OnlyFormuls

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

|a|/|b|, b 6= 0;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

212.25 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

П. А. Машаров]

Формулы

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3,

(a + b)(a − b) = a2 − b2,

(a ± b)(a2 ab + b2) = a3 ± b3,

n−1

(

Ckan−kbk

, an

= (

) (−1)

k n−k−1bk.

)

k=0

Факториал n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1! = 1. Cn =

k!(n−k)!

Общие свойства функций

Область определения D(f ) те значения x, для которых можно вычислить y = f (x).

Множество значений E(f ) = {y : y = f (x), x D(f )} проекция графика на ось Oy.

График функции y = f (x) {(x, y) : x D(f ), y = f (x)} R2 (множество точек).

x = f −1(y) = {x R : f (x) = y} функция, обратная к y = f (x).

y= f (x) четная, если x D(f ) −x D(f ), f (−x) = f (x);

y = f (x) нечетная, если x D(f ) −x D(f ), f (−x) = −f (x).

y = f (x) периодическая с периодом T > 0, если x D(f ) x + T, x − T D(f ), f (x) = f (x + T ) = f (x − T ). Наименьший из возможных T период функции.

y = f (x) возрастающая ( ) [убывающая ( )] на G, если x1, x2 G: x1 < x2 f (x1) 6 f (x2) [f (x1) > f (x2)].

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a, b, c R, a =6 0.

√

Дискриминант D = b2 − 4ac. Корни x1,2 = −b± D , если D > 0. Если D < 0 x .

Теорема Виета. Числа x1 и x2 корни ax2 + bx + c = 0 x1 + x2 = −ab , x1x2 = ac . Если x1 и x2 корни ax2 + bx + c = 0, то ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

График квадратичной функции парабола, с ветвями вверх при a > 0, и вниз при a < 0. Координаты вершины (xв; yв), где xв = −2ba , yв = y(xв) = −4Da ; ось симметрии графика прямая x = xв.

y	y = ax2	+ bx + c,	y	y = ax2 + bx + c,
y				yв a < 0
	a > 0			yв a < 0
	a > 0			c
				c
	xв		x1	x2
x1 O		x2 x	xв O	x
c
yв

2 Алгебра и начала анализа

Дробно-линейная функция y = axcx++db , y

a c

[П. А. Машаров

a, b, c, d R, ad 6= bc, c 6= 0 y

−ab

−	d	O	−	b	x		O	d	x
−	c		−	a			d	−c
	c			a			b	−c
		b
ax+b		d				ax+b	a
ax+b						ax+b
y = cx+d						y = cx+d	c
ad > bc						ad < bc

График гипербола с асимптотами: горизонтальная y = a/c, вертикальная x = −d/c.

Функция y = |x|

|a| > 0,

|a|2n = a2n,

|a + b| 6 |a| + |b|,

y = |x|

−1 O 1

y = x2n

y =

−1 O 1 x

\|a\| =	−a,
	a,

\| − a\| =	\|a\|,
\|ab\| = \|a\| · \|b\|,
\|a − b\| >	\|a\| − \|b\| ;

a > 0, a < 0,

		y			√
			y =		√		x
		2
		1
	x	O 1				4			x
	x
y
x2n+1						y
		y = √3				y

			x			1
−1 1				−1		1		O 1	x
O	1 x							−1
	−1

П. А. Машаров]			Формулы	3
Преобразование графиков функций

f (x) → f (x − a)			f (x) → f (x) + a		f (x) → f (kx)

Сдвиг вправо на a, a > 0			Сдвиг верх на a, a > 0	Сжатие к Oy в k > 1 раз


f (x) → kf (x)			f (x) → f (−x)		f (x) → −f (x)

Растяжение от Ox	Симметричное отображе-			Симметричное отображе-
в k раз, k > 1		ние относительно Oy			ние относительно Ox


f (x) → f (\|x\|)			f (x) → \|f (x)\|		f (x) → f −1(x)

