Практикум по высшей математике_часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

= limb→∞(ln x

1b )= limb→∞ (ln b −ln1)=∞ .

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

∫1

= ∫1

+ ∫2

(x − 2)2

Так как

2−ε

− 1

∫

= lim

∫

= − lim

= ∞

(x − 2)

ε→+0

(x − 2)

ε→+0

x − 2

ε→+0

1 −

=∞,

∫

= lim

∫

= − lim

(x − 2)

ε→+0

(x − 2)

ε→+0

x − 2

ε→+0

2+ε

то исходный интеграл расходится.

Заметим, что формальное применение формулы Ньютона – Лейбница к данному интегралу, привело бы к неверному результату:

4	dx			1	4		1			3	.


			= −			= −		+1	= −
∫1 (x − 2)		2		x − 2			2			2
					1

Пример 6.49. Исследовать на сходимость интеграл Дирихле

∞ dx I =∫1 xα .

Решение. Первообразная функции 1 xα зависит от значения параметра α . 1) Пусть α =1 , тогда

Интеграл расходится.

2) Предположим, что α <1. Тогда

I =lim b

=lim

x−α+1

b =

lim

(

x1−α

)

b =

lim

(

b1−α −1

=∞.

b→∞ ∫1

xα

b→∞

−α +1

1−α b→∞

)

Интеграл расходится. 3) Наконец, пусть α >1 .

x−α+1

I = limb→∞

∫

α = limb→∞

limb→∞

α−1

−α +1

1 −α

lim

−1

(0 −1)=

α−1

α −1

−α b→∞ b

Интеграл сходиться.

119

Таким образом, интеграл Дирихле сходится, если α ≤1 и расходится, если

α >1 .

Задания для самостоятельного решения

6.22. Вычислить интегралы с бесконечными пределами интегрирования

или установить их расходимость:

+∞∫

;

+∞∫

;

+∞∫

;

−∫1

;

3 2

−∞

+∞∫exdx ;

−∫1 dx2 ;

−∞ x

+∞∫

;

+∞∫ xe−x2 dx ;

1 + x

∫0

xe−x2 dx ;

10)

+∞∫

dx ;

−∞

11)

+∞∫

dx ;

12)

+∞∫

;

1 + x

−

13)

∫0

dx ;

14)

∫0

dx ;

+ 3

−∞

15)

∫0

;

16)

+∞∫

;

−∞ 3 (x +8)

7 + x

+∞

17)

−∞∫

arctg1 + x2xdx ;

18)

−∞∫

;

3 x5

19)

+∞∫e−2 xdx ;

20)

+∞∫

1 − x

−∞

∞

6.23. Вычислить интегралы от неограниченных функций или установить их расходимость:

2	dx		4	dx
1) ∫1		;	2) ∫2		;
	4 − x2			(2 − x)2

120

∫1

;

∫2 ln(x −1)dx ;

−1

1 − x

x −1

∫1

;

∫2

;

1 − 2x

0 3 (1− x)

∫4

;

∫1

;

1 3 (x −3)

0 (1 − 2x)

2хdx

∫0

;

10) ∫0

;

1 − х4

xln2 x

cos xdx

12) ∫2

11) ∫2

;

хdx

4 − х

(1 −sin х)

6.24. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1)	+∞∫ x cos x2dx ;
	0
3)	+∞∫ x3e−x2 dx ;
	0
5)	+∞∫ x 3−3 xdx ;
	1
7)	+∞∫ e− x dx ;
	0
	1		dx
9)	∫0		dx			;
9)	∫0	x2 − 4x + 3				;
11) ∫1			dx		;
11) ∫1			(x −1)	3	;
	0		(x −1)
13) ∫2 ln xdx ;
	0
	2
15)	∫π cos 1 dx2 ;
	0		x x

17) ∫0 x е3 хdx ;

−∞

2)	+∞∫	ln3 xdx ;
	1	x
	+∞	dx
4)	∫0		;
		1 + x3

6)∫ x 23 dx ;

−∞

8)	+∞∫ xsin 2xdx ;
	1
	2
10)	e∫		ln x	dx ;
10)	e∫			dx ;
	1		x
	2		dx
12)	∫0		dx		;
12)	∫0	x2 + x			;
14)	∫1		dx			;
14)	∫1	3	x +			;
	0		x +		x

16) π∫tgxdx ;

18) ∫0 еx sin xdx ;

−∞

121

19) ∫1 sin	π	dx3 ;
19) ∫1 sin	2	dx3 ;
0	x	x

π 2

20) ∫ctgxdx .

