла;

4)вся плоскость R2 за исключением точек прямой x = y ;

5)D ={(x, y) R2 : x ≥ −1; y ≠ 0}, часть плоскости, расположенная справа от прямой x = −1, включая прямую, за исключением оси Oy ;

6)D ={(x, y) R2 : x2 ≠ y2}, вся плоскость, за исключением биссектрис коорди-

натных углов; 7)	{			}	под прямой
	D =	(x, y) R2 : y < x 4; x ≠1 , полуплоскость
y = x 4 , за исключением точек этой прямой и прямой x =1;
{	< −x	}	, полуплоскость под биссектрисой второго и четвер-
8) D = (x, y) R2 : y
того координатных	углов; 9)			D ={(x, y) R2 : y < 4x; x2 + y2 <1},	внутренняя

часть окружности x2 + y2 =1 , лежащая ниже прямой y = 4x ; 10) вся плоскость, кроме биссектрисы второго и четвертого координатных углов; 11) вся плоскость; 12) внутренняя часть окружности x2 + y2 = 4 ; 13) вся плоскость, кроме внутренней части круга x2 + y2 =16 и его контура; 14) внутренние точки первого и третьего координатных углов; 15) вся плоскость, кроме внутренней части кругаx2 + y2 = 9 ; 16) внутренние точки первого координатного угла; 17) вся

плоскость; 18) два тупых вертикальных угла, образованных прямыми x = 0 и y = 0,5x , включая точки прямых, кроме точки (0;0) ; 19) вся плоскость; 20) вся

плоскость, кроме прямых		x + y = 0,5 + k, k = 0, ±1,± 2,...; 21) полуплоскость над
биссектрисой второго и четвертого координатных углов;
22)	{	}				внутри параболы
	D = (x, y) R2 : y ≥ x2	3 , полуплоскость, лежащая
y = x2 3 , включая саму параболу; 23)			D =	{	(x, y) R2 : y2	}
						16 − x2 16 ≤1 , часть
плоскости, лежащая внутри гиперболы			y2	16 − x2 16 =1, вместе с параболой;

24) внутренние точки первого координатного угла; 25) вся плоскость, кроме прямых x + y =π2 + k, k = 0, ±1,± 2,... ; 26) D ={(x, y) R2 : x2 ≠ y2}, вся плос-

кость, за исключением биссектрис координатных углов; 27) полуплоскость под прямой y = x + 4 , за исключением точек этой прямой; 28) внутренние точки

первого и третьего координатных углов; 29) D ={(x, y) R2 :x >1, y >1}, внутренний верхний правый угол, образованный прямыми x =1, y =1;

30) D ={(x, y) R2 : x ≥ 2,5; y ≠ −1}, часть плоскости, расположенная справа от прямой x = 2,5, включая прямую, за исключением прямой y = −1.

203

5.2. 1)

x2 + y2 +z2 <1; 2)

x >0, y >0, z >0 ; 3)

x >0, y >0, z >0 или x <0, y <0, z >0 ; 4)

−1≤ x + y +z <1; 5) x >0, y >0, z >0 ; 6) y ≠−z ; 7) z ≠0 ; 8) y >−x, z ≠0 .

5.6. 1) z′x = 6xy − y2 +15x2 , z′y = 3x2 − 2xy − 4 ; 2) z′x = −6xsin x −sin 2 y − yexy ,

z′y

= 2x cos 2 y − xexy ; 3) z′x = 3y 5x+y ln 5, z′y

= 3y 5x+y ln15 ; 4) z′x = 3

y +

3y2

2 y

z′y

−

; 5) z′x =8xln (4x

2 + y

2 )+

, z′y = 2 y ln (4x2 + y2 );

cos

6) z′x

=3x2 −3ay , z′y

=3y2 −3ax ; 7) z′x = 2xy 8x2 y ln8, z′y = x2 8x2 y ln8 ;

8) z′x =

10x

, z′y =

; 9) z′x = −

, z′y = −

;

x(y + ln x)

y + ln x

(y + x2 )2

10) z′x

= −

, z′y = x

; 11) z′x =

ln 5 , z′y

= −

ln 5 ;

3 y (4 y − x)