Часть графика в x < 0			Часть графика в		Симметричное отобра-
отбрасывается, а часть			полуплоскости y < 0		жение относительно
графика в x > 0 остается			симметрично отобра-		прямой y = x
и симметрично отобража-			жается относительно
ется относительно оси Oy			оси Ox

4 Алгебра и начала анализа [П. А. Машаров

an = a · a · . . . · a (n N). √n

Степень, корни, их свойства

= b означает, что b > 0 (если n четно), bn = a.

n раз

√n

√

| {z

1 = 1,

ab = a

b , ab > 0;

0 = 0;

}

√n

| | ·

| |

если корни

a/b =

a /

, a

0, b > 0;

√

;

= p a

| |

√ mk

√

a =

√

если корни ;

√

2n+1

a =

2n+1

√

a = b ·

b a = |b| ·

a, a

Для всех a > 0 степень с рациональным ненулевым показателем вводится по формуле

m/n

√n

, с действительным: a

= lim a

rn→β

am · an = am+n,

rn Q

am : an = am−n, m R, n R.

n n

, m R, n

= a ,

= a b

= bn ,

a−

= an , n , a 6= 0.

f (x) = g

(x),

2 +1

f (x) = g(x) f (x) = g2n+1(x)

f (x) = g(x) g(x) > 0.

g(x) > 0,

( f (x) > g2n(x);

g(x) > 0,

2n f (x) > g(x)

2n f (x) < g(x)

f (x) < g2n(x),

g(x) < 0,

f (x) > 0.

(

0 6 f (x) < g(x).

(

)

p (

)

f (x) > 0,

( g(x) > 0;

f (x) > 0,

f (x)

g(x) > 0

f (x)

g(x) > 0

f (x) = 0.

( g(x) > 0;

Тригонометрия

Каждому действительному числу ϕ соответ-

F (ctg ψ; 1)

E(0; 1)

D(ctg ϕ; 1)

ствует единственная точка Pϕ единичной ок-

Pϕ

C(1; tg ϕ)

ружности. Числу 0 ставится в соответствие

sin ϕ

точка P0(1; 0), а числу ϕ точка Pϕ, полу-

Nψ

ченная в результате поворота точки P0(1; 0)

на угол |ϕ| вокруг начала координат: ес-

O(0; 0) cos ϕ B(1; 0)

ли ϕ > 0, то поворот выполняется против

хода часовой стрелки; если ϕ < 0, то по ча-

Mγ

совой. Каждой точке P окружности соот-

Kτ

ветствует бесконечное множество чисел ви-

A(1; tg ψ)

да ϕ + 2πn, где n Z.

◦

180

◦

Связь между градусами и радианами: α рад

π·α◦

; n◦ =

n рад

180

П. А. Машаров]

Формулы

	sin ϕ	tg ϕ
	В квадратные скобки взяты
	В квадратные скобки взяты	√3
	подписи точек осей tg и ctg,	√3
	в круглые точек окружности.

√

2π

√

−

− 3

5π

(π) (−π)

√

−1

−

7π

5π

−

4π

Числа без скобок

−

2π

подписывают оси cos и sin.

sin ϕ

[−1]

1 [0]

3π

√2

(π) (−π)

√

−1

−

									√
									√	3
	√3				2				π
		1			[0]			3										√3
		2			π			3										√3
					π


		2										6						3
		1										π		(0) [0]
														(0) [0]
													√
		0					1						√		3	1
		0					2							2		1
							2							2
−2									−6								− 3
		1										π							√
																			√	3
		√
−		√		3	−3π
−		1			−3π	2		−3
	−				2	π					π
		2									π

																−√
							tg ϕ									−√				3
							[1] ctg ϕ
					π
					4		+ϕ
							+ϕ
		√			(0)		[0]
					1 (2π)
			2						cos ϕ
		2							cos ϕ