ТЕМА 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Вычисление площадей в декартовой системе координат

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x) , снизу осью Ox , слева и справа соответственно прямыми

x = a и x = b (рис. 6.1), вычисляется по формуле

S = ∫ f (x) dx .

Для трапеции, лежащей под осью Ox (рис. 6.2), площадь S вычисляется

по формуле
S = ∫b	f (x)	dx = −∫b	f (x)dx .	(6.18)
			f (x)dx .	(6.18)

a		a
у			у
y = f (x)			а	b x
	S		S
	S
			y = f (x)
а		b	x
Рис. 6.1			Рис. 6.2

Первое равенство в (6.18) справедлива и в случае, когда функция y = f (x) на отрезке [a,b] конечное число раз меняет знак.

y = f2 (x)

y= f1 (x)

аb x

122

Рис. 6.3

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми x = a и графиками

кривых y = f1(x) и y = f2 (x) , причем	f2 (x) ≥ f1(x) , то ее площадь (рис. 6.3) равна
S = ∫b [f2 (x) − f1(x)]dx .	(6.19)
a
Заметим, что формула (6.19)	справедлива для любых функций f1(x) и

f2 (x) – как положительных, так и отрицательных; единственное требование –

f2 (x) ≥ f1(x) .

Если криволинейная трапеция ограничена справа графиком функции x = g( y) , слева осью Oy , снизу и сверху прямыми y = c и y = d , то ее площадь

вычисляется по формуле

S = ∫d g( y)dy .

Вычисление объема тела вращения

Объем Vx тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) ( f (x) ≥ 0 ), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b ( a < b ) (рис. 6.4), выражается интегралом

Vx =π ∫b	f 2 (x)dx .	(6.20)
a
Аналогично, объем Vy тела, образованного вращением вокруг оси Oy
криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = g( y)		( g( y) ≥ 0), осью орди-
нат и прямыми y = c и y = d ( c < d ) (рис. 6.5), выражается интегралом
Vy =π∫d g2 ( y)dy .		(6.21)
c
у		у
y = f (x)
		d
a	b x

x x = g( y)

123

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

Вычисление длины дуги плоской линии, заданной в декартовой системе координат

Если плоская кривая задана уравнением y = f (x) и ее производная f ′(x) непрерывна, то длина дуги этой кривой определяется формулой

l = ∫b	1 +[f ′(x)]2 dx .	(6.22)
a

Примеры решения задач

Пример 6.50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками

функций y = 4 − x2	и y = x2 −2x (рис. 6.6).
Решение. Найдем абсциссы точек A и B пересечения данных парабол:
4 − x2 = x2 −2x x2 − x −2 = 0 x = −1, x =2 .
	1	2
у	y = 4 − x2	у
у		у	−2 y2
А	y = x2 −2x	x =1	−2 y2
	y = x2 −2x	x = −y2
		x = −y2
	В		x
	В
−1	2 x
	Рис. 6.6	Рис. 6.7

Для вычисления площади полученной фигуры используем формулу (6.19):

2															2
S = ∫						2	) −(x			2					= ∫(−2x		2	+ 2x + 4)dx =
S = ∫	(4 − x						) −(x				− 2x) dx				= ∫(−2x			+ 2x + 4)dx =

−1															−1
		2	x	3	+ x			2				2	= −	16	+ 4	+8 −			2		(кв. ед.).
		2		3				2				2		16					2
= −		3							+ 4x					3					3	+1− 4 = 9
												−1
												−1
Пример 6.51. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
x = −y2 и x =1−2 y2		(рис. 6.7).

