ObzornLekcMAN

Содержание

1 Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2 Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3 Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНеобходимыеЛейбница дост

4

функции неск льких

переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательствДифференцируемость

Достаточное условие дифференцируемости

Пусть у функции f

некоторой

R(x0) существуют все

частные производные,

в самой точке x

îíè íåïрерывны.

Тогда f дифференцируема в x

B

0

+ x;

0 +B y),

Пусть M0( 0; y0), Mx(x0

+ x;0y0), M(x0

f

),

M = ( x;

y), у функции f существуют

f ,

â

R

(M

0

непрерывные в M .

@x

@y

xf(0M0) = f(Mx) f(M0). Ïî òåîðåме Лагранжа

Рассмотримсреднем 9 меæäó x0

è x0 + x: xf(M0) =

f ( ; y0) x.

Непреðûвность

f â M означает, что

@x

lim

f ( ; y

0

) =@x f

(M

0), откуда по первой лемме о бесконечно

x!0

@x

@x

0

) + ( x) x, ãäå

малых

f(M

) =

f

(M

( x

)

!

0

ïðè

x ! 0. x

0

@x

0

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

Понятия и

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5.

Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНеобходимыеЛейбница дост

4

функции неск льких переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательствДифференцируемость

Аналогично для f(M) f(Mx) íàéäåтся между y0 и y0 + y:

f(M) f(Mx) =

@y

@y

(M0) + ( M) y ïðè

f (x0 + x; ) =

f

M ! 0, ãäå ( M) ! 0 ïðè M ! 0.

Складывая раññмотренные выражеíèÿ, получаем

f(M0

= f(M) f(Mx) + f Mx) f(M0) =

y

k Mk.

f

(M

) x +

f (M ) y +

( x)

x

+ ( M)

@x

06

@y

60

k Mk

k Mk

Выражение в ñêîáêàõ åñòü

бесконечно малая, так как

k Mk

1 è k Mk

1, а величинабесконечно малые.

x

y

f(M

) означает

Полученное

0

дифференцируемостьпредставлениеf M0

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Необходимые и дост

формула Тейлора ряд Тейлора

НеобходимоеB

условие разложения функции в ряд Тейлора

Если f раскладывается в ряд Тейлора в

B

(x ), òî

f 2 C1

R(x0)

R

0

R(x0) ê f(x).

условию, ряд Тейлора функции f сходится в

B

По свойствам степенных рядов,

интервале сходимости ряд

к производной суммыдифференцировать,является непрерывной функцией.

можно почленно

полученный ряд сходится

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия è акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

4

Дифференцируемость функции неск льких

переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств

Тейлора. Ряд Тейлора. Необходимые

è äîñò

ДостаточноеB

5.

Формула

условие разложения в ряд ТейлораB

6

B

Пусть f бесконечно дифференцируемая в

R

(x

0

), и сущестâóåò M > 0, что для всех xокрестности2 (x ) всех

n

(n)

n

R

0

f

(x)

M

. Тогда в

(x

)

n = 0; 1; 2; : : : выполняется

R

0

функция f раскладывается в ряд Тейлора

n

f

+1( )

(x x0)n+1

остаточный член в

Îöåíèì6rn(x) =

(n+1)!

n

n

â

формуле Тейлора функции f

форме Лагранжа.

rn(x)

(MR

+1 n

(n+1)!

. Ïî признаку Даламбера, так как

+1

lim

(MR

+2

(n

=

n

MR = 0 < 1, ðÿä

P

1

(MR

+1

lim

n+2

n=1 (n+1)!

n!1

(n+2)! (MR+1)!

n!1

сходится для любых M и R, по необходимому условию

сходимости ряда

lim

(MR

+1

= 0, откуда r

n

(x) ! 0, è ïî

n!1

(n+1)!