−ϕ

5π

√

−

−3ππ2

−4

[−1]

3π

7π

−

√

3 ctg ϕ

+ϕ

cos ϕ

−ϕ

Алгебра и начала анализа

[П. А. Машаров

sin2 α + cos2 α = 1;

tg α =

sin α

;

ctg α =

cos α

;

cos α

sin α

tg α · ctg α = 1;

1 + tg2 α =

;

1 + ctg2 α =

cos2 α

sin2 α

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;

cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β;

tg(α

β) =

tg α ± tg β

;

ctg(α

β) =

ctg α · ctg β 1

tg α

tg β

ctg β

ctg α

cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α;

ctg2 α − 1

sin 2α = 2 sin α

cos α;

tg 2α =

2 tg α

;

ctg 2α =

1 − tg2 α

sin α

cos β =

sin(α

β) + sin(α + β) ;

cos(α

2 ctg α

sin α

sin β =

β)

cos(α + β) ;

−

cos α · cos β =

cos(α − β) + cos(α + β) .

cos α

1 + cos 2α

;

sin α

cos 2α

; tg α

1 − cos 2α

, tg α =

sin 2α

;

−

1 + cos 2α

| |

r1 + cos 2α

tg α =

1 − cos 2α

;

ctg α

1 + cos 2α

, ctg α =

sin 2α

; ctg α =

1 + cos 2α

r1 − cos 2α

sin 2α

1 − cos 2α

sin 2α

sin α + sin β = 2 sin

α + β

cos

α − β

;

sin α

−

sin β = 2 sin

α − β

cos

α + β

;

cos α + cos β = 2 cos

α + β

cos

α − β

;

cos α

−

cos β =

−

2 sin

α + β

sin

α − β

;

tg α

tg β =

sin(α ± β)

;

ctg α

ctg β =

sin(β ± α)

cos α

cos β

sin α

sin β

y = sin x

y = cos x

−π/2

π/2

−1

y = tg x

y = ctg x

		π/2			π/2
−π	O	π x	−π/2	O	π x

П. А. Машаров]	Формулы	7
y		y
π/2		π
π/2
y = arcsin x		y = arccos x

−1

π/2

O1 x

−π/2				−1	O		1	x
				−1	O		1	x
y = arctg x y							y		y = arcctg x
y = arctg x y							π		y = arcctg x
π/2							π
π/2
							π/2
O		x
−π/2	( ,						O		x
cos t = a	( ,	±		arccos a + 2πn, n	Z,		если \|a\|		> 1.
	t =			arccos a + 2πn, n	Z,		если	a	6 1,
							\|	\|
sin t = a	( ,	−	1)k arcsin a + πk, k			Z,	если	\|a\| > 1.
	t = (		1)k arcsin a + πk, k			Z,	если	a	6 1,
								\|	\|

cos t = 0 t = π2 + πn, n Z, cos t = 1 t = 2πn, n Z,

cos t = −1 t = π + 2πn, n Z,

sin t = 0 t = πn, n Z,

sin t = 1 t = π2 + 2πn, n Z,

sin t = −1 t = −π2 + 2πn, n Z.

tg t = a t = arctg a + πn, n Z,		tg t = 0 t = πn,					n Z,
ctg t = a t = arcctg a + πn, n Z,		ctg t = 0 t =			π	+ πn,		n Z.
ctg t = a t = arcctg a + πn, n Z,		ctg t = 0 t =			2	+ πn,		n Z.
	Прогрессии
Арифметическая: a1, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, . . . : an+1 = an				+ d. an = a1 + d · (n − 1);
Геометрическая: b1, b2 = b1q, b3	= b2q, . . . : bn+1	= bn · . bn =		1 ·	−		n =		n−k ·	n+k
an = (an−k + an+k)/2; Sn = (a1	+ an) · n/2 = 2a1 + d · (n − 1) · n/2.
Sn = b1(1 − qn)/(1 − q) = (b1 − bn+1)/(1 − q).			q	b qn 1; b2				b		b ;
Sn = b1(1 − qn)/(1 − q) = (b1 − bn+1)/(1 − q).
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: \|q\| < 1. S∞ = b1/(1 − q).

q =6 0).