Решение. Находим ординаты точек пересечения заданных кривых:

124

	−y2 =1−2 y2 y2 =1 y = −1, y																					2	=1.
																	1					2
Тогда искомая площадь равна
	1								2						2				1			2				y	3					1
	1																		1								3					1
	S = ∫									)		−(−y						= 2∫			(−y		+1)dy = 2		−			+ y				=

		(1 − 2 y														) dy										3
	−1																		0							3						0
	−1			1							1		4						0													0
	= 2		−		+							=		(кв. ед.).

				3			1						3
											0
											0
Пример	6.52.			Вычислить												площадь					фигуры, ограниченной линиями
y = 4 − x2 и y = 0 .
Решение. Находим точки пересечения данной параболы и оси Ox ( y = 0 ):
4 − x2 = 0 x = −2, x = 2							. Тогда
1			2
	2					2											x3			2			8		8				32
	2					2											x3			2			8		8				32
	S = ∫(4 − x							)dx =					4x			−				= 8 −				− −8 +			=			(кв. ед.).
	S = ∫(4 − x							)dx =					4x			−	3			= 8 −				− −8 +	3		=		3	(кв. ед.).
	−2																3			−2			3		3				3
у	−2																			−2	Пример 6.53. Определить объем
																					Пример 6.53. Определить объем
																				тела, образованного вращением вокруг
	y2		= 4x																	тела, образованного вращением вокруг
	y2		= 4x																	оси Ox фигуры, ограниченной линия-
																				ми y2 = 4x ( y ≥ 0 ) и x = 2 .
																					Решение. В прямоугольной сис-
0	2											x								теме координат строим фигуру, огра-
0	2											x								ниченную данными линиями (рис. 6.8).
																				По формуле (6.20) находим объем:
																				V =π ∫2								2
																								4xdx =π 2x2					=8π (куб. ед.).
																								4xdx =π 2x2					=8π (куб. ед.).
																							0					0
	Рис. 6.8
Пример 6.54. Фигура,												ограниченная дугой кривой y = 2																	x ,		осью Oy и

прямой y = 2 , вращается вокруг оси Oy . Вычислить объем полученного тела вращения (рис. 6.9).

Решение.	По условию y [0;2], следова-			у	y = 2	x
		y2		у	y = 2	x
тельно, обратная функция x =		y2	4 рассматрива-	2
тельно, обратная функция x =			4 рассматрива-
ется на отрезке	x [0;1] . Тогда,		используя фор-
мулу (6.21), находим искомый объем:
				0	1	x

125

	2	y	2	2			π	2		π		2		2π


V =π	∫0				dy =			∫0	y4dy =		y5		=		(куб. ед.).
		4				16				80				5
												0			Рис. 6.9

Пример 6.55. Вычислить длину дуги параболы y = 23 x32 , если x [0;3].

Решение. Так как y′ = x , то по формуле (6.22) получаем

3	1 + xdx =	2	3	3	2	(2	43	− 2 13 )=	14	(ед.).

l = ∫			(1 + x)2	=
0		3		0	3				3

Задания для самостоятельного решения

6.25. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

		1)		y =3 − 2x − x2 , y = 0 ;			2) y2 =5x, x =1;
		3)		xy = 4, x =1, x = 4, y = 0 ;		4)	y = ln x, x = e, y = 0 ;
		5)		y = x3 , y =8, x = 0 ;		6)	y = x2 +3x, y = x +3 ;
		7)		y = x2 , x =3, x =6, y =0 ;		8)	y2 = 2x +1, y = x −1;
		9)		y2 =16 −8x,	y2 = 24x + 48;	10)	y = x2 −4x,	y = x −4 ;
		11)		y = 3 , y = 4ex , y = 3, y = 4 ;		12)	y = 4 − x4 ,	y = 3 x ;
				x	x2 = −6 y, ( y ≤ 0) ;	14)	y = x2 , y = 2 − x2 .
		13) x2 + y2 = 72,			x2 = −6 y, ( y ≤ 0) ;	14)	y = x2 , y = 2 − x2 .
		6.26. Вычислить			внутреннюю площадь,	ограниченную		эллипсом
x2	+	y2	=1.
a2	+	b2	=1.
a2		b2

6.27.Окружность x2 + y2 = 4 разделена параболой y2 =3x на две части. Найти площадь обеих частей.

