ObzornLekcMAN

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Теорема Ферма

B

Пусть функция определена

некоторой

R(x0), где x0 точка

экстремума функции f, и существует f

0(x0). Тогда f0(x0) = 0

Для доказательства рассматриваем знаки односторонних

производных, применив теорему

предельном переходе в

неравенстве. Учитывая существование производной и применяя

теорему о трех пределах, делаем вывод

Необходимое условие локальногоB

экстремума

Пусть x0

точкой экстремума функции f,

) íå

определеннойявляетсянекоторой

(x

0

). Тогда либо f0(x

0

существует, либо равна нулюR

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

Понятия и

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула

Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Достаточное условие строгого экстремума

0

Пусть функция f дифференцируема в некоторой

B

непрерывна x . Если f0(x) меняет знак при переходе через

x

òî x

является

точкой

локального экстремума:

минимума,

0

максимума, если с

если знак меняетсястрогого на +,

0

0

+ на при движении в направлении возрастания x

Рассматриваем знак приращения f(x0) = f(x) f(x0)

x =6 x0), которое по теореме Лагранжа f(x0) = f0( )(x x0)

( лежит между x

x). Получаем f(x ) < 0, если x

точка строгого максимума

0

0

0

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

Понятия и

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Неîбходимые и дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

Ранее было . . .

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

= inf f(x); x 2 [xk 1; xk]

Ðассмотрим mk

,

M

k

= sup f(x); x 2 [x

k 1

; x

k

]

, суммы Дарбу

mk xk,

s(f; ) = inf (f; ; ) = Pn

k=1

Pn

S(f; ) = sup (f; ; ) =

k=1 Mk xk, колебания функции

!k(f; ) = sup f(x) f(t); x; t 2 [xk 1; xk]

= Mk

mk

Критерий

интегрируемости по Риману

()

Пусть f ограничåна на [a; b]. Функция f 2 R[a; b]

lim

S(f; ) s(f; ) =

lim

Pn

!

k

(f; ) x

k

= 0

d( )!0

d( )!0

k=1

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Неîбходимые и дост

Связь монотонности и интегрируемости по Риману

Если f монотонна на [a; b], то она интегрируема по Риману

íà [a; b]

6

6

6

f(x)

f(b) ограничена и

6

Пусть f % на [a; b]. Тогда f(a)

8 [a; b] имеем 0

Pn

!k(f; ) xk =

k=1

d( ) f(b) f(a) ! 0 ïðè

Pn f(xk) f(xk 1) xk

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Неîбходимые и дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Интегрируемость на подмножестве

Пусть функция f 2 R[a; b]. Тогда для любого [c; h] [a; b]

функция f 2 R[c; h]

6

6

6

Рассмотрим произвольное [c; h] и продолжим его до [a; b]

так, чтобы d( [a; b])

d( [c; h]). Тогда

0

Pn

!k(f; [c; h]) xk

Pm

!j(f; [a; b]) xj. Устремив

k=1

k=1

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула Ньютона Лейбница

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Неîбходимые и дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Формула Ньютона Лейбница

Пусть функция f 2 R[a; b], F непрерывная на [a; b]

первообразная f на (a; b). Тогда

R b

b

a

f(x)dx = F (x) a= F (b) F (a)

; x

] теорему Лагранжа о

8 [a; b], применяя на каждом [x

k 1

среднем для F ,nполучаем

kn

P

P

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

Понятия и

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5.

Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНеобходимыеЛейбница дост

4

функции неск льких переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательствДифференцируемость

Производная по направлению

m

~

Пусть функция f определена

некоторой

(x )

l

единичный вектор. Производной

ôункции fRïî

0направлениþ

B

R

~

~

@fl

t!0

f(x0+tl ) f(x0)

вектора l в точке x0

называется

~

(x0) = lim

t

Частная производная

~

Если в качестве вектора l из предыдущего определения взять

~ek

= (0; : : : ; 1; : : : ; 0) (âñå êîординаты нули, кроме однîé

единицы,

íà k-

месте), то получим частную

ïðîизводнуюрàñположеннойпеременной:k-

1

1

k

k

m

m

@f

(x

0

) =

@f (x

0

) =

lim

f(x0

;:::;x0

+ x

;:::;x

0

) f(x0;:::;x0

)

@x

k

@~e

x

!0

k

k

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНеобходимыеЛейбница дост

4

функции неск льких переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательствДифференцируемость

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5.

Формула

Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНеобходимыеЛейбница дост

4

функции неск льких переменны

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательствДифференцируемость

Необходимое условия дифференцируемости 1

Если функция f дифференцируема в точке x

0

, òî îíà

непрерывна в этой точке

Из определения дифференцируемости непосредственно следует

lim x!0

f(x0) = 0.

Необходимое условия дифференцируемости 2

Если функция f дифференцируема

kточке x , то у нее

производные по всем

íàïравлениям

и, в частности,

существуют частные производныå

@f

(x

0

0

) = A

k

~

~

@x

Пусть l: klk = 1. В определении дифференцируемости положим

f(x0

)

Pm

k

~

= lim

A

l

+ (t)sign t

x = tl и рассмотрим lim

t

k=1

k

t!0

t!0