8	Алгебра и начала анализа	[П. А. Машаров
	Показательная и логарифмическая функции

Логарифмом положительного числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a 6= 1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b; обозначение loga b. Десятичными логарифмами называют логарифмы, основание которых равно 10, обозначаются они символом lg: log10 b = lg b. Натуральными логариф-

мами называют логарифмы, основание которых равно числу e e					lim	1	1/n
мами называют логарифмы, основание которых равно числу e e					lim	1 + n		≈
					:= n→+∞	1 + n		≈
2,7182818 , обозначаются они символом ln: loge b = ln b.
loga b		= b, loga 1 = 0,	loga a = 1	(a, b > 0, a 6= 1);
a		= b, loga 1 = 0,	loga a = 1	(a, b > 0, a 6= 1);
loga(xy) = loga x + loga y			(a, x, y > 0,	a 6= 1);
loga	x	= loga x − loga y	(a, x, y > 0,	a 6= 1);
loga	y	= loga x − loga y	(a, x, y > 0,	a 6= 1);

loga b = logc b logc a

loga bp = p loga b,

y = ax, a > 1

(a, b, c > 0, a, c =6 1);

logaq b = q loga b (a, b > 0, a 6= 1

y = ax, 0 < a < 1

		a				1/a
		1				1
					a
y		O	1	x	−1 O	1	x
y				y
1					y = loga x, 0	< a < 1
1
O	1	a	x
				O 1	a	x
	y = loga x, a > 1			−1

logg(x) f (x) = b

loga f (x) = loga g(x) a > 0, a 6= 1

( g(x) = 1, f (x) = g(x) b		;
f (x) > 0, g(x) > 0,				0
f (x) > 0,	g( )			0
6	или f (x) = g(x).
f (x) = g(x)	или f (x) = g(x).
	x		>		,

П. А. Машаров]

Формулы

h(x)

f (x)

< h(x)

g(x)

( h(x)

1 g(x)

h(x) > 0,

−

f (x) > 0.

h(x) > 0, h(x) = 1,

logh(x) f (x) < logh(x) g(x)

f (x) > 0,

1 g(x)

f (x) > 0.

h(x)

−

Предел

последовательности

lim x

= A

ε > 0

N (ε) :

n > N (ε)

< ε.

n→∞

n −

lim (x

+ [

, , / ]y

) = lim x

+ [

, , / ] lim y .

n→∞

− ·

n→∞

− ·

n→∞

lim np/an = 0 (a > 1); lim an/n! = 0;

lim n!/nn = 0; lim √n

= 1 (a > 0); lim √n

= 1;

n→∞

√n

n→∞

n)/n

= 0 (0 < a = 1, p > 0). e := lim

1 + (1/n)

2,718.

lim 1/

n! = 0; lim (log

≈

→∞

Предел функции

lim f (x) = A

ε > 0

δ(ε) :

0 < x

< δ(ε)

f (x)

−

< ε.

x x0

| −

→

∞

: x

n n→

, x

= x

f (x

)

{

n}n=1

n 6

n→

lim 1 + x 1/x

→∞

1 x

→∞

lim sin x

= 1;

= lim 1 +

= e;

lim

loga(1+x)

(a > 0, a = 1);

x 0

ln a

→

→∞

lim a

−1

= ln a (a > 0); lim

(1+x) −1

= α.

x→0

Прямая x

называется вертикальной асимптотой f x

, если lim f (x) =

∞

( )

x x0

→

Прямая y = kx + b является наклонной (при k = 0 горизонтальной) асимптотой

функции y = f (x)

k = lim

f (x)/x

b = lim

f (x)

−

6 ∞

→∞

Таблица эквивалентных

Если h → 0, то:

sin h,

tg h,

arcsin h

th h

−

h ln a,

loga(1 + h)

arctg h,

sh h,

ln a

− 1,

ln(1 + h)

(1 + h)

− 1 p · h,

1 − cos h

2 .