6.28.Найти площади фигур, на которые парабола y2 = 2x делит окруж-

ность x2 + y2 =15.
6.29. Вычислить		площадь	фигуры,	ограниченной	линиями	y =sin x ,
y = cos x , x = 0 , x =π	4	.
	4					y = sinπx ,
6.30. Вычислить		площадь	фигуры,	ограниченной	линиями,	y = sinπx ,
x = −0,5 , x =1,5 .
6.31. Вычислить		площадь	фигуры,	заключенной	между	параболой

y = x2 −4x +3 и касательными, проведенными к параболе в точках (3;0) и (0;3) . 6.32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = ln x и

y = ln2 x .

126

6.33.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой y = e−2 x , если.

6.34.Найти площадь, заключенную между кривой y = e−x ( x >0 ) и осями

координат.

6.35. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = ln(x + 2) , y = 2ln x , y = 0 .

6.36.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = ex , x = 0, x =1, y = 0 вокруг оси Ox .

6.37.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y =5x − x2 , y = 0 , вокруг оси Ox .

6.38.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной параболами y = x2 , y = x .
		6.39. Вычислить объем тела,			образованного вращением линии y =		x
		6.39. Вычислить объем тела,			образованного вращением линии y =	1	+ x2
вокруг оси Ox .						1	+ x2
вокруг оси Ox .
		6.40. Вычислить объемы тел, образованных в результате вращения эллип-
са	x2	+	y2	=1 вокруг:
са	a2	+	b2	=1 вокруг:
	a2		b2
		1) оси Ox ; 2) оси Oy .
		6.41. Вычислить объем тела,			образованного вращением вокруг оси		Oy

фигуры, ограниченной линиями y = x2 , x =3, y =1.

6.42.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = ln x, x = 2, y = 0 .

6.43.Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, образованными при вращении линий y = e−x , x =0, y =0 (x ≤0) :

1) вокруг оси Ox ; 2) вокруг оси Oy .

6.44.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = xex , y = 0, x =1.

6.45.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг прямой y =1 фигуры, ограниченной графиком функции y =1 +cos2 x (−π 2 ≤ x ≤π 2).

6.46.Вычислить тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,

ограниченной линиями y = x2 2 + 2x + 2 и y = 2 .

6.47.Вычислить длину дуги кривой y = ex , заключенной между точками

A(0;1) и B(1;e) .

6.48.Найти длину окружности x2 + y2 = r2 .

6.49.	Найти длину линии y = ln x от x1 = 3 до x2 =	8 .
6.50.	Найти длину дуги кривой y = ex +6 , если ln	8 ≤ x ≤ ln 15 .

127

3
6.51. Найти длину линии y = x2	, если 0 ≤ x ≤12 ;

6.52. Найти длину линии y = ln(1 − x2 ) , если 0 ≤ x ≤ 0,5

Задание для индивидуальной работы № 14

Задание 14.1. Используя метод непосредственного интегрирования вычислить интегралы (табл. 14.1). Сделать проверку.

Таблица 14.1. Распределение вариантов

Номер

варианта

∫

x dx

а)

sin(2x +3) +

−

x dx

б)

∫

9 − x2 −9 + x2

а)

2cos(2 − x) −

б)

sin

∫ (9 − x2 )

9 − x2

∫

−

3 2

+ 2

а)

3 +

+ 4

б)

∫

а)

+ 4 2

−

б)

3 x +

cos

3 x

а) ∫

б) ∫

3x5

+ 2x2

1 − x

∫

+ 7x

x dx

а)

3cos(5 − 2x) +

б)

∫

−

∫

а)

3 3x −

2 +

−e

2 x

б)

−

4 + x2

а) ∫

б) ∫3x

2х

cos3x +

−

∫

3x5

+ х3 + х

а)

+5 +

б)

∫

+3 +

а)

2 +3 x −

б)

∫

1 −

9х

∫

−3−

х + 3 2х+

∫

3х

+ 2 dx

а)

б)

9 − x2

∫

2х

а)

sin(πx) +

б)

−

x2 −

cos

− x)

128

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20155 Мб213Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156 Мб229Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20158 Мб266Практикум по высшей математике_часть 2.pdf