3 x2 (x − 4 y)

y−1

12) z′x

, z′y

; 13) z′x

= yx

−

33 xy (2 y + x)2

y2 (x + 2 y)2

y2 − x

6 y

sin

z′y = x

z′x

x , z′y

x ; 15) z′x

ln x +

; 14)

= −

cos

= x cos

y2 − x

cos2 (x +5)

z′y

= tg (x +5); 16) z′x = −2xsin (2x2 + 2 y2 ), z′y = −2 y sin (2x2 + 2 y2 );

17) z′x

, z′y

xy (2 y −1)

; 18) z′x

, z′y =

;

2 xy

2 y2

(x2 + y)ln 2

19) z′x

2x +1

33 x2 + x

z′x =

2 y

, z′y

z′y = −

(y +1)2

; 20)

= −

;

3 (x2 + x)2 (y +1)

(x + y)2

21) z′x

, z′y = −

; 22) z′x

= y ln (x2 + y)

2x2 y

− 2 y

x2 + 2 y

x + y

z′y

= x ln (x2 + y)+

; 23) z′x

z′y = −

;

+ y

(x2 + y2 )arctg

24) z′x

= y cos x cos xy −sin xsin xy , z′y

= x cos x cos xy ; 25) z′x

(x2 + y

2 )arcctg2

z′y

; 26) z′x

= −

cos

sin

(x2 + y2 )arcctg2

204

z′y = −

; 27) z′x

πx cosπ (x2 + y)

cos

− x sin

sin

sinπ (x2 + y)

z′y =

π cosπ (x2 + y)

; 28) z′x = z′y = −

x + y

; 29) z′x =

2xy

x + y

y − x4

sinπ (x2 + y)

−y

z′y = arcsin

−

; 30)

z′x

= −e

cos x + e

sin x

, z′y

= e

cos x −e

sin x ;

y − x

y x

x x

1 x

−1

31) z′x

= arcctg

z′y

= −

; 32) z′x =

+ y

)

x + y

y 2

+ y2

2xy + cos x

z′y = −

; 33) z′x

, z′y =

;

+ y2

5 (x2 y +sin x)4

(x2 y +sin x)4

34)

z′

, z′ =

; 35)

z′ = ex (1 + x)−ey

− x2

x2 − y2

z′x

cos(2 y)

z′y = −

cos(2x)

36)

= −

; 37) z′x = −

sin2 (x + y)

z′y =

; 38) z′x

2 y

ln 5 , z′y

= −

e x −

3y (3 y − 3

x )

39)

z′x

2xy

, z′y = −

2x2

(x2 + y2 )

(x2 + y2 ) x2 − y2

x2 − y2

,	z′y = −xey ;
	3 y				,
3x(3 y − 3 x )
=	2 y e	y2	+	1		5	y	ln 5 ;
		x					x
				x2
	x

;

40) z′x = −

, z′y

= −

(1 −

xy )(1 +

xy )3

(1 − xy )(1 +

xy )3

5.7. 1) u′x

= exyz (yz (x − y2 + z3 )+1), u′y

= exyz (xz (x − y2 + z3 )− 2 y),

u′z

= exyz (xy (x − y2 + z3 )+3z2 ); 2) u′x

2 yz

u′y =

2xz

u′z =

2xy

;

sin (2xyz)

u′x

y + z

, u′y =

x + z

, u′z =

x + y

;

8 xy + xz + zy

u′x

= ctg (x − y + z), u′y

= −ctg (x − y + z), u′z

= ctg (x − y + z);

u′x

x+y2 +z3

, u′y

4 ye

x+y2 +z3

, u′z =

x+y2

+z3

; 6) u′x

= sin (2(x − y)),

sin (

2ex+y

)

sin (2ex+y

)

sin (

2ex+y

)

u′y = −sin (2

(x − y))−sin (2(y + z)), u′z

= sin (2

(y + z)); 7)

u′x

xy z−1 ,

205

u′z = −

; 8) u′x

+ y) , u′y

u′y = z x

ln x

= −2xz sin(x

= −z sin(x

+ y) ,

u′z

= cos(x2 + y) ; 9) u′x = yzxy ln z , u′y

= xzxy ln z , u′z

= xyzxy−1 ; 10) u′x = yxy−1 ,

u′y

= xy ln x + zyz−1 , u′z

= yz ln z ; 11) u′x

u′y

u′z

= −

;