Производная функции

f ′(x0) = lim

f (x)−f (x0)

lim

f (x0+Δx)−f (x0)

→

x−x0

x 0

→

Если закон движения s(t), тогда скорость v(t) = s′(t), ускорение a(t) = v′(t) = s′′(t).

Уравнение касательной к графику y = f (x) в точке x0: y = f ′(x0) · (x − x0) + f (x0),

f ′(x0) – угловой коэффициент касательной, тангенс угла ее наклона.

Правила дифференцирования

′

u′v

uv′

v)′

= u′

v′

; (Cu)′

= Cu′; (uv)′ = u′v +uv′;

; f g(x) = f ′ g(x)

g′(x).

−

Таблица

производных

xα ′ = αxα−1.

ln x

′ =

1 , x > 0.

log

x ′

a > 0, a = 1, x > 0.

ex ′ = ex.

x′ln a

x ′

′

a >

sin

= cos

cos x

−

sin x.

tg x

ctg x

cos

arcsin x ′ =

√

arccos x ′ =

√

arctg x ′ =

. arcctg x

′ =

sin2 x

1+x2

−

Алгебра и начала анализа

[П. А. Машаров

Разложение по формуле Тейлора–Маклорена элементарных функций

При x → 0 выполняются равенства

ex = 1 + x +

+ . . . +

+ o xn

k=0

+ o xn

;

x2n+1

+ o x2n+2

x2k+1

+ o x2n+2

sh x = x +

+ . . . +

;

(2n + 1)!

k=0

(2k + 1)!

x2n

x2k

ch x = 1 +

+ . . . +

+ o x2n+1

;

(2n)!

k=0

(2k)!

sin x = x

+ . . . +

(−1)nx2n+1

+ o x2n+2

(−1)kx2k+1

+ o x2n+2

;

−

(2n + 1)!

k=0

(2k + 1)!

cos x = 1

+ . . . +

(−1)nx2n + o x2n+1

;

(−1)kx2k + o x2n+1

−

(2n)!

k=0

(2k)!

(1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1)

x2 + . . . +

α(α − 1) . . . (α

n + 1)

xn + o xn

;

ln(1 + x) = x

(−1)

n 1

+ o xn

n n!

−k+1

;

+ . . . +

−

(−1)

+ o xn

−

k=1

X n

x2k+1

2n+2

arctg x =

(−1)

+ o x

;

2k + 1

k=0

(2k − 1)!! x2k+1 + o x2n+2

arcsin x = x +

k=1 2kk!(2k + 1)

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20181.87 Mб17OK_tema_7_-2011.doc
#
01.05.20251.92 Mб0Oleynik_istoria_ta_metodologia_khimii.doc
#
01.04.202564.43 Кб0omelchenko_shpory.docx
#
01.07.2025321.14 Кб0omm 1.docx
#
01.07.2025307.38 Кб0omm 2.docx
#
13.04.2015212.25 Кб13OnlyFormuls.pdf
#
13.04.2015233.92 Кб7OnlyFormuls.pdf
#
13.04.2015195.35 Кб20OOP_Lab1_2013_2014.pdf
#
01.05.2025154.11 Кб0oper_ill.doc
#
01.05.2025187.9 Кб0ORGANIZATsIYa_PLANIROVANIYa_PROIZVODSTVA.doc
#
10.12.2018247.3 Кб2Osnovnaya_shpora.doc

\| − a\| =	\|a\|,
\|ab\| = \|a\| · \|b\|,
\|a − b\| >	\|a\| − \|b\| ;