z cos2

z2 cos2

x z−1

12) u′x

, u′y =

u′z

= −

+ y

; 13) u′x =

= z x

z−1

−z

z x2

+ y

2z x2 + y

−1

arcsin

u′y

= −

= −zxz y−z+1 , u′z

; 14) u′x

2 x

− y2

−y arcsin

x − y2

u′y =

, u′z =

;

x − y2

4 − z2

15) u′x

= −exy

ctg

x +

(x + y)

sin

x + y

u′y

= −exy

ctg

+ y

(x + y)

sin

+ y

u′z

= −e

ctg

; 16)

u′x =

2(x − y)

x + y

(x + y)sin

u′y

= ln

x − y ; 17) u′x

x + y

= − 2(x − y), u′z

= −(z

+1)sin (x + y + z)e

cos( x+y+z)

u′y

= −(z2

+1)sin (x + y + z)ecos( x+y+z) , u′z

= (2z −(z2

+1)sin (x + y + z))ecos( x+y+z) ;

18) u′x

z cos y2

, u′y =

−2 yz sin y2

u′z

cos y

= −

5.8. 1) dz =

y arccos

dx + x arccos

−

dy ;

− y2

x − y2

2) dz = dx + dy ; 3) dz =

(dx −6 ydy); 4) dz =

(xdx + ydy);

2 x −3y2

+ y2 −1

x + y

206

5) dz =

(xdx + 4 ydy); 6) dz =

(xdx − 4 ydy);

ln 3

x2 + 4 y2 −1

ln8

x2 − 4 y2 −1

7) dz =

(−sin 2 y cos2 xdx +sin 2xcos 2 ydy);

(sin 2x −sin 2 y)

8) dz = −ecos( x+y) sin (x + y)(dx + dy); 9) dz =

ex+y

(dx + dy);

(

x+y

)

1 −e

x−y

10) dz =

(dy − dx); 11) dz =

; 12) dz =

−dx +

;

(

)

x−y

2 x

1 + e

13) dz = 2ex2 +y2 (xdx + ydy)

; 14) du =

(yzdx + xzdy + xydz);

1 + x2 y2 z2

(x + z)dx +

15)

du =

+1 dx −

+1 dz

;

16) du =

(xdx + ydy + zdz); 17) du =

(xdx + ydy + zdz);

x2 + y2 + z2

18) du =

(ydx + xdy + 2zdz);

xy + z2

19) du =

(x − y)z−1

(xdx − zdy +(x − y)ln (x − y)dz);

2 z

+(x − y)

20) du = −

(xdx + ydy + zdz).

x2 + y

2 + z

1 − x2 − y2 − z

)

(

+ y

+ z

)

5 3

5.14.

. 5.15. 3

. 5.16.

≈ 3,987. 5.17. ln 28 +0,010 =3,343 .

x + y + z

5.18. z =4,01. 5.19. 1) 2,923 (3); 2) 0,00698; 3) ≈ 3,023; 4) 1,998; 5) ≈ 4,978;

6) 0,08. 5.21. уменьшится на 10π . 5.22. 1) 18 2 ; 2)

; 3)

5 ; 4)

−

;

. 5.23. 1) 4 3 ; 2) 2; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7)

; 8)

8 ; 9)

2 3

; 10) 0;

11)

; 12)

; 13) −

. 5.24.

(1 2;1 2); 2)

(0;e); 3)

2π

;−

−

;

(1;1 3); 5) (108 +5ln 5;−27 +5ln 5). 5.25. 1) (–1; –2; 3); 2) (1; 0; 1);

(1−π;−1;0); 4)

(1 2;−1 2;1 2); 5) (1 3e;2 3e;−1 3e); 6) (1 5;1 5;1 5);

−8;

−4;2

; 8) (1; 0; 0); 9) (4; 5; 2). 5.26. arccos

cos

207

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2321 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20155 Мб213Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156 Мб229Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20158 Мб266Практикум по высшей математике_часть 2